【培优版】北师大版数学九上 2.6一元二次方程的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·龙岗开学考） 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为xm，则停车位的合成长为（40-x）m，宽为（22-x）m，
根据题意得：（40-x）（22-x）=520；
故答案为：B.
【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度相等，利用平移的思想可得出停车位的合成的长方形的长和宽，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程.
2．（2018九上·孝感月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
3．（2023·福田模拟）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印(放大或缩小后，需保持形状不变)及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准其中，把A0纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为：1的纸张；沿AO纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸：再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得A2纸……依此类推，得A3，A4，A5等等的纸张(如图1所示)．若设A4纸张的宽为x米，则x应为（ ）
A． B．的算术平方根
C． D．的算术平方根
【答案】D
【知识点】算术平方根；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设A4纸张的宽为x米，则A0纸张的宽为4x米 ，
∵ 纸张长与宽的比为：1，
∴A0纸张的长为4x米 ，
∴A0纸张的面积=4x·4x=1，
解得：x2=
∴x是的算术平方根 ，
故答案为：D.
【分析】设A4纸张的宽为x米，则A0纸张的宽为4x米 ，根据纸张长与宽的比可得A0纸张的长为4x米 ，根据A0纸张的面积为1建立方程并求解即可判断.
4．（2023九上·贵阳期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x-1）x=6 210 B．3（x-1）=6 210
C．（3x-1）x=6 210 D．3x=6 210
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设这批椽的数量为x株，则可列方程为 3（x-1）x=6 210 ，
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株，根据这批椽的价钱为6 210文 ，每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，利用列出方程，从而求解.
5．（2024九上·石家庄期末）如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，
纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，
，
故答案为：D．
【分析】设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，结合“纸盒的底面（图中阴影部分）面积是”即可列出方程，从而得到结果。
6．（2022九上·南海期中）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（ ）
A．x（x-1）＝21 B．x（x-1）＝21
C．2x（x-1）＝21 D．x（x＋1）＝21
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
则可列方程为，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出方程即可。
7．（2023九上·惠州期末）某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意将三条路平移可得：
∵剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，
∴所列方程为：
（20-x）（32-2x）=570.
故答案为：C.
【分析】将三条路平移，草坪是一个边长分别为（20-x）cm、（32-2x）cm的矩形，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，并结合矩形的面积等于长乘宽可得关于x的方程.
8．（2023九上·永年期中）用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A．x（12﹣2x+1）＝20 B．
C． D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】∵铁丝的总长为12m，垂直于墙的一边长为xm，
∴平行于墙的一边长为（12+1-2x）m，
∵该场地的面积为20m2，
∴x（12-2x+1）=20，
故答案为：A.
【分析】先求出平行于墙的一边长，再结合“该场地的面积为20m2”列出方程x（12-2x+1）=20即可.
二、填空题
9．（2024九上·吴桥期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ．
【答案】或
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：
，，
又是倍根方程，
当是的2倍时，
则，
解得：，
当是的2倍时，
则，
解得：，
故答案为：或．
【分析】先解出该方程的根，再根据“是倍根方程”并结合新定义“倍根方程”的意义计算出m的取值即可求解.
10．（2020九上·诸城期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，依题意列出方程，解之即可。
11．（2023九上·顺德期中）如图，在一块长8cm，宽6cm的矩形铁片的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒.如果制作的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角切去的正方形的边长是 .
【答案】1cm
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设切去的正方形的边长为，
则盒底的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
则铁皮各角应切去边长为的正方形．
故答案为：1cm.
【分析】设切去得正方形的边长为，得出盒底的长为，宽为，再根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
12．（2018九上·二道月考）某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为 ．
【答案】（36﹣x）（50+5x）=2400
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每个玩具应降价x元．则此时每天出售的数量为：（50+5x）个，每个的盈利为：（36﹣x）元，
根据题意得（36﹣x）（50+5x）=2400，
故答案为（36﹣x）（50+5x）=2400．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.
列方程的关键有两个：①找出题中的等量关系：降价后每天售出玩具的数量×降价后每个玩具的盈利=2400元，②如何用x表示降价后每天售出玩具的数量；如何用x表示降价后每个玩具的盈利；
根据"每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个"可知，每个玩具降价x元，平均每天可多售出5x个”， 那么降价后每天售出玩具的数量为（50+5x）个；根据“降价前每个玩具盈利36元”可知
，降价后每个玩具的盈利为（36﹣x）元.
13．（2023九上·通榆月考）已知如图所示的图形的面积为24，则x的值为
【答案】4
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】 解：如图，把图形补成一个正方形，
由图形的面积为24，
根据题意得：(x+1 )2-12=24，
整理得： x2+2x-24=0，
解得： x1=4， x2=-6 (不符合题意，舍去)，
∴x的值为4 .
故答案为：4.
【分析】直接根据图形的面积为24，列出方程(x+1 )2-12=24，解方程即可求解.
三、解答题
14．（2023九上·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：初始销售量×（1+月增长率）×（1+月增长率）=最终的销售量，设月增长率为x，代入即可得到方程，求解即可，注意月增长率为正数；
（2）根据题意：上涨的价格=实际售价－40；故减少的销售量=10×上涨的价格，可得等量关系：（实际售价－进价）×（原销售量－减少的销售量）=10000.设实际售价为m元，代入得关于m的方程求解即可.注意m的选取.
15．（2023八下·深圳期末）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速.上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少
【答案】（1）解：解：设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得： 20(1+x)2=45，
解得： x1=0.5=50%，x2=-2.5 (不合题意，舍去).
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%.
（2）解：设每套需要降价 y万元， 则平均每月可售出（）套 ，
依题意， 得：
整理， 得：
解得：y1= 14 ，y2=1
答∵尽量减少库存，
∴y=1
答：每套A产品需降价1万元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该公司销售A产品每次增长率为x，2月份的A产品20月份到4月份的销售量，可以列出关于x的一元二次方程，并且求出x的值，其中负的有舍去；
（2）设每套A产品降价y万元，则每月平均销售：（）套，利润=每套的利润×销售数量，列出一元二次方程，其中解有2个，需要题目中需要尽量减少库存，所以y的值需要最大的那一个就是题目的解.
16．（2023·雷州模拟）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1-x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）解：小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000-200×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程5（1-x）2=3.2，再求解即可；
（2）先分别求出方案一和方案二的费用，再比较大小即可。
17．（2023九上·青岛月考）某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数/万人 a ③ ④
（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【答案】（1）1.6a；1.44a
（2）该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：a（7+x）2＝1.44a，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2（不符合题意，舍去）．
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y-40）元，
根据题意得：（y-40）（140-2y）＝（60-40）×20，
整理得：y2-110y+3000＝0，
解得：y1＝50，y2＝60（不符合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．
【知识点】代数式的概念；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．设该景区4月份的游客人数为a万人，
5月份的游客人数为：
6月份的游客人数为：
故答案分别为：1.6a，1.44a.
【分析】（1）根据4月份、5月份及6月份的游客人数间的关系，即可用含a的式子表示；
（2）设该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，利用6月份的游客人数=4月份的游客人数（1+5月份、6月份游客人数的月平均增长率）2，列出一元二次方程并求解，取符合题意的x值即可；
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y-40）元，每天可卖出（140-2y）件，利用总利润=每件商品的利润日销量这一等量关系，列出关于y的一元二次方程并求解，取符合题意的y值即可.
18．（2022九上·福田期中）某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．
（1）求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；
（2）商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每天将少售出A套餐5份：如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．
【答案】（1）解：设一份A套餐的售价为x元，则一份B套餐的售价为元，根据题意得：
，
解得：，（元），
答：一份A套餐的售价为15元，则一份B套餐的售价为18元．
（2）解：两种套餐都提高a元后，销售一份A套餐获得的利润为元，即元，
销售一份B套餐获得的利润为元，即元，
可以销售A套餐的份数为：份，即份，
可以销售B套餐的份数为：份，即份，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：当时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）利用利润公式先求出 ， 再解方程即可。
1 / 1【培优版】北师大版数学九上 2.6一元二次方程的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·龙岗开学考） 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018九上·孝感月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·福田模拟）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印(放大或缩小后，需保持形状不变)及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准其中，把A0纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为：1的纸张；沿AO纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸：再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得A2纸……依此类推，得A3，A4，A5等等的纸张(如图1所示)．若设A4纸张的宽为x米，则x应为（ ）
A． B．的算术平方根
C． D．的算术平方根
4．（2023九上·贵阳期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x-1）x=6 210 B．3（x-1）=6 210
C．（3x-1）x=6 210 D．3x=6 210
5．（2024九上·石家庄期末）如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022九上·南海期中）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（ ）
A．x（x-1）＝21 B．x（x-1）＝21
C．2x（x-1）＝21 D．x（x＋1）＝21
7．（2023九上·惠州期末）某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·永年期中）用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A．x（12﹣2x+1）＝20 B．
C． D．x（12﹣2x﹣1）＝20
二、填空题
9．（2024九上·吴桥期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ．
10．（2020九上·诸城期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
11．（2023九上·顺德期中）如图，在一块长8cm，宽6cm的矩形铁片的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒.如果制作的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角切去的正方形的边长是 .
12．（2018九上·二道月考）某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为 ．
13．（2023九上·通榆月考）已知如图所示的图形的面积为24，则x的值为
三、解答题
14．（2023九上·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
15．（2023八下·深圳期末）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速.上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少
16．（2023·雷州模拟）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
17．（2023九上·青岛月考）某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数/万人 a ③ ④
（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
18．（2022九上·福田期中）某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．
（1）求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；
（2）商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每天将少售出A套餐5份：如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为xm，则停车位的合成长为（40-x）m，宽为（22-x）m，
根据题意得：（40-x）（22-x）=520；
故答案为：B.
【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度相等，利用平移的思想可得出停车位的合成的长方形的长和宽，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
3．【答案】D
【知识点】算术平方根；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设A4纸张的宽为x米，则A0纸张的宽为4x米 ，
∵ 纸张长与宽的比为：1，
∴A0纸张的长为4x米 ，
∴A0纸张的面积=4x·4x=1，
解得：x2=
∴x是的算术平方根 ，
故答案为：D.
【分析】设A4纸张的宽为x米，则A0纸张的宽为4x米 ，根据纸张长与宽的比可得A0纸张的长为4x米 ，根据A0纸张的面积为1建立方程并求解即可判断.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设这批椽的数量为x株，则可列方程为 3（x-1）x=6 210 ，
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株，根据这批椽的价钱为6 210文 ，每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，利用列出方程，从而求解.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，
纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，
，
故答案为：D．
【分析】设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，结合“纸盒的底面（图中阴影部分）面积是”即可列出方程，从而得到结果。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
则可列方程为，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出方程即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意将三条路平移可得：
∵剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，
∴所列方程为：
（20-x）（32-2x）=570.
故答案为：C.
【分析】将三条路平移，草坪是一个边长分别为（20-x）cm、（32-2x）cm的矩形，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，并结合矩形的面积等于长乘宽可得关于x的方程.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】∵铁丝的总长为12m，垂直于墙的一边长为xm，
∴平行于墙的一边长为（12+1-2x）m，
∵该场地的面积为20m2，
∴x（12-2x+1）=20，
故答案为：A.
【分析】先求出平行于墙的一边长，再结合“该场地的面积为20m2”列出方程x（12-2x+1）=20即可.
9．【答案】或
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：
，，
又是倍根方程，
当是的2倍时，
则，
解得：，
当是的2倍时，
则，
解得：，
故答案为：或．
【分析】先解出该方程的根，再根据“是倍根方程”并结合新定义“倍根方程”的意义计算出m的取值即可求解.
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，依题意列出方程，解之即可。
11．【答案】1cm
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设切去的正方形的边长为，
则盒底的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
则铁皮各角应切去边长为的正方形．
故答案为：1cm.
【分析】设切去得正方形的边长为，得出盒底的长为，宽为，再根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
12．【答案】（36﹣x）（50+5x）=2400
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每个玩具应降价x元．则此时每天出售的数量为：（50+5x）个，每个的盈利为：（36﹣x）元，
根据题意得（36﹣x）（50+5x）=2400，
故答案为（36﹣x）（50+5x）=2400．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.
列方程的关键有两个：①找出题中的等量关系：降价后每天售出玩具的数量×降价后每个玩具的盈利=2400元，②如何用x表示降价后每天售出玩具的数量；如何用x表示降价后每个玩具的盈利；
根据"每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个"可知，每个玩具降价x元，平均每天可多售出5x个”， 那么降价后每天售出玩具的数量为（50+5x）个；根据“降价前每个玩具盈利36元”可知
，降价后每个玩具的盈利为（36﹣x）元.
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】 解：如图，把图形补成一个正方形，
由图形的面积为24，
根据题意得：(x+1 )2-12=24，
整理得： x2+2x-24=0，
解得： x1=4， x2=-6 (不符合题意，舍去)，
∴x的值为4 .
故答案为：4.
【分析】直接根据图形的面积为24，列出方程(x+1 )2-12=24，解方程即可求解.
14．【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：初始销售量×（1+月增长率）×（1+月增长率）=最终的销售量，设月增长率为x，代入即可得到方程，求解即可，注意月增长率为正数；
（2）根据题意：上涨的价格=实际售价－40；故减少的销售量=10×上涨的价格，可得等量关系：（实际售价－进价）×（原销售量－减少的销售量）=10000.设实际售价为m元，代入得关于m的方程求解即可.注意m的选取.
15．【答案】（1）解：解：设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得： 20(1+x)2=45，
解得： x1=0.5=50%，x2=-2.5 (不合题意，舍去).
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%.
（2）解：设每套需要降价 y万元， 则平均每月可售出（）套 ，
依题意， 得：
整理， 得：
解得：y1= 14 ，y2=1
答∵尽量减少库存，
∴y=1
答：每套A产品需降价1万元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该公司销售A产品每次增长率为x，2月份的A产品20月份到4月份的销售量，可以列出关于x的一元二次方程，并且求出x的值，其中负的有舍去；
（2）设每套A产品降价y万元，则每月平均销售：（）套，利润=每套的利润×销售数量，列出一元二次方程，其中解有2个，需要题目中需要尽量减少库存，所以y的值需要最大的那一个就是题目的解.
16．【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1-x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）解：小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000-200×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程5（1-x）2=3.2，再求解即可；
（2）先分别求出方案一和方案二的费用，再比较大小即可。
17．【答案】（1）1.6a；1.44a
（2）该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：a（7+x）2＝1.44a，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2（不符合题意，舍去）．
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y-40）元，
根据题意得：（y-40）（140-2y）＝（60-40）×20，
整理得：y2-110y+3000＝0，
解得：y1＝50，y2＝60（不符合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．
【知识点】代数式的概念；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．设该景区4月份的游客人数为a万人，
5月份的游客人数为：
6月份的游客人数为：
故答案分别为：1.6a，1.44a.
【分析】（1）根据4月份、5月份及6月份的游客人数间的关系，即可用含a的式子表示；
（2）设该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，利用6月份的游客人数=4月份的游客人数（1+5月份、6月份游客人数的月平均增长率）2，列出一元二次方程并求解，取符合题意的x值即可；
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y-40）元，每天可卖出（140-2y）件，利用总利润=每件商品的利润日销量这一等量关系，列出关于y的一元二次方程并求解，取符合题意的y值即可.
18．【答案】（1）解：设一份A套餐的售价为x元，则一份B套餐的售价为元，根据题意得：
，
解得：，（元），
答：一份A套餐的售价为15元，则一份B套餐的售价为18元．
（2）解：两种套餐都提高a元后，销售一份A套餐获得的利润为元，即元，
销售一份B套餐获得的利润为元，即元，
可以销售A套餐的份数为：份，即份，
可以销售B套餐的份数为：份，即份，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：当时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）利用利润公式先求出 ， 再解方程即可。
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