平面向量复习
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文档简介
平 面 向 量 复 习
教学目标：理解向量的相关概念、向量的运算、向量的应用
教学重难点：几个重要概念的理解、数量积与数乘运算的区别、求向量的夹角
重要知识点提要：
一、向量的相关概念:
1)定义：既有大小又有方向的量叫向量。
2)重要概念：
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.
（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量.
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
向量的表示：
几何表示:有向线段
字母表示
坐标表示: (x，y)
二、向量的运算
1）加法：
①两个法则
三角形法则
重要结论：AB+BC+CA= 0
平行四边形法则
②坐标表示：设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b =( x1 + x2 , y1 + y2 )
2）减法:
①减法法则：
OA－OB =BA
②坐标运算:
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )
则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3）运算律
加法减法运算率
（1）交换律：a+b=b+a
（2）结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
（3）实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个向量. 它的长度 |λa| =|λ| |a|；
它的方向
(1) 当λ≥0时,λa 的方向与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
4）坐标运算：
若a = (x , y), 则λa = λ (x , y) = (λ x , λ y)
1、平面向量的数量积
（1）a与b的夹角：共同的起点
（2）向量夹角的范围：[0 ，180]
（3）向量垂直：
（4）两个非零向量的数量积：a · b = |a| |b| cosθ
规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
5）数量积的运算律：
⑴交换律：
⑵对数乘的结合律：
⑶分配律：
注意：数量积不满足结合律
ab为非零向量，e为单位向量
（1）e· a = a · e =| a | cosθ
（2）a ⊥ b的充要条件是 a · b =0
(3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ;
当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b |
特别地：a · a=| a | 2 或 | a | =
（4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b |
6）向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
3.向量的加法运算
三、平面向量之间关系
1、向量平行(共线)充要条件的两种形式:
2、向量垂直充要条件的两种形式:
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.
即:
那么
四、平面向量的基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数
使
典例讲解：
例1、设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。
例2、若向量 =（-3，4），则 按向量 =（2，-1）平移后的坐标为_____.
例3、给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB= DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b,b∥c，则a∥c
其中，正确命题的序号是______
例4、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=___________
例5、若将向量a＝（2，1）绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b，则向量b的坐标为_____
例6、下列算式中不正确的是( )
(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC
(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a
例7、设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则 PQ=_________
例8、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则( ) (A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|＞|a-b| (C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直 (D)(a·b)·c-(b·c)·a=0
例9、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是( )
(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2
例10、在三角形ABC中， =（2，3）， =（1，k），且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值
回家作业：
1、 判断下列命题正确与否？
1 若，则；
1 若向量，则按平移后的坐标仍是；
1 若，则=；
1 若，则，中至少有一个为；
1
1 的顶点A、B、C分别对应向量，,,则重心对应向量为;
1 //存在不全为零的实数，使;
2、已知=，，求值，使且
3、 已知点O是形内的一点，设，且，试用和表示；
3、 设向量
a) 当为何值时，A、B、C三点共线？
a) 当为何值时，
3、 设始点为同一点O的向量的终点A、B、C在同一条直线上，根据下列条件，把用表示出来：①c为线段AB的中点②c为以3:2内分线段AB的分点③C为以3:1外分线段AB的分点；
A
a
b
θ
B
B1
O
B
A
θ
b
B1
a
O
B
b
(B1)
A
a
O
A
y
B
C
O
x
教学目标：理解向量的相关概念、向量的运算、向量的应用
教学重难点：几个重要概念的理解、数量积与数乘运算的区别、求向量的夹角
重要知识点提要：
一、向量的相关概念:
1)定义：既有大小又有方向的量叫向量。
2)重要概念：
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.
（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量.
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
向量的表示：
几何表示:有向线段
字母表示
坐标表示: (x，y)
二、向量的运算
1）加法：
①两个法则
三角形法则
重要结论：AB+BC+CA= 0
平行四边形法则
②坐标表示：设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b =( x1 + x2 , y1 + y2 )
2）减法:
①减法法则：
OA－OB =BA
②坐标运算:
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )
则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3）运算律
加法减法运算率
（1）交换律：a+b=b+a
（2）结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
（3）实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个向量. 它的长度 |λa| =|λ| |a|；
它的方向
(1) 当λ≥0时,λa 的方向与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
4）坐标运算：
若a = (x , y), 则λa = λ (x , y) = (λ x , λ y)
1、平面向量的数量积
（1）a与b的夹角：共同的起点
（2）向量夹角的范围：[0 ，180]
（3）向量垂直：
（4）两个非零向量的数量积：a · b = |a| |b| cosθ
规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
5）数量积的运算律：
⑴交换律：
⑵对数乘的结合律：
⑶分配律：
注意：数量积不满足结合律
ab为非零向量，e为单位向量
（1）e· a = a · e =| a | cosθ
（2）a ⊥ b的充要条件是 a · b =0
(3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ;
当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b |
特别地：a · a=| a | 2 或 | a | =
（4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b |
6）向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
3.向量的加法运算
三、平面向量之间关系
1、向量平行(共线)充要条件的两种形式:
2、向量垂直充要条件的两种形式:
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.
即:
那么
四、平面向量的基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数
使
典例讲解：
例1、设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。
例2、若向量 =（-3，4），则 按向量 =（2，-1）平移后的坐标为_____.
例3、给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB= DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b,b∥c，则a∥c
其中，正确命题的序号是______
例4、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=___________
例5、若将向量a＝（2，1）绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b，则向量b的坐标为_____
例6、下列算式中不正确的是( )
(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC
(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a
例7、设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则 PQ=_________
例8、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则( ) (A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|＞|a-b| (C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直 (D)(a·b)·c-(b·c)·a=0
例9、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是( )
(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2
例10、在三角形ABC中， =（2，3）， =（1，k），且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值
回家作业：
1、 判断下列命题正确与否？
1 若，则；
1 若向量，则按平移后的坐标仍是；
1 若，则=；
1 若，则，中至少有一个为；
1
1 的顶点A、B、C分别对应向量，,,则重心对应向量为;
1 //存在不全为零的实数，使;
2、已知=，，求值，使且
3、 已知点O是形内的一点，设，且，试用和表示；
3、 设向量
a) 当为何值时，A、B、C三点共线？
a) 当为何值时，
3、 设始点为同一点O的向量的终点A、B、C在同一条直线上，根据下列条件，把用表示出来：①c为线段AB的中点②c为以3:2内分线段AB的分点③C为以3:1外分线段AB的分点；
A
a
b
θ
B
B1
O
B
A
θ
b
B1
a
O
B
b
(B1)
A
a
O
A
y
B
C
O
x