四川省甘孜州2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求
1．（2024·甘孜州）﹣24的相反数为（ ）
A．24 B．﹣24 C． D．
2．（2024·甘孜州）由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘孜州）祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.1665×107 B．1.665×106 C．16.65×105 D．166.5×104
4．（2024·甘孜州）下列计算正确的是（ ）
A．2（a+2）＝2a+2 B．a+a＝a2
C．3a 5a＝15a2 D．（a+b）2＝a2+b2
5．（2024·甘孜州）2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别约为98.7，101.4，114.9，120.5，126.1（单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（ ）
A．98.7 B．101.4 C．114.9 D．120.5
6．（2024·甘孜州）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．（2024·甘孜州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024·甘孜州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．（2024·甘孜州）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·甘孜州）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（2024·甘孜州） 分解因式：a2 + 5a = .
12．（2024·甘孜州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为 ．
13．（2024·甘孜州）方程1的解为 ．
14．（2024·甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（2024·甘孜州）（1）计算：||﹣2sin45°+（）0；
（2）解不等式组：．
16．（2024·甘孜州）化简：（x）．
17．（2024·甘孜州）某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生，扇形统计图中圆心角α＝ ▲ 度；
②补全条形统计图；
（2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数．
18．（2024·甘孜州）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．（2024·甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，3），B（m，﹣2）两点在反比例函数y的图象上．
（1）求k与m的值；
（2）连接BO，并延长交反比例函数y的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
20．（2024·甘孜州）如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（2024·甘孜州）若x2+2x＝3，则2x2+4x﹣5＝ ．
22．（2024·甘孜州）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 ．
23．（2024·甘孜州）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
24．（2024·甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 .
25．（2024·甘孜州）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为 cm．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（2024·甘孜州）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60
（1）设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
27．（2024·甘孜州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1＝∠ABC．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠4＝45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC＝13，AD＝5，求EF的长．
28．（2024·甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
（1）【理解与运用】
若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝ ，n＝ ．
（2）【思考与探究】
设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由题意得-24的相反数为24，
故答案为：A
【分析】根据有理数的相反数写出-24的相反数即可求解.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图是
故答案为：B
【分析】根据简单组合体的三视图画出其主视图即可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将1665000用科学记数法表示应为1.665×106
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据去括号法则判断A；运用合并同类项判断B；运用单项式乘单项式判断C；运用完全平方公式判断D，进而即可求解。
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从下到大排列得98.7，101.4，114.9，120.5，126.1，
∴中位数为114.9，
故答案为：C
【分析】先根据题意将这组数据从小到大排列，进而根据中位数的定义即可求解.
6．【答案】B
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴图象经过第一、二、三象限，
∴图象不经过第四象限．
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的图象与性质得到，进而即可求解.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据正多边形的性质得到∠BOA的度数，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解.
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
11．【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CB=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长为8，
故答案为：8.
【分析】根据菱形的性质结合AB的长即可求解.
13．【答案】x＝3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
x-2=1，
x=3，
经检验x=3为原方程的解，
故答案为：x=3
【分析】根据题意解分式方程，最后检验即可求解.
14．【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：， ，
，
由题意得为的角平分线，
，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，进而根据作图过程得到为的角平分线，再结合角平分线的定义即可求解.
15．【答案】（1）原式
1
＝1；
（2）由①得：x＞1，
由②得：x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）先根据题意分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集.
16．【答案】解：原式
＝x﹣1．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简即可求解.
17．【答案】（1）①18；54
②声乐社团的人数为40×45%＝18（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：400×40%＝160（名），
答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数有160名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取了16÷40%＝40（名），
扇形统计图中圆心角α＝360°54°；
故答案为：18；54.
【分析】（1）①根据题意用舞蹈的人数除以所占百分比即可求出总人数，再根据圆心角的计算公式结合题意即可求解；
②用总人数乘声乐社团所占的百分比即可求出其人数，进而即可补全条形统计图；
（2）根据样本估计总体的知识结合扇形统计图的信息即可求解.
18．【答案】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
在Rt△APC中，∴∠A＝37°，AP＝100海里，
∴PC＝AP sinA＝100×sin37°≈100×0.6＝60（海里），AC＝AP cos37°＝100×0.8＝80（海里），
在Rt△PBC中，∵∠B＝45°，
∴BC＝PC＝60（海里），
∴AB＝AC+BC＝80+60＝140（海里），
答：B处距离A处有140海里．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过P作PC⊥AB于C，先根据题意解直角三角形求出PC和AC，进而根据等腰直角三角形的性质得到BC＝PC＝60（海里），从而根据AB=AC+BC即可求解.
19．【答案】（1）∵A（2，3），B（m，﹣2）两点在反比例函数y的图象上，
∴k＝2×3＝m×（﹣2），
∴k＝6，m＝﹣3．
（2）由（1）可知点B（﹣3，﹣2），根据反比例函数图象的中心对称性质可得点C（3，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据题意将点A代入反比例函数解析式即可得到k，进而将点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出m；
（2）由（1）可知点B（﹣3，﹣2），根据反比例函数图象的中心对称性质可得点C（3，2），进而运用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式.
20．【答案】（1）证明：设OC交AB于点E，
∵OC是⊙O的半径，C为的中点，
∴OC垂直平分AB，
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠OEB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，
∴OD＝OB+BD＝3+2＝5，
∵∠OCD＝90°，
∴CD4，
∴S△OCDCD OC4×3＝6，
∴△OCD的面积是6．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）设OC交AB于点E，先根据题意结合垂径定理得到OC垂直平分AB，进而根据平行线的性质得到∠OCD＝∠OEB＝90°，从而根据切线的判定即可求解；
（2）根据题意求出OD，进而运用勾股定理求出CD，再根据三角形的面积公式即可求解.
21．【答案】1
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵x2+2x＝3
∴2x2+4x﹣5＝2（x2+2x）﹣5＝6-5=1，
故答案为：1
【分析】根据题意运用整式的加减运算进行转化，进而整体代入代数式即可求解.
22．【答案】（3，30°）
【知识点】有序数对；确定位置的方法
【解析】【解答】解：∵A，B的位置分别表示为．
∴目标C的位置表示为（3，30°），
故答案为：（3，30°）
【分析】先根据图片结合题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，进而即可写出正确有序数对.
23．【答案】5
【知识点】一元一次方程的其他应用；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人，由题意得，
解得，
故答案为：5．
【分析】设第一批次确定的人员中，男生为x人，进而根据“加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，抽中男生的概率为”即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解.
24．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得，
设，则，
由勾股定理得，
解得.
故答案为：3．
【分析】先根据折叠的性质得到，设，则，进而根据勾股定理即可求解.
25．【答案】6.1
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得a与各个测量数据的差的平方和
，
∵5＞0，
∴当时，存在最小值，
青稞穗长的最佳近似长度为，
故答案为：．
【分析】先根据题意写出a与各个测量数据的差的平方和，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解.
26．【答案】（1）y＝（120﹣90）x+（60﹣50）（200﹣x）
＝20x+2000，
答：y关于x的函数解析式y＝20x+2000．
（2）20x+2000≥3000，
解得：x≥50，
故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进A种粽子50盒．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格信息结合总利润=每件利润×件数即可写出y与x的一次函数关系式；
（2）根据题意列出不等式，从而即可求解.
27．【答案】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°＝∠A，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠ABC＝90°，
∵∠1＝∠ABC，
∴∠2＝∠3；
（2）解：①BC＝BD，理由如下：设∠2＝∠3＝x，
∴∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，
∵∠4＝45°，
∴∠CDB＝180°﹣45°﹣（90°﹣x）＝45°+x，
∵∠BCD＝∠4+∠2＝45°+x，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BC＝BD；
②∵BC＝BD＝13，AD＝5，
∴AB12，
∵BC＝BD，∠A＝∠CEB，∠2＝∠3，
∴△ADB≌△EBC（AAS），
∴BE＝AD＝5，
∵∠A＝∠CEB，∠3＝∠3，
∴△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴EF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠CEB＝90°＝∠A，进而等量代换即可求解；
（2）①设∠2＝∠3＝x，则∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，进而进行角的运算即可得到∠BCD＝∠BDC，从而根据等腰三角形的性质即可求解；
②根据勾股定理求出AB，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ADB≌△EBC（AAS）得到BE＝AD＝5，再根据相似三角形的判定与性质证明△EFB∽△ADB得到，代入数值即可求解.
28．【答案】（1）2；±1
（2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），
又C2始终是C0的伴随抛物线，
∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），
∴，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9），
当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5，
抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；
∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上，
∴（2，9）在C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
【分析】（1）先根据题意得到点在的伴随抛物线上，进而代入函数解析式即可求出m和n；
（2）①根据题意得到顶点坐标为，进而代入二次函数接下即可得到，从而即可求解；
②根据题意得到顶点坐标在图像上滑动，进而分类讨论：当顶点在（﹣1，0）下方时，当顶点在（5，0）下方时，从而即可求解.
1 / 1四川省甘孜州2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求
1．（2024·甘孜州）﹣24的相反数为（ ）
A．24 B．﹣24 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由题意得-24的相反数为24，
故答案为：A
【分析】根据有理数的相反数写出-24的相反数即可求解.
2．（2024·甘孜州）由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图是
故答案为：B
【分析】根据简单组合体的三视图画出其主视图即可求解.
3．（2024·甘孜州）祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.1665×107 B．1.665×106 C．16.65×105 D．166.5×104
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将1665000用科学记数法表示应为1.665×106
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2024·甘孜州）下列计算正确的是（ ）
A．2（a+2）＝2a+2 B．a+a＝a2
C．3a 5a＝15a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据去括号法则判断A；运用合并同类项判断B；运用单项式乘单项式判断C；运用完全平方公式判断D，进而即可求解。
5．（2024·甘孜州）2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别约为98.7，101.4，114.9，120.5，126.1（单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（ ）
A．98.7 B．101.4 C．114.9 D．120.5
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从下到大排列得98.7，101.4，114.9，120.5，126.1，
∴中位数为114.9，
故答案为：C
【分析】先根据题意将这组数据从小到大排列，进而根据中位数的定义即可求解.
6．（2024·甘孜州）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝30°，则∠2＝（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
7．（2024·甘孜州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴图象经过第一、二、三象限，
∴图象不经过第四象限．
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的图象与性质得到，进而即可求解.
8．（2024·甘孜州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据正多边形的性质得到∠BOA的度数，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解.
9．（2024·甘孜州）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
10．（2024·甘孜州）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（2024·甘孜州） 分解因式：a2 + 5a = .
【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．（2024·甘孜州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为 ．
【答案】8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CB=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长为8，
故答案为：8.
【分析】根据菱形的性质结合AB的长即可求解.
13．（2024·甘孜州）方程1的解为 ．
【答案】x＝3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
x-2=1，
x=3，
经检验x=3为原方程的解，
故答案为：x=3
【分析】根据题意解分式方程，最后检验即可求解.
14．（2024·甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．
【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：， ，
，
由题意得为的角平分线，
，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，进而根据作图过程得到为的角平分线，再结合角平分线的定义即可求解.
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（2024·甘孜州）（1）计算：||﹣2sin45°+（）0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）原式
1
＝1；
（2）由①得：x＞1，
由②得：x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）先根据题意分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集.
16．（2024·甘孜州）化简：（x）．
【答案】解：原式
＝x﹣1．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简即可求解.
17．（2024·甘孜州）某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生，扇形统计图中圆心角α＝ ▲ 度；
②补全条形统计图；
（2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数．
【答案】（1）①18；54
②声乐社团的人数为40×45%＝18（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：400×40%＝160（名），
答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数有160名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取了16÷40%＝40（名），
扇形统计图中圆心角α＝360°54°；
故答案为：18；54.
【分析】（1）①根据题意用舞蹈的人数除以所占百分比即可求出总人数，再根据圆心角的计算公式结合题意即可求解；
②用总人数乘声乐社团所占的百分比即可求出其人数，进而即可补全条形统计图；
（2）根据样本估计总体的知识结合扇形统计图的信息即可求解.
18．（2024·甘孜州）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
在Rt△APC中，∴∠A＝37°，AP＝100海里，
∴PC＝AP sinA＝100×sin37°≈100×0.6＝60（海里），AC＝AP cos37°＝100×0.8＝80（海里），
在Rt△PBC中，∵∠B＝45°，
∴BC＝PC＝60（海里），
∴AB＝AC+BC＝80+60＝140（海里），
答：B处距离A处有140海里．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过P作PC⊥AB于C，先根据题意解直角三角形求出PC和AC，进而根据等腰直角三角形的性质得到BC＝PC＝60（海里），从而根据AB=AC+BC即可求解.
19．（2024·甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，3），B（m，﹣2）两点在反比例函数y的图象上．
（1）求k与m的值；
（2）连接BO，并延长交反比例函数y的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
【答案】（1）∵A（2，3），B（m，﹣2）两点在反比例函数y的图象上，
∴k＝2×3＝m×（﹣2），
∴k＝6，m＝﹣3．
（2）由（1）可知点B（﹣3，﹣2），根据反比例函数图象的中心对称性质可得点C（3，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据题意将点A代入反比例函数解析式即可得到k，进而将点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出m；
（2）由（1）可知点B（﹣3，﹣2），根据反比例函数图象的中心对称性质可得点C（3，2），进而运用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式.
20．（2024·甘孜州）如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
【答案】（1）证明：设OC交AB于点E，
∵OC是⊙O的半径，C为的中点，
∴OC垂直平分AB，
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠OEB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，
∴OD＝OB+BD＝3+2＝5，
∵∠OCD＝90°，
∴CD4，
∴S△OCDCD OC4×3＝6，
∴△OCD的面积是6．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）设OC交AB于点E，先根据题意结合垂径定理得到OC垂直平分AB，进而根据平行线的性质得到∠OCD＝∠OEB＝90°，从而根据切线的判定即可求解；
（2）根据题意求出OD，进而运用勾股定理求出CD，再根据三角形的面积公式即可求解.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（2024·甘孜州）若x2+2x＝3，则2x2+4x﹣5＝ ．
【答案】1
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵x2+2x＝3
∴2x2+4x﹣5＝2（x2+2x）﹣5＝6-5=1，
故答案为：1
【分析】根据题意运用整式的加减运算进行转化，进而整体代入代数式即可求解.
22．（2024·甘孜州）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 ．
【答案】（3，30°）
【知识点】有序数对；确定位置的方法
【解析】【解答】解：∵A，B的位置分别表示为．
∴目标C的位置表示为（3，30°），
故答案为：（3，30°）
【分析】先根据图片结合题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，进而即可写出正确有序数对.
23．（2024·甘孜州）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
【答案】5
【知识点】一元一次方程的其他应用；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人，由题意得，
解得，
故答案为：5．
【分析】设第一批次确定的人员中，男生为x人，进而根据“加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，抽中男生的概率为”即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解.
24．（2024·甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得，
设，则，
由勾股定理得，
解得.
故答案为：3．
【分析】先根据折叠的性质得到，设，则，进而根据勾股定理即可求解.
25．（2024·甘孜州）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为 cm．
【答案】6.1
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得a与各个测量数据的差的平方和
，
∵5＞0，
∴当时，存在最小值，
青稞穗长的最佳近似长度为，
故答案为：．
【分析】先根据题意写出a与各个测量数据的差的平方和，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（2024·甘孜州）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60
（1）设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
【答案】（1）y＝（120﹣90）x+（60﹣50）（200﹣x）
＝20x+2000，
答：y关于x的函数解析式y＝20x+2000．
（2）20x+2000≥3000，
解得：x≥50，
故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进A种粽子50盒．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格信息结合总利润=每件利润×件数即可写出y与x的一次函数关系式；
（2）根据题意列出不等式，从而即可求解.
27．（2024·甘孜州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1＝∠ABC．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠4＝45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC＝13，AD＝5，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°＝∠A，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠ABC＝90°，
∵∠1＝∠ABC，
∴∠2＝∠3；
（2）解：①BC＝BD，理由如下：设∠2＝∠3＝x，
∴∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，
∵∠4＝45°，
∴∠CDB＝180°﹣45°﹣（90°﹣x）＝45°+x，
∵∠BCD＝∠4+∠2＝45°+x，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BC＝BD；
②∵BC＝BD＝13，AD＝5，
∴AB12，
∵BC＝BD，∠A＝∠CEB，∠2＝∠3，
∴△ADB≌△EBC（AAS），
∴BE＝AD＝5，
∵∠A＝∠CEB，∠3＝∠3，
∴△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴EF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠CEB＝90°＝∠A，进而等量代换即可求解；
（2）①设∠2＝∠3＝x，则∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，进而进行角的运算即可得到∠BCD＝∠BDC，从而根据等腰三角形的性质即可求解；
②根据勾股定理求出AB，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ADB≌△EBC（AAS）得到BE＝AD＝5，再根据相似三角形的判定与性质证明△EFB∽△ADB得到，代入数值即可求解.
28．（2024·甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
（1）【理解与运用】
若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝ ，n＝ ．
（2）【思考与探究】
设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
【答案】（1）2；±1
（2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），
又C2始终是C0的伴随抛物线，
∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），
∴，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9），
当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5，
抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；
∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上，
∴（2，9）在C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
【分析】（1）先根据题意得到点在的伴随抛物线上，进而代入函数解析式即可求出m和n；
（2）①根据题意得到顶点坐标为，进而代入二次函数接下即可得到，从而即可求解；
②根据题意得到顶点坐标在图像上滑动，进而分类讨论：当顶点在（﹣1，0）下方时，当顶点在（5，0）下方时，从而即可求解.
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