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专题01 集合与常用逻辑用语
考点一 元素与集合关系的判断
1．（2024·上海）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
1．（2022·全国乙卷理）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
考点二 集合的包含关系判断及应用
1．（2023·新高考II）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
考点三 并集及其运算
1．（2024·北京）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得.
故选：C.
1．（2022·浙江）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
故选：D.
1．（2021·北京）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：.
故选：B.
1．（2020·山东）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1【答案】C
【解析】
故选：C
考点四 交集及其运算
1．（2024·新高考I）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
2．（2024·全国甲卷文）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：C
3．（2024·天津）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
所以，
故选：B
1．（2023·新高考I）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．（2023·北京）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
1．（2022·全国乙卷文）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以．
故选：A.
2．（2022·全国甲卷文）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以．
故选：A.
3．（2022·全国I卷）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故，
故选：D
4．（2022·全国II卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
1．（2021·全国乙卷理）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C
2．（2021·全国甲卷文）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故，
故选：B.
3．（2021·全国甲卷理）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以,
故选：B.
4．（2021·全国I卷）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设有，
故选：B .
5．（2021·浙江）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由交集的定义结合题意可得：.
故选：D.
1．（2020·全国II卷）设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【解析】因为A {2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
2．（2020·全国II卷文）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A． B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【解析】因为，
或，
所以.
故选：D.
3．（2020·全国III卷文）已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
4．（2020·全国III卷理）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
5．（2020·北京）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
故选：D.
6．（2020·浙江）已知集合P=，，则PQ=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B
7．（2020·江苏）已知集合，则 .
【答案】
【解析】∵,
∴
故答案为：.
8．（2020·全国I卷文）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
9．（2020·全国I卷理）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
考点五 交、并、补集的混合运算
1．（2024·全国甲卷文）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，
故选：D
2．（2024·上海）设全集，集合，则 ．
【答案】
【解析】由题设有，
故答案为：
1．（2023·全国乙卷文））设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则.
故选：A.
2．（2023·全国乙卷理）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
3．（2023·全国甲卷文）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集，集合，所以，
又，所以，
故选：A.
4．（2023·全国甲卷理）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集，，所以，．
故选：A．
5．（2023·天津）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，而，
所以.
故选：A
1．（2022·全国甲卷理）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
2．（2022·北京）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
3．（2022·天津）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故，
故选：A.
1．（2021·全国乙文）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，则.
故选：A.
2．（2021·全国II卷）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设可得，故，
故选：B.
3．（2020·全国II卷理）已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，则（ ）
A．{ 2，3} B．{ 2，2，3} C．{ 2， 1，0，3} D．{ 2， 1，0，2，3}
【答案】A
【解析】由题意可得：，则.
故选：A.
4．（2020·天津）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合补集的定义可知：，则.
故选：C.
考点六 命题的真假判断与应用
1．（2024·全国II卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
1．（2023·北京）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【解析】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
1．（2021·全国乙文）已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
1．（2020·全国II卷理）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .
①②③④
【答案】①③④
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
考点七 充分条件与必要条件
1．（2024·上海）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
2．（2022·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
3．（2024·全国甲卷理）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
4．（2024·北京）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
1．（2023·全国甲卷理）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023·全国I卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3．（2023·北京）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
4．（2023·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
1．（2022·天津）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2022·浙江卷）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
1．（2021·全国甲卷理）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
2．（2021·北京）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2021·天津）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，.
故选：C.
4．（2021·天津）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2021·浙江）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
1．（2020·北京）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
2．（2020·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2020·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
五年真题
2024 小
2022 小
2023 小
2024 小
2022 小
2021 小
2020 小
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专题01 集合与常用逻辑用语
考点一 元素与集合关系的判断
1．（2024·上海）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2022·全国乙卷理）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 集合的包含关系判断及应用
1．（2023·新高考II）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
考点三 并集及其运算
1．（2024·北京）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2022·浙江）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·北京）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2020·山东）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1考点四 交集及其运算
1．（2024·新高考I）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国甲卷文）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·新高考I）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2022·全国乙卷文）集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国甲卷文）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国I卷）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国II卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全国乙卷理）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国甲卷文）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国甲卷理）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国I卷）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·全国II卷）设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
2．（2020·全国II卷文）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A． B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
3．（2020·全国III卷文）已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2020·全国III卷理）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2020·北京）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2020·浙江）已知集合P=，，则PQ=（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·江苏）已知集合，则 .
8．（2020·全国I卷文）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·全国I卷理）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
考点五 交、并、补集的混合运算
1．（2024·全国甲卷文）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海）设全集，集合，则 ．
1．（2023·全国乙卷文））设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国乙卷理）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国甲卷文）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国甲卷理）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国甲卷理）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全国乙文）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国II卷）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国II卷理）已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，则（ ）
A．{ 2，3} B．{ 2，2，3} C．{ 2， 1，0，3} D．{ 2， 1，0，2，3}
4．（2020·天津）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
考点六 命题的真假判断与应用
1．（2024·全国II卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
1．（2023·北京）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
1．（2021·全国乙文）已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·全国II卷理）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .
①②③④
考点七 充分条件与必要条件
1．（2024·上海）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·全国甲卷理）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
4．（2024·北京）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2023·全国甲卷理）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2023·全国I卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·北京）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
1．（2022·天津）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
2．（2022·浙江卷）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2021·全国甲卷理）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2021·北京）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·天津）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021·浙江）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
1．（2020·北京）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2020·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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