吉林省长春市2024年中考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·长春）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）
A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】根据有理数的加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2．（2024·长春）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义即可得到答案．
3．（2024·长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54° B．60° C．70° D．72°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：∠α是正五边形的一个外角，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据多边形的外角和及正五边形的性质，即可得到答案．
4．（2024·长春）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a 3a＝6a B．a2 a3＝a6
C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A错误；
B．，故选项B错误；
C．，故选项C正确；
D．，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则可判断A；根据同底数幂的乘法法则可判断B；根据积的乘方运算法则可判断C；根据幂的乘方运算法则可判断D．
5．（2024·长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可得：，由右图可得：，即选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质即可得到答案．
6．（2024·长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
【答案】A
【知识点】正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
∴千米.
故答案为：A.
【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解.
7．（2024·长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CM D．OMAB
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A．根据作图可得：，故选项A一定成立，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，故选项B一定成立，不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
即：，故选项C一定成立，不符合题意；
D．不一定成立，故选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】先根据作图可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
8．（2024·长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入
∴．
∴反比例函数的解析式为，
设直线OA的解析式为，
把代入
得：2=4k，解得：，
∴直线OA的解析式为，
设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，
∴，直线OB 解析式为，
点C在反比例函数图象上，设，代入，
得，即
过点y轴于点H，如图：
∴
在△BCH中，由勾股定理得：
即：
解得：a=2，代入得，
解得：m=3
∴
故答案为：B．
【分析】由待定系数法求得反比例函数解析式，直线OA的解析式为，设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，得，直线OB 解析式为，设，代入，得到，过点y轴于点H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，进而得出m=3，即可得到答案.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9．（2024·长春）单项式﹣2a2b的次数是 ．
【答案】3
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的次数是3.
故答案为：．
【分析】根据单项式次数的定义：所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
10．（2024·长春）计算：-=
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：=2﹣=．
故答案为：．
【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．
11．（2024·长春）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】根据抛物线与x轴没有交点，，即可求解.
12．（2024·长春）已知直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1），且y随x的增大而减小，则b的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】2（b＞1即可）
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，
得：．
∵y随x的增大而减小，
∴，
得：b＞1
∴b的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】由题意得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，可得b＞1，写出解即可.
13．（2024·长春）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 cm．（结果保留π）
【答案】8π
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，
∵，
∴，
∴点A经过的路径长至少为．
故答案为：8π．
【分析】由题意得：，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可求解．
14．（2024·长春）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．
给出下面四个结论：
①∠ABD＝∠DAC；
②AF＝FG；
③当DG＝2，GB＝3时，FG；
④当2，AB＝6时，△DFG的面积是，
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵是的中点，
∴，
由圆周角定理的推论得：，故①正确；
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即②正确；
在和，
，
∴，
∴，
即：，
解得：，
由勾股定理得：，
∵，
∴，故③正确；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∵
∴，故④错误．
故答案为：①②③．
【分析】连接，由圆周角定理的推论可判定①正确；先证明、可得、，即可判定②；根据相似三角形的判定定理先证明可得，即，解得，然后由勾股定理可得，再结合即可判定③；设半圆的圆心为O，连接，由题意可得，从而证明是等边三角形，即可得到四边形是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形的面积平分即可判定④．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15．（2024·长春）先化简，再求值：，其中x．
【答案】解：原式
把代入得，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的减法运算化简，再代数求值即可．
16．（2024·长春）2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
【答案】解：列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，
∴这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后利用概率公式计算求解即可．
17．（2024·长春）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
【答案】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
18．（2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：是边AB的中点，
，
在和中，
(ASA)，
，
，
∴∠A+∠B=180°，
，
四边形ABCD是平行四边形，
又，
四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理ASA证明，得出，根据平行线的判定定理证出，即可证明四边形是平行四边形，进而可根据矩形的判定定理证明四边形是矩形．
19．（2024·长春）某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：（数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）
b．高中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：
8.0，8.1，8.2，8.2，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8
c．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
初中部 8.3 8.5
高中部 8.3 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a、b，则a ▲ b；（填“＞”“＜”或“＝”）
②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．
【答案】（1）8.3
（2）解：①＞；
②，
∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）高中部评分的中位数为第位数的平均数，即，
故答案为：；
（2）①由题意得，初中部评分的中位数为，高中部评分的中位数为，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据中位数的定义，即可求解；
（1）①利用中位数即可得到答案；
②利用总数乘以“非常满意”的学生占比，计算求解即可．
20．（2024·长春）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．
【答案】（1）解：如图①：
.
∴四边形ABCD的面积为2.
四边形即为所求.
（2）解：如图②：
四边形ABCD为轴对称图形，且AC⊥BC
∴四边形ABCD的面积为.
∴四边形即为所求.
（3）解：如图③：四边形即为所求.
【知识点】轴对称的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）以AB为边画正方形ABCD即可．（2）结合轴对称图形的定义，使四边形ABCD的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可.
（3）画长和宽分别为和的矩形即可.也可作上下底分别为和，高为的梯形.
21．（2024·长春）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】（1）
（2）解：设当时，y与x之间函数关系式为，
图象经过，得
，
解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，可得，即可求解；
（2）设当时，y与x之间函数关系式为，利用待定系数法求解即可得解；
（3）求出先匀速行驶小时的速度，然后比较即可得解．
22．（2024·长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 ．
（3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为 米．
【答案】（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵是等边三角形，
∴，AC=AB=3.
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
故答案为：30；.
【方法应用】：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，MP=ND.
∵ △ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，
，∠BCD=90°，
∵AM=DN，
∴AM=MP.
，.
.
当时，最小，此时最小，
在等腰△ACD中，，
在中，，
线段长度的最小值为米．
故答案为：.
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形的判定与性质，即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质和平行线的性质先证明，然后根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，根据平行四边形的判定与性质，求出，进而得，根据垂线段最短，利用三角函数求解即可．
23．（2024·长春）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点D是边BC上的一点（点D不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP＝BD，以AP为边作正方形APMN，使点M和点C在直线AD同侧．
（1）当点D是边BC的中点时，求AD的长；
（2）当BD＝4时，点D到直线AC的距离为 ；
（3）连结PN，当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长；
（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 .（写出一个即可）
【答案】（1）解：∵，点是边的中点，BD=6，
∴，BD=CD=3，
∴在中，由勾股定理得：
；
（2）
（3）解：当时，根据正方形的轴对称性可得，点落在上，
过点作于，
设，则，，
则，
，
，
解得：
故，
所以正方形的边长为；
（4）或
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）作交AC于H，如图所示；
设点到直线的距离，
当时，则，
，
解得：；
故答案为：
（4）如图，①，在异侧时；
点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，
∴NQ=3MQ，
四边形APMN 是正方形，
∴AN=MN，∠PAN=∠ANQ=90°，
∴，
设
，即，
AC=AE+CE=5，即：，
解得：；
②当，在同侧
由题意得：∠NAF=MQC，∠AFN=QCM=90°，
∴△ANF∽△QME，
∴
点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，
∴AN=3MQ，
四边形APMN 是正方形，
∴
，
设
，
∴
AC=AH+CH=5，即：，
解得：；
综上所述：的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，利用勾股定理即可求解；
（2）作交AC于H，利用三角形面积相等即可求解；
（3）过点作于H，设，则，，根据，列出方程即可求解；
（4）分类讨论：①，在异侧时，由点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，得NQ=3MQ，结合正方形的性质可推出，设，根据三角函数可得，由AC=AE+CE=5，即，计算求解即可；②当，在同侧，由相似三角形的判定定理可得△ANF∽△QME，可得，即可AN=3MQ，根据正方形的性质及正切的定义可得，设，由三角函数可得，由AC=AH+CH=5，即，计算求解即可得解.
24．（2024·长春）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝x2+2x+c（c是常数）经过点（﹣2，﹣2）．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、﹣m，点C的横坐标为﹣5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
（3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：将代入，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）解：作过点AC的直线，过点B作于点H，则，
由题意得：，
∴，，
∴在中，，结论得证；
（3）解：①如图，记交于点M，
由题意得，，
由，
得：对称轴为直线：
∵四边形是菱形，
∴点A、C关于对称，，
∵与此抛物线的对称轴重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
∴；
② m的取值范围为：或或．
【知识点】菱形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，
∴，
∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：
过点F作于点Q，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：
∴；
当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作于点Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
∴，
综上所述，m的取值范围为：或或．
【分析】（1）将代入，利用待定系数法，即可得解；
（2） 作过点AC的直线， 过点B作于点H，由题意得点A和点B的坐标，则，，由正切函数的定义即可得解；
（3）①记交于点M，得，而对称轴为直线，推出，则，，由，得，则，代入菱形面积公式即可得解；
②分类讨论，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，得到，故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：，当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或．
1 / 1吉林省长春市2024年中考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·长春）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）
A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）
2．（2024·长春）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图
3．（2024·长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54° B．60° C．70° D．72°
4．（2024·长春）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a 3a＝6a B．a2 a3＝a6
C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5
5．（2024·长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则
6．（2024·长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
7．（2024·长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CM D．OMAB
8．（2024·长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9．（2024·长春）单项式﹣2a2b的次数是 ．
10．（2024·长春）计算：-=
11．（2024·长春）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ．
12．（2024·长春）已知直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1），且y随x的增大而减小，则b的值可以是 .（写出一个即可）
13．（2024·长春）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 cm．（结果保留π）
14．（2024·长春）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．
给出下面四个结论：
①∠ABD＝∠DAC；
②AF＝FG；
③当DG＝2，GB＝3时，FG；
④当2，AB＝6时，△DFG的面积是，
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15．（2024·长春）先化简，再求值：，其中x．
16．（2024·长春）2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
17．（2024·长春）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
18．（2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
19．（2024·长春）某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：（数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）
b．高中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：
8.0，8.1，8.2，8.2，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8
c．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
初中部 8.3 8.5
高中部 8.3 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a、b，则a ▲ b；（填“＞”“＜”或“＝”）
②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．
20．（2024·长春）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．
21．（2024·长春）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
22．（2024·长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 ．
（3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为 米．
23．（2024·长春）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点D是边BC上的一点（点D不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP＝BD，以AP为边作正方形APMN，使点M和点C在直线AD同侧．
（1）当点D是边BC的中点时，求AD的长；
（2）当BD＝4时，点D到直线AC的距离为 ；
（3）连结PN，当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长；
（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 .（写出一个即可）
24．（2024·长春）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝x2+2x+c（c是常数）经过点（﹣2，﹣2）．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、﹣m，点C的横坐标为﹣5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
（3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】根据有理数的加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：∠α是正五边形的一个外角，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据多边形的外角和及正五边形的性质，即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A错误；
B．，故选项B错误；
C．，故选项C正确；
D．，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则可判断A；根据同底数幂的乘法法则可判断B；根据积的乘方运算法则可判断C；根据幂的乘方运算法则可判断D．
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可得：，由右图可得：，即选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
∴千米.
故答案为：A.
【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A．根据作图可得：，故选项A一定成立，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，故选项B一定成立，不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
即：，故选项C一定成立，不符合题意；
D．不一定成立，故选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】先根据作图可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入
∴．
∴反比例函数的解析式为，
设直线OA的解析式为，
把代入
得：2=4k，解得：，
∴直线OA的解析式为，
设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，
∴，直线OB 解析式为，
点C在反比例函数图象上，设，代入，
得，即
过点y轴于点H，如图：
∴
在△BCH中，由勾股定理得：
即：
解得：a=2，代入得，
解得：m=3
∴
故答案为：B．
【分析】由待定系数法求得反比例函数解析式，直线OA的解析式为，设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，得，直线OB 解析式为，设，代入，得到，过点y轴于点H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，进而得出m=3，即可得到答案.
9．【答案】3
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的次数是3.
故答案为：．
【分析】根据单项式次数的定义：所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
10．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：=2﹣=．
故答案为：．
【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】根据抛物线与x轴没有交点，，即可求解.
12．【答案】2（b＞1即可）
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，
得：．
∵y随x的增大而减小，
∴，
得：b＞1
∴b的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】由题意得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，可得b＞1，写出解即可.
13．【答案】8π
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，
∵，
∴，
∴点A经过的路径长至少为．
故答案为：8π．
【分析】由题意得：，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可求解．
14．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵是的中点，
∴，
由圆周角定理的推论得：，故①正确；
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即②正确；
在和，
，
∴，
∴，
即：，
解得：，
由勾股定理得：，
∵，
∴，故③正确；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∵
∴，故④错误．
故答案为：①②③．
【分析】连接，由圆周角定理的推论可判定①正确；先证明、可得、，即可判定②；根据相似三角形的判定定理先证明可得，即，解得，然后由勾股定理可得，再结合即可判定③；设半圆的圆心为O，连接，由题意可得，从而证明是等边三角形，即可得到四边形是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形的面积平分即可判定④．
15．【答案】解：原式
把代入得，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的减法运算化简，再代数求值即可．
16．【答案】解：列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，
∴这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后利用概率公式计算求解即可．
17．【答案】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
18．【答案】证明：是边AB的中点，
，
在和中，
(ASA)，
，
，
∴∠A+∠B=180°，
，
四边形ABCD是平行四边形，
又，
四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理ASA证明，得出，根据平行线的判定定理证出，即可证明四边形是平行四边形，进而可根据矩形的判定定理证明四边形是矩形．
19．【答案】（1）8.3
（2）解：①＞；
②，
∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）高中部评分的中位数为第位数的平均数，即，
故答案为：；
（2）①由题意得，初中部评分的中位数为，高中部评分的中位数为，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据中位数的定义，即可求解；
（1）①利用中位数即可得到答案；
②利用总数乘以“非常满意”的学生占比，计算求解即可．
20．【答案】（1）解：如图①：
.
∴四边形ABCD的面积为2.
四边形即为所求.
（2）解：如图②：
四边形ABCD为轴对称图形，且AC⊥BC
∴四边形ABCD的面积为.
∴四边形即为所求.
（3）解：如图③：四边形即为所求.
【知识点】轴对称的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）以AB为边画正方形ABCD即可．（2）结合轴对称图形的定义，使四边形ABCD的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可.
（3）画长和宽分别为和的矩形即可.也可作上下底分别为和，高为的梯形.
21．【答案】（1）
（2）解：设当时，y与x之间函数关系式为，
图象经过，得
，
解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，可得，即可求解；
（2）设当时，y与x之间函数关系式为，利用待定系数法求解即可得解；
（3）求出先匀速行驶小时的速度，然后比较即可得解．
22．【答案】（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵是等边三角形，
∴，AC=AB=3.
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
故答案为：30；.
【方法应用】：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，MP=ND.
∵ △ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，
，∠BCD=90°，
∵AM=DN，
∴AM=MP.
，.
.
当时，最小，此时最小，
在等腰△ACD中，，
在中，，
线段长度的最小值为米．
故答案为：.
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形的判定与性质，即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质和平行线的性质先证明，然后根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，根据平行四边形的判定与性质，求出，进而得，根据垂线段最短，利用三角函数求解即可．
23．【答案】（1）解：∵，点是边的中点，BD=6，
∴，BD=CD=3，
∴在中，由勾股定理得：
；
（2）
（3）解：当时，根据正方形的轴对称性可得，点落在上，
过点作于，
设，则，，
则，
，
，
解得：
故，
所以正方形的边长为；
（4）或
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）作交AC于H，如图所示；
设点到直线的距离，
当时，则，
，
解得：；
故答案为：
（4）如图，①，在异侧时；
点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，
∴NQ=3MQ，
四边形APMN 是正方形，
∴AN=MN，∠PAN=∠ANQ=90°，
∴，
设
，即，
AC=AE+CE=5，即：，
解得：；
②当，在同侧
由题意得：∠NAF=MQC，∠AFN=QCM=90°，
∴△ANF∽△QME，
∴
点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，
∴AN=3MQ，
四边形APMN 是正方形，
∴
，
设
，
∴
AC=AH+CH=5，即：，
解得：；
综上所述：的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，利用勾股定理即可求解；
（2）作交AC于H，利用三角形面积相等即可求解；
（3）过点作于H，设，则，，根据，列出方程即可求解；
（4）分类讨论：①，在异侧时，由点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，得NQ=3MQ，结合正方形的性质可推出，设，根据三角函数可得，由AC=AE+CE=5，即，计算求解即可；②当，在同侧，由相似三角形的判定定理可得△ANF∽△QME，可得，即可AN=3MQ，根据正方形的性质及正切的定义可得，设，由三角函数可得，由AC=AH+CH=5，即，计算求解即可得解.
24．【答案】（1）解：将代入，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）解：作过点AC的直线，过点B作于点H，则，
由题意得：，
∴，，
∴在中，，结论得证；
（3）解：①如图，记交于点M，
由题意得，，
由，
得：对称轴为直线：
∵四边形是菱形，
∴点A、C关于对称，，
∵与此抛物线的对称轴重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
∴；
② m的取值范围为：或或．
【知识点】菱形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，
∴，
∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：
过点F作于点Q，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：
∴；
当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作于点Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
∴，
综上所述，m的取值范围为：或或．
【分析】（1）将代入，利用待定系数法，即可得解；
（2） 作过点AC的直线， 过点B作于点H，由题意得点A和点B的坐标，则，，由正切函数的定义即可得解；
（3）①记交于点M，得，而对称轴为直线，推出，则，，由，得，则，代入菱形面积公式即可得解；
②分类讨论，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，得到，故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：，当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或．
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