人教版九年级数学上暑假预习课第十二讲 二次函数自学成果检测题（含解析）

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人教版九年级数学上暑假预习课
第十二讲 二次函数自学成果检测题
考试范围：22章；考试时间：120分钟；满分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．抛物线经过原点，那么a的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．35
4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　）
A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6
7．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
根据表格中的信息，以下结论正确的是（ ）
A．当时，有最大值．
B．当时，随的增大而减小
C．关于的一元二次方程的根为，
D．若，则
8．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，总是非负数；
②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先减小后增大；
④四边形一定为正方形．
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
第II卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．二次函数 的最小值为 ．
12．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限．
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ．
14．如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m．
15．已知二次函数（a，b，c是常数），满足且，下列四个结论：
①；
②；
③当时，y随x的增大而增大；
④图象与直线有2个交点，设两交点横坐标之差为d；则．
其中正确的有 ．（填写序号）
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）探究二次函数及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 　　；
②图象的对称轴为直线 　　；
③图象与轴的交点坐标为 　　；
④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　．
17．（8分）已知二次函数．
(1)若该二次函数的最大值为，求m的值；
(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围．
18．（8分）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在y轴上，且，求线段的长．
19．（8分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少
20．（9分）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面任务．
利用二次函数的图象解不等式
我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题．
第一步：画出二次函数的图象．
列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 5 0 0 5
描点、连线，如图1所示．
第二步：确定二次函数的图象与轴的交点．
由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和．
第三步：确定不等式的解集．
由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即，
不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为．
任务：
(1)利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个）
A．数形结合思想 B．统计思想 C．公理化思想
(2)请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程．
21．（9分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米．
(1)请求出抛物线的函数表达式；
(2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离．
22．（12分）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．
(1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
23．（13分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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第十二讲 二次函数自学成果检测题（解析版）
考试范围：22章；考试时间：120分钟；满分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】由二次函数的对称性可求得抛物线的对称轴．
【详解】解：∵抛物线过，两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上关于对称轴对称的点所对应的函数值相等是解题的关键．
2．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
3．抛物线经过原点，那么a的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．35
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴，解得：，
故选C．
4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：D．
5．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，由此即可得出答案．
【详解】将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是
故选：B．
6．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　）
A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可．
【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5，
时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，
①若，时，取得最大值，
可得：，
解得：或（舍）；
②若，当时，取得最大值，
可得：，
解得：或（舍）．
综上，的值为或6，
故选：D．
7．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
根据表格中的信息，以下结论正确的是（ ）
A．当时，有最大值．
B．当时，随的增大而减小
C．关于的一元二次方程的根为，
D．若，则
【答案】C
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
由表格可知当和时，，可得抛物线对称轴为，继而可得再利用表格数据求出函数解析式，画出图象即可判断．
【详解】解：当和时，，
∴抛物线对称轴为，
∴，
∴，
又∵当时，；当时，；
∴解得：
∴函数解析式为：，
画出函数图象如图：
∴当时，有最小值．故A错误；
当时，随的增大而增大，故B错误；
关于的一元二次方程，即的根是，，故C正确；
当时，抛物线与ｘ轴交点为，
∴若，则或，故D不正确．
故选C．
8．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，总是非负数；
②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先减小后增大；
④四边形一定为正方形．
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①由非负数的性质，即可证得，可得无论x取何值，总是负数；
②由抛物线与交于点，可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；；
③由，可得随着x的增大，的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴无论x取何值，总是负数；故①错误；
②∵抛物线与交于点，
∴当时，，
即，
解得：；
∴，
∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；
③∵，
∴随着x的增大，的值减小；故③错误；
④设与交于点，
∵当时，，
解得：或，
∴点，
当时，，
解得：或，
∴点，
∴，，
当时，， ，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．故④正确．
综上所述：正确的是②④．共2个；
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
10．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；④根据两根之和，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．
【详解】抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确，
时，，
，即，故②正确，
的图象过点和，
，，则，
，
，故③正确，
，
，
，
∵，
∴，故④正确，
对于，可得：，
由函数图象交点可知或，
，
，
，故⑤正确，
故选：D．
第II卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．二次函数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数最值，由可得，时，取得最小值．
【详解】解：
当时，取最小值，最小值为
故答案为：．
12．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∵，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式，根据题意确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案．
【详解】解：二次函数的图象与y轴交于点A，
，
直线经过点A，
，
，
点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，
，
整理得，
即，，
时，总有，
时，总有，
，
即，
解得，
故答案为：．
14．如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m．
【答案】．
【分析】本题考查二次函数的应用．建立坐标系，利用待定系数法求得该抛物线对应的函数解析式；求出时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于的空隙即可求解．
【详解】解：建立如图的平面直角坐标系，
，抛物线顶点坐标，
设抛物线的解析式为：，
依题意得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
∵，
当时，，
当时，．
故答案为：．
15．已知二次函数（a，b，c是常数），满足且，下列四个结论：
①；
②；
③当时，y随x的增大而增大；
④图象与直线有2个交点，设两交点横坐标之差为d；则．
其中正确的有 ．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据且，结合二次函数的图象的性质，判断出进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①∵二次函数（a，b，c是常数），满足且，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
③∵
∴即
解得：
∵，
∴
∴当时，y随x的增大而增大；
④∵，图象与直线有2个交点，设两交点横坐标之差为d；
∴
即
∴
∴
由③可得
∴当时取得最小值，最小值为
当时，取得最大值，最大值为
∴
∴，故④正确，
故答案为：①③④．
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）探究二次函数及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 　　；
②图象的对称轴为直线 　　；
③图象与轴的交点坐标为 　　；
④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　．
【答案】①向上；②；③；④3，
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，有最小值，
令，则，
图象与轴的交点坐标为，
故答案为：①向上；②；③；④3，．
17．（8分）已知二次函数．
(1)若该二次函数的最大值为，求m的值；
(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题：
（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可；
（2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴当时，二次函数有最大值，
∵该二次函数的最大值为，
∴，
∴；
（2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为，
∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下，
∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，
∴．
18．（8分）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在y轴上，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键．
（1）用待定数法求二次函数的解析式即可．
（2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为
∴
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）令，则，
解得，
∴，，
∴，
∴．
①当时，
②当时，
综上：的长为1或．
19．（8分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少
【答案】(1)，
(2)当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利润为，则，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得：代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为，
当时，，解得：，
∴自变量的取值范围为：．
（2）解：设利润为，
则，
∴当时，，
答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元．
20．（9分）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面任务．
利用二次函数的图象解不等式
我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题．
第一步：画出二次函数的图象．
列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 5 0 0 5
描点、连线，如图1所示．
第二步：确定二次函数的图象与轴的交点．
由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和．
第三步：确定不等式的解集．
由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即，
不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为．
任务：
(1)利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个）
A．数形结合思想 B．统计思想 C．公理化思想
(2)请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程．
【答案】(1)A
(2)不等式的解集为或，画图及过程见解析
【分析】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，掌握数形结合的方法是解本题的关键；
（1）根据题干部分的阅读提示可得答案；
（2）先构建二次函数，再画二次函数的图象，建立对应的不等式，再利用数形结合的方法解题即可．
【详解】（1）解：利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故选A；
（2）画函数的图象如图所示．
列表如下：
描点并连线：
将不等式进一步变形为，
观察图像可知，抛物线与轴相交于和两点，
当或时，
二次函数的图象位于轴下方，此时，即，
不等式的解集为或．
21．（9分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米．
(1)请求出抛物线的函数表达式；
(2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离．
【答案】(1)
(2)此时石头到轴的距离为米
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）将代入，进而得出，根据对称轴为，进而求得的值，即可求解；
（2）根据题意，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题可得，将代入得，，
，
抛物线的顶点横坐标为20，
，
，
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意可得：，
解得，（舍去），
此时石头到y轴的距离为5米．
22．（12分）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．
(1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，
（1）根据题意得顶点，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据平移的性质可得所求区域为边长为矩形的面积，即可求解；
（3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，代入求得函数值，进而根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：又∵，
∴,，顶点
设抛物线解析式为
∴
解得：
∴抛物线解析式为：
（2）将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域
∴贴黄黑立面标记的区域的面积为
（3）由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，
∴令x=2，则．
又（米），
∴该隧道车辆的限制高度为5米．
23．（13分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)的坐标为或
(3)的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
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