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11.1.4 棱锥与棱台
1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征，培养数学抽象和逻辑推理的核心素养.
2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质，培养直观想象的数学核心素养.
3.掌握棱锥与棱台中的相关计算问题，能用公式解决简单的实际问题．
一、棱锥
从生活中的一些物体可以抽象出棱锥，如图都是棱锥，观察棱锥的结构，总结出一个几何体是棱锥的充要条件.
问题1：你能用自己的语言给棱锥下个定义吗？
追问2：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明．
不一定，如图．
追问1：各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？
1.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体称为棱锥.其中，
棱锥的底面
棱锥的侧面
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
S
A
B
C
D
E
O
棱锥的高
(1)这个多边形面叫做棱锥的底面；
(2)有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
(3)相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
(4)各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
(5)过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．
(6)棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积．
2.表示方法
(1)用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥S-ABCD.
(2)用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S-AC.
S
A
B
C
D
追问2：根据从正棱柱到正方体的探索经验，请你画出一个特殊的正四棱锥，并说明特殊在哪里？
追问3：你能用一个结构图表示棱锥的分类吗？
追问1：你能描述一下正三棱柱的结构特征吗？正四棱锥、正五棱锥……呢？
1.棱锥的分类：按底面的形状
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.
2.正棱椎：
如图，PO为棱锥P-ABCD的高，因此PO⊥面ABCD.
从而可知：
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高.
问题：正四棱锥的侧面展开图是什么？结合图像，你发现如何计算正棱锥的侧面积？
正棱锥的侧面积计算公式：
，其中c表示底面周长，h′表示斜高.
S正棱椎侧=
例1 如图是底面边长为1且侧棱长为 的正六棱锥
(1)写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；
(2)求棱锥的高和斜高；
(3)求棱锥的侧面积.
解：(1)直线PA与直线CD异面，直线PA∩面ABCDEF=A.
(2)作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC=1.
在Rt△POC中，可知：
设BC的中点为M，由△PBC为等腰三角形可知，PM⊥MC ，
因此PM为斜高，从而
例1 如图是底面边长为1且侧棱长为 的正六棱锥
(1)写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；
(2)求棱锥的高和斜高；
(3)求棱锥的侧面积.
(3)因为△PBC的面积为：
故棱锥的侧面积为：
【跟踪训练】已知正四棱锥的底面边长为4，高是2，则它的侧面积为________.
生活中的一些物体可以抽象出棱台，如图都是棱台，观察棱台的结构，总结出一个几何体是棱台的充要条件.
二、棱台
问题2：你能用自己的语言给棱台下个定义吗？
追问2：如图所示的几何体是棱台吗？为什么？
追问1：根据棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台中侧面、侧棱、顶点的定义？
1.棱台的定义
一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台，如图所示，其中：
(1)原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面；
(2)相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱．
(3)过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高．
上底面
侧面
侧棱
高
下底面
2.棱台的表示:可用上底面与下底面的顶点表示.
例如，如图所示的棱台ABCD-A′B′C′D′.
3.棱台的分类
按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……
A
B
C
D
正棱台的定义：由正棱锥截得的棱台，其中正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；
斜高
正四棱台
高
正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．
追问3：阅读课本74页，叙述棱台的高和侧面积？
追问4：什么是正棱台？底面是正多边形的棱台一定是正棱台吗？为什么？
问题：正四棱台的侧面展开图是什么？结合图像，你发现如何计算正棱台的侧面积？
h′
正棱台的侧面积计算公式：
，其中c′、c分别表示上、下底面周长，h′表示斜高.
S正棱椎侧=
【跟踪训练】
1．思考辨析
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．( )
(2)棱台的侧面都是等腰梯形．( )
2．下列命题中正确的是( )
A．棱台的侧面可以是平行四边形
B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
例2 如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1，O与O′分别是下底面和上底面的中心.
(1)求棱台的斜高；
(2)求棱台的高.
解：(1)因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.
如图所示，在梯形ACC′A′中，分别过A′，C′作AC的垂线A′E与C′F，
则由 AC=2，AA′=A′C′=C′C=1 可知 ，
从而 ，即斜高为 .
(2)根据O与O′分别为下底面和上底面的中心，以及下底面边长和上底面的边长分别为2，1，可以算出：
因此△VBO是一个直角三角形，画出这个三角形，如图所示，则B′O′是△VBO的中位线.
因为棱台的棱长为1，所以BB′=1，VB=2，
因此： 因此棱台的高为：
假设正三棱台A′B′C′-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A′B′C′得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO′是棱锥V-A′B′C′的高，OO′是所求棱锥的高.
从而
计算锥体和台体的表面积，注意四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用.
可借助正三棱台的直观图分析
【当堂检测】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥． ( )
(2)棱台的侧棱长都相等．( )
(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( )
2．在三棱锥A BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台
4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为2，求该三棱台的侧面积.
1. 本节课的主要内容？
2.画出本节课的思维导图？
【课后作业】
1.课本75页A1-5 ,B组1-5
2. 思考棱柱、棱锥、棱台的结构特征有哪些相同点和不同点？它们之间能否相互转化？课题 11.1.4 棱锥与棱台 课型 新授课
学习目标 1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征，培养数学抽象和逻辑推理的核心素养. 2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质，培养直观想象的数学核心素养. 3.掌握棱锥与棱台中的相关计算问题，能用公式解决简单的实际问题．
重点 棱锥与棱台的概念和结构特征、棱锥与棱台的棱长和表面积运算.
难点 掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质.
棱锥 从生活中的一些物体可以抽象出棱锥，如图都是棱锥.观察棱锥的结构，总结出一个几何体是棱锥的充要条件. 问题1：你能用自己的语言给棱锥下个定义吗？ 追问1：各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？ 追问2：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明． 问题2：类比棱柱，阅读课本72-73页自主研究棱锥的结构特征，完成下表 定义（结构特征）组成元素的名称符号表示分类特例高侧面积
追问1：你能描述一下正三棱柱的结构特征吗？正四棱锥、正五棱锥……呢？ 追问2：根据从正棱柱到正方体的探索经验，请你画出一个特殊的正四棱锥，并说明特殊在哪里？ 追问3：你能用一个结构图表示棱锥的分类吗？ 例1.如图是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥 （1）写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系； （2）求棱锥的高和斜高； （3）求棱锥的侧面积 【跟踪训练】已知正四棱锥的底面边长为4，高是2，则它的侧面积为________. 棱台 从生活中的一些物体可以抽象出棱台，如图都是棱台.观察棱台的结构，总结出一个几何体是棱台的充要条件. 问题2：用自己的语言给棱台下个定义. 追问1：根据棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台中侧面、侧棱、顶点的定义？ 追问2：如图所示的几何体是棱台吗？为什么？ 追问3：阅读课本74页，叙述棱台的高和侧面积？ 追问4：什么是正棱台？底面是正多边形的棱台一定是正棱台吗？为什么？ 【跟踪训练】 1．思考辨析 (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．( ) (2)棱台的侧面都是等腰梯形．( ) 2．下列命题中正确的是( ) A．棱台的侧面可以是平行四边形 B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 例2.如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1，与分别是下底面和上底面的中心. （1）求棱台的斜高； （2）求棱台的高. 思考：可借助正三棱台的直观图分析 三、课堂小结 1. 本节课的主要内容？ 2.画出本节课的思维导图？ 【当堂检测】 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥． ( ) (2)棱台的侧棱长都相等．( ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( ) 2．在三棱锥A BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为2，求该三棱台的侧面积． 【课后作业】 课本75页A1-5 B组1-5 思考棱柱、棱锥、棱台的结构特征有哪些相同点和不同点？它们之间能否相互转化？11.1.4 棱锥与棱台教学设计
一、课标要求
立体几何初步的内容在课标中是必修“主题三 几何与代数”的最后一个单元，出现在复数之后.关于立体几何初步的定位以及学习价值等，课标中提到：
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念.课标中指出的主要内容包括：
基本立体图形
①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
在“教学提示”中，课标指出：
立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，通过对图形的观察和操作，引导学生发现和提出描述基本图形平行、垂直关系的命题，逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，直观解释命题的含义和表述证明思路，并证明其中一些命题；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选择性必修课程中将用向量方法对这些定理加以论证.
在“学业要求”中，课标指出：
能够通过直观图理解空间图形，掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简单的实际问题.能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果.能够证明简单的几何命题（平行、垂直的性质定理），并能简单应用.
重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养.
教材分析
本小节是人教B版必修四第十一章《11.1.4棱锥与棱台》，在学习了多面体和棱柱的基础上，进一步学习特殊的多面体——棱锥与棱台.本节内容仍然从实物模型，整体观察入手，引导学生认识棱锥、棱台的结构特征；用运动的观点形成棱锥、棱台的概念，用运动变化的观点理解棱锥、棱台的概念和相互之间的关系；重视立体几何知识和平面几何知识间的“类比”，体会空间问题转化为平面问题的“转化”思想；会借助几何关系计算棱锥与棱台的棱长和表面积.教学过程中，要从整体到局部，从具体到抽象，充分通过直观感知，操作确认，多角度、多层次地揭示空间图形地本质，突出几何体的本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力，倡导学生积极主动，勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会比较、划归、分析等一般科学方法的运用.
学情分析
在初中阶段，学生已经掌握平面几何的相关知识；在高中阶段，目前学生已经掌握了斜二测画法、空间几何体的基本元素以及多面体和棱柱的概念；能用数学语言准确的描述空间中点线面的位置关系以及根据空间几何体的结构特征能够区分其否为多面体和棱柱的结构特征.有了上述知识的储备，学生在学习本节课的知识时相对容易掌握.
四、课时学案
课题 11.1.4 棱锥与棱台 课型 新授课
学习目标 1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征，培养数学抽象和逻辑推理的核心素养. 2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质，培养直观想象的数学核心素养. 3.掌握棱锥与棱台中的相关计算问题，能用公式解决简单的实际问题．
重点 棱锥与棱台的概念和结构特征、棱锥与棱台的棱长和表面积运算.
难点 掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质.
棱锥 从生活中的一些物体可以抽象出棱锥，如图都是棱锥.观察棱锥的结构，总结出一个几何体是棱锥的充要条件. 问题1：你能用自己的语言给棱锥下个定义吗？ 【设计意图】从实际生活出发，激发学生的学习热情，让学生知道知识来源于生活. 追问1：各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？ 追问2：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明． 【设计意图】深化概念，加深学生对棱锥的几何特征的认识. 问题2：类比棱柱，阅读课本72-73页自主研究棱锥的结构特征，完成下表 定义（结构特征）组成元素的名称符号表示分类特例高侧面积
追问1：你能描述一下正三棱柱的结构特征吗？正四棱锥、正五棱锥……呢？ 追问2：根据从正棱柱到正方体的探索经验，请你画出一个特殊的正四棱锥，并说明特殊在哪里？ 追问3：你能用一个结构图表示棱锥的分类吗？ 【设计意图】通过阅读课本，类比棱柱的研究方法了解棱锥的概念及基本结构，发展学生数学抽象和直观想象的核心素养. 例1.如图是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥 （1）写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系； （2）求棱锥的高和斜高； （3）求棱锥的侧面积 【跟踪训练】已知正四棱锥的底面边长为4，高是2，则它的侧面积为________. 【设计意图】通过观察、练习掌握棱锥的概念，掌握它们的相关计算问题，让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养. 棱台 从生活中的一些物体可以抽象出棱台，如图都是棱台.观察棱台的结构，总结出一个几何体是棱台的充要条件. 问题2：用自己的语言给棱台下个定义. 【设计意图】通过对生活中实物的观察以及类比，引导学生观察、分析、抽象概括出棱台的概念及基本结构.发展学生数学抽象和直观想象的核心素养. 追问1：根据棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台中侧面、侧棱、顶点的定义？ 追问2：如图所示的几何体是棱台吗？为什么？ 追问3：阅读课本74页，叙述棱台的高和侧面积？ 追问4：什么是正棱台？底面是正多边形的棱台一定是正棱台吗？为什么？ 【设计意图】通过观察与分析，获得棱台的相关概念，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养. 【跟踪训练】 1．思考辨析 (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．( ) (2)棱台的侧面都是等腰梯形．( ) 2．下列命题中正确的是( ) A．棱台的侧面可以是平行四边形 B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 例2.如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1，与分别是下底面和上底面的中心. （1）求棱台的斜高； （2）求棱台的高. 思考：可借助正三棱台的直观图分析 【设计意图】通过以上的问题组设计，强调知识的连贯并巩固本节课所学习的重难点问题. 三、课堂小结 1. 本节课的主要内容？ 2.画出本节课的思维导图？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 【当堂检测】 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥． ( ) (2)棱台的侧棱长都相等．( ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( ) 2．在三棱锥A BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为2，求该三棱台的侧面积． 【设计意图】通过以上的问题组设计，检测学生对本节课知识的掌握程度. 【课后作业】 课本75页A1-5 B组1-5 思考棱柱、棱锥、棱台的结构特征有哪些相同点和不同点？它们之间能否相互转化？ 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养.分层作业有利于不同层次学生巩固知识，提升思维能力.
