【提升版】北师大版数学九上 2.6一元二次方程的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024·安新模拟）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为（ ）
A．(38－2x)(23－2x)＝874 B．(38＋2x)(23＋2x)＝874
C．(38－2x)(23－2x)＝1000 D．(38＋2x)(23＋2x)＝1000
2．（2024·通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
3．（2023·东洲模拟）某公司今年4月份的营业额为2500万元，按计划5、6月份总营业额要达到6600万元，设该公司5、6两个月的营业额的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024八下·重庆市期末）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ）
A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m
5．（2021·黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
6．（2024九下·平城模拟）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．函数方程思想 D．转化思想
（2024·台湾）请阅读下列叙述后，回答下列小题．
体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．
女性理想体重 男性理想体重
算法① 身高×身高×22 身高×身高×22
算法② （100×身高﹣70）×0.6 （100×身高﹣80）×0.7
算法③ （100×身高﹣158）×0.5+52 （100×身高﹣170）×0.6+62
以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：
（甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同
（乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同
7．对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
8．无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别．
实际体重 类别
大于理想体重的120% 肥胖
介于理想体重的110%～120% 过重
介于理想体重的90%～110% 正常
介于理想体重的80%～90% 过轻
小于理想体重的80% 消瘦
当身高1.8公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于70×90%公斤至70×110%公斤之间会被归类为正常．若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（ ）
A．正常 B．正常、过重
C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻
9．（2024·杭州模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》“中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.设长为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（2x-12）=864
二、填空题
10．（2024九下·即墨期末）为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为 ．
11．（2024八下·瓯海期末）如图，将左边矩形剪成四块，恰能拼成右边的正方形，若，则的值是 ．
12．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
13．（2024八下·长兴月考）“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ．
图1 图2
14．（2024·沅江三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
三、解答题
15．（2024八下·东阳期末）据调查，年月底某景点累计接待游客为万人次，但年月底，该景点火出圈了，接待游客突破万人次．景点附近某宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．
（1）求年月底到年月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
（2）为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为元．
16．（2024八下·南宁期末）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？
17．（2024九下·康巴什模拟）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
18．（2021九上·深圳期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设留白部分的宽度为xcm，
根据题意可得： (38＋2x)(23＋2x)＝1000
故答案为：D.
【分析】设留白部分的宽度为xcm，再根据“塑封后整幅图的面积为1000cm2”列出方程 (38＋2x)(23＋2x)＝1000即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，由题意得，
解得，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故答案为：C
【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，进而结合图片根据矩形的面积即可列出一元二次方程，从而即可求出x的值，再分类讨论其合理性即可求解。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故答案为：C．
【分析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，根据“ 计划5、6月份总营业额要达到6600万元 ”列出方程即可。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【答案】D
7．D
8．B
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）假设甲叙述正确，设女性的身高为x公尺，根据使用算法①与算法②算出的理想体重会相同，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-24<0可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即甲叙述错误；假设乙叙述正确，设女性的身高为y公尺，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，进而可得出假设成立，即乙叙述正确.
（2） 先算出身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性的实际体重，再根据表1中的算法③进行计算即可.
7．解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x公尺，根据题意得：22x2＝（100x﹣70）×0.6，
整理得：11x2﹣30x+21＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×11×21＝﹣24＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
假设乙叙述正确，设女性的身高为y公尺，
根据题意得：（100y﹣70）×0.6＝（100y﹣158）×0.5+52，
解得：y＝1.5，
∴当女性的身高为1.5公尺时，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同，
∴假设成立，即乙叙述正确．
故答案为：D．
8．解：按照算法③1.8公尺的成年男性理想体重为（100×1.8﹣170）×0.6+62＝68，
身高1.8公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于70×90%公斤至70×110%公斤之间会被归类为正常．
这类男性的实际体重为63公斤至77公斤，
（63÷68）×100%＝92.65%，（77÷68）×100%＝113.23%，
属于正常或过重，
故答案为：B．
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设长为x步，则宽为（x-12）步，
根据题意可得： x（x-12）=864 ，
故答案为：A.
【分析】设长为x步，则宽为（x-12）步，根据“ 矩形面积864平方步 ， 宽比长少12 步”列出方程x（x-12）=864 即可.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由左图可知，矩形的长和宽分别为（b+a+b）、b，
∴S矩形= b(b+a+b)=ab+2b2，
由右图可知，正方形的边长为a+b，
∴S正方形=（a+b）2，
∵S矩形=S正方形，
∴ab+2b2=（a+b）2，
∵，
∴b+2b2=(1+b)2，
解得：，（不符合题意，舍去）
故答案为：．
【分析】由左图可知，矩形的长和宽分别为（b+a+b）、b，由右图可知，正方形的边长为a+b，
根据矩形和正方形的面积相等可得关于b的一元二次方程，解方程即可求解．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据 小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
14．【答案】50
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，
日销售量为20+＝(140 2x)件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60．
故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为50元．
故答案为：50．
【分析】设售价应定为x元，按每件60元销售，每天可卖出20件，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件列出等式解答即可。
15．【答案】（1）解：设景点累计接待游客的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：景点接待游客的年平均增长率为；
（2）设房价定为元时，宾馆当天的利润为元，
由题意得：，
解得：，，
为了尽可能让游客享受更低的单价，
，
答：当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程．
（1）设景点累计接待游客的月平均增长率为，根据年月底和年月底的游客人数列出方程，解之即可；
（2）设房价定为元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解得：，，为了尽可能让游客享受更低的单价，取较小正数解即可，当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
16．【答案】（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价7.5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
17．【答案】（1）；（2）销售单价x应定为15元；（3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，
依题意得：（x-4）（x-5）=650，
整理得：x2-9x-630=0，
解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）解：设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，
依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，
整理得：y2-59y+58=0，
解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据题意列出方程（x-4）（x-5）=650，求解即可；
（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，根据题意列出方程（30-y）（30-1-y）=812，求解即可。
1 / 1【提升版】北师大版数学九上 2.6一元二次方程的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024·安新模拟）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为（ ）
A．(38－2x)(23－2x)＝874 B．(38＋2x)(23＋2x)＝874
C．(38－2x)(23－2x)＝1000 D．(38＋2x)(23＋2x)＝1000
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设留白部分的宽度为xcm，
根据题意可得： (38＋2x)(23＋2x)＝1000
故答案为：D.
【分析】设留白部分的宽度为xcm，再根据“塑封后整幅图的面积为1000cm2”列出方程 (38＋2x)(23＋2x)＝1000即可.
2．（2024·通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，由题意得，
解得，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故答案为：C
【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，进而结合图片根据矩形的面积即可列出一元二次方程，从而即可求出x的值，再分类讨论其合理性即可求解。
3．（2023·东洲模拟）某公司今年4月份的营业额为2500万元，按计划5、6月份总营业额要达到6600万元，设该公司5、6两个月的营业额的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故答案为：C．
【分析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，根据“ 计划5、6月份总营业额要达到6600万元 ”列出方程即可。
4．（2024八下·重庆市期末）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ）
A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
5．（2021·黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
6．（2024九下·平城模拟）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．函数方程思想 D．转化思想
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
（2024·台湾）请阅读下列叙述后，回答下列小题．
体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．
女性理想体重 男性理想体重
算法① 身高×身高×22 身高×身高×22
算法② （100×身高﹣70）×0.6 （100×身高﹣80）×0.7
算法③ （100×身高﹣158）×0.5+52 （100×身高﹣170）×0.6+62
以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：
（甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同
（乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同
7．对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
8．无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别．
实际体重 类别
大于理想体重的120% 肥胖
介于理想体重的110%～120% 过重
介于理想体重的90%～110% 正常
介于理想体重的80%～90% 过轻
小于理想体重的80% 消瘦
当身高1.8公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于70×90%公斤至70×110%公斤之间会被归类为正常．若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（ ）
A．正常 B．正常、过重
C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻
【答案】D
7．D
8．B
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）假设甲叙述正确，设女性的身高为x公尺，根据使用算法①与算法②算出的理想体重会相同，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-24<0可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即甲叙述错误；假设乙叙述正确，设女性的身高为y公尺，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，进而可得出假设成立，即乙叙述正确.
（2） 先算出身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性的实际体重，再根据表1中的算法③进行计算即可.
7．解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x公尺，根据题意得：22x2＝（100x﹣70）×0.6，
整理得：11x2﹣30x+21＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×11×21＝﹣24＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
假设乙叙述正确，设女性的身高为y公尺，
根据题意得：（100y﹣70）×0.6＝（100y﹣158）×0.5+52，
解得：y＝1.5，
∴当女性的身高为1.5公尺时，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同，
∴假设成立，即乙叙述正确．
故答案为：D．
8．解：按照算法③1.8公尺的成年男性理想体重为（100×1.8﹣170）×0.6+62＝68，
身高1.8公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于70×90%公斤至70×110%公斤之间会被归类为正常．
这类男性的实际体重为63公斤至77公斤，
（63÷68）×100%＝92.65%，（77÷68）×100%＝113.23%，
属于正常或过重，
故答案为：B．
9．（2024·杭州模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》“中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.设长为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（2x-12）=864
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设长为x步，则宽为（x-12）步，
根据题意可得： x（x-12）=864 ，
故答案为：A.
【分析】设长为x步，则宽为（x-12）步，根据“ 矩形面积864平方步 ， 宽比长少12 步”列出方程x（x-12）=864 即可.
二、填空题
10．（2024九下·即墨期末）为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
11．（2024八下·瓯海期末）如图，将左边矩形剪成四块，恰能拼成右边的正方形，若，则的值是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由左图可知，矩形的长和宽分别为（b+a+b）、b，
∴S矩形= b(b+a+b)=ab+2b2，
由右图可知，正方形的边长为a+b，
∴S正方形=（a+b）2，
∵S矩形=S正方形，
∴ab+2b2=（a+b）2，
∵，
∴b+2b2=(1+b)2，
解得：，（不符合题意，舍去）
故答案为：．
【分析】由左图可知，矩形的长和宽分别为（b+a+b）、b，由右图可知，正方形的边长为a+b，
根据矩形和正方形的面积相等可得关于b的一元二次方程，解方程即可求解．
12．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】根据 小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
13．（2024八下·长兴月考）“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ．
图1 图2
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
14．（2024·沅江三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
【答案】50
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，
日销售量为20+＝(140 2x)件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60．
故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为50元．
故答案为：50．
【分析】设售价应定为x元，按每件60元销售，每天可卖出20件，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件列出等式解答即可。
三、解答题
15．（2024八下·东阳期末）据调查，年月底某景点累计接待游客为万人次，但年月底，该景点火出圈了，接待游客突破万人次．景点附近某宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．
（1）求年月底到年月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
（2）为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为元．
【答案】（1）解：设景点累计接待游客的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：景点接待游客的年平均增长率为；
（2）设房价定为元时，宾馆当天的利润为元，
由题意得：，
解得：，，
为了尽可能让游客享受更低的单价，
，
答：当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程．
（1）设景点累计接待游客的月平均增长率为，根据年月底和年月底的游客人数列出方程，解之即可；
（2）设房价定为元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解得：，，为了尽可能让游客享受更低的单价，取较小正数解即可，当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
16．（2024八下·南宁期末）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？
【答案】（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价7.5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
17．（2024九下·康巴什模拟）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价x应定为15元；（3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
18．（2021九上·深圳期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
【答案】（1）解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，
依题意得：（x-4）（x-5）=650，
整理得：x2-9x-630=0，
解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）解：设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，
依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，
整理得：y2-59y+58=0，
解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据题意列出方程（x-4）（x-5）=650，求解即可；
（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，根据题意列出方程（30-y）（30-1-y）=812，求解即可。
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