人教版数学九年级上暑假预习课第十四讲 中心对称（含解析）

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人教版数学九年级上暑假预习课
第十四讲 中心对称
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知识点梳理
知识点1 中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
名师点拨
中心对称与旋转、轴对称的区别联系
（1）旋转和中心对称的联系与区别
轴对称和中心对称的联系与区别
典例剖析1
例1-1．若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
例1-2．图形A关于直线轴对称后得到图形B，图形B关于，轴对称后得到图形C，如果，那么图形A与图形C之间的关系是（ ）
A．轴对称 B．中心对称 C．重合 D．以上都不对
针对训练1
1．下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
能力提升1
1．如图所示的是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，将绕着边的中点旋转180°，下面说法不正确的是（ ）

A．各边的中点都可通过网格确定
B．绕的中点旋转后得到的三角形的顶点不在网格的格点上
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形
D．绕着各边的中点旋转后得到的三角形的顶点都在网格的格点上
2．如图所示，与关于O成中心对称，那么 ， ， ，点A、O与 三点在同一直线上， 三点在同一直线上， 三点在同一直线上．

知识点2 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
名师点拨
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
区别 （1）是针对两个图形而言的.（2）是指两个图形的（位置）关系.（3）对称点在两个图形上.（4）对称中心在两个图形之间. （1）是针对一个图形而言的.（2）是指具有某种性质的一个图形.（3）对称点在一个图形上.（4）对称中心在图形上.
联系 （1）都是通过把图形旋转180°重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
典例剖析2
例2-1．已知与成中心对称，则对称中心为（　　）
A．点O B．点P C．点Q D．点T
例2-2．下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
例2-3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
针对训练2
1．如图，中，，．
(1)将各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得，画出；
(2)将各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，得，画出；
(3)将△A2B2C2各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，得，画出；
(4)在，，中，△ 与△ 成轴对称，对称轴是 ；△ 与△ 成中心对称，对称中心的坐标是 ．
2．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
3．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
能力提升2
1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)画出，使与关于原点O成中心对称；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出；
(3)连接，过点B作，垂足为点H．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法）
2．二次函数的图像交轴于原点及点．
感知特例：
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格：（___，___）
②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为．
形成概念：
我们发现形如（1）中的图像上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
3．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数．
(1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式；
(2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式．
(3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值．
知识点3 中心对称的性质
1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2.中心对称的两个图形是全等图形.
名师点拨
找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
典例剖析3
例3-1．如图，线段与相交于点，且，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③线段与关于点成中心对称；④和关于点成中心对称．
A．4 B．3 C．2 D．1
例3-2．如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ．
例3-3．如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
针对训练3
1．如图，在中，点是的中点，与关于点中心对称，若，则的度数为 ．

2．如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为 ．
3．【项目式学习】
【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？
【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习．
任务一：查阅资料
小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ．
素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为；
任务二：特例验证
（1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为；
任务二：迁移推广
小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等，
例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积，
（2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积
任务三：实践应用
（3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标．
能力提升3
1．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值．
2．如图，线段、相交于点O，，．线段上的两点E、F关于点O对称．求证：．
3．如图，在中，，点为边的中点，动点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，点与点关于点成中心对称．设点运动的时间为秒．

(1)的度数为______度；
(2)当点在的角平分线上时，求线段的长；
(3)连结．
①当四边形是菱形时，求菱形的面积；
②直接写出时的值．
知识点4 关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)
名师点拨
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
典例剖析4
例4-1．已知点，点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
例4-2．二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，旋转后的图像与轴交于点，若，则的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．3 D．
例4-3．点关于原点中心对称的点的坐标为 ．
针对训练4
1．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于x轴对称的；并写出对应点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的；并写出对应点的坐标；
(3)观察发现：的两次轴对称位置变化，相当于它一次怎样的变化？
(4)请求出三角形的面积．
(5)为轴上一动点，当周长最小时，画出P点的位置．
2．如图，在直角坐标平面内，已知点，点B在y轴的正半轴上且到x轴的距离为1个单位，将点B向右平移2个单位，再向上平移3个单位到达点C，点D与点A关于原点对称．

(1)在直角坐标平面内分别描出点B、C、D；
(2)写出图中点B、C、D的坐标是：B ，C ，D ；
(3)按顺次连接起来所得的图形的面积是______．
3．如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？
能力提升4
1．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为，已知点A的坐标为．

(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为，求出点B的坐标及n的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝2．点M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
知识点5 图案设计
图案设计常常利用轴对称、旋转、平移等方法，由于轴对称、旋转、平移现象在现实生活中普遍存在，并有广泛的应用和丰富的文化价值，因此轴对称变换、旋转变换、平移变换是设计图案的常用方法。
名师点拨
全等变换分式：平移、旋转、轴对称
在上述变换过程中改变了图形的位置，其形状大小不变。
设计图案时，以某个图案为基本图形，通过平移、旋转、轴对称组合进行图案设计。
典例剖析5
例5-1．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
例5-2．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（ ）
A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π
针对训练5
1．如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程 ．
2．如图，在方格纸中，点都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形，使它的顶点都在方格的顶点上．
(1)在图1中所画的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)在图2中所画的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3．如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．
能力提升5
1．如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等．
（1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　；
（2）当a＝24时，求b的值；
（3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由；
（4）直接写出a与b的数量关系．

2．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）．

3．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图．
(1)根据图②将图③补充完整；
(2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形．
人教版数学九年级上暑假预习课
第十四讲 中心对称（解析版）
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知识点梳理
知识点1 中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
名师点拨
中心对称与旋转、轴对称的区别联系
（1）旋转和中心对称的联系与区别
轴对称和中心对称的联系与区别
典例剖析1
例1-1．若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据中心对称的定义和性质判断即可．本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等．
【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称，
则①这两个图形一定全等，此结论正确；
②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确；
③对称点到对称中心的距离相等，此结论正确；
④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误；
故选：C．
例1-2．图形A关于直线轴对称后得到图形B，图形B关于，轴对称后得到图形C，如果，那么图形A与图形C之间的关系是（ ）
A．轴对称 B．中心对称 C．重合 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称和中心对称变化，画出示意图即可得出答案．
【详解】解：如图，

图形A与图形C之间的关系是中心对称．
故选B．
针对训练1
1．下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意；
D是轴对称，不成中心对称，符合题意．
故选：D．
2．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
中阴影部分两个三角形成中心对称，
故选：A．
【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称．
能力提升1
1．如图所示的是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，将绕着边的中点旋转180°，下面说法不正确的是（ ）

A．各边的中点都可通过网格确定
B．绕的中点旋转后得到的三角形的顶点不在网格的格点上
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形
D．绕着各边的中点旋转后得到的三角形的顶点都在网格的格点上
【答案】B
【分析】将绕着边的中点旋转180°后根据选项依次作答．
【详解】解：A．△ABC各边的中点都可通过网格确定，故该选项正确，不符合题意；
B.将△ABC绕着边的中点旋转180°后如图，

绕的中点旋转后得到的三角形的顶点在网格的格点上，故该选项不正确，符合题意；
C. 旋转前后的两个三角形可形成平行四边形
D. 根据中心对称的性质可得，绕着各边的中点旋转后得到的三角形的顶点都在网格的格点上
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质．
2．如图所示，与关于O成中心对称，那么 ， ， ，点A、O与 三点在同一直线上， 三点在同一直线上， 三点在同一直线上．

【答案】
【分析】根据成中心对称图形的性质：对应点到对称中心的距离相等，对应点与对称中心在同一条直线上，进行作答即可．
【详解】解：与关于O成中心对称，那么，
点A、O与三点在同一直线上；
B、、O三点在同一直线上；
C、、O三点在同一直线上；
故答案为：．
【点睛】本题考查成中心对称图形的性质．熟练掌握成中心对称图形的性质，是解题的关键．
知识点2 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
名师点拨
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
区别 （1）是针对两个图形而言的.（2）是指两个图形的（位置）关系.（3）对称点在两个图形上.（4）对称中心在两个图形之间. （1）是针对一个图形而言的.（2）是指具有某种性质的一个图形.（3）对称点在一个图形上.（4）对称中心在图形上.
联系 （1）都是通过把图形旋转180°重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
典例剖析2
例2-1．已知与成中心对称，则对称中心为（　　）
A．点O B．点P C．点Q D．点T
【答案】C
【分析】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
由图可知与的交点与点Q重合，
∴对称中心为点Q．
故选：C．
例2-2．下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
例2-3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标．
【详解】解：由题意得：点、、、、、、，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标是．
故选：B．
针对训练2
1．如图，中，，．
(1)将各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得，画出；
(2)将各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，得，画出；
(3)将△A2B2C2各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，得，画出；
(4)在，，中，△ 与△ 成轴对称，对称轴是 ；△ 与△ 成中心对称，对称中心的坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)，x轴或直线，
【分析】（1）向右平移4个单位，分别画出再依次连接，即可作答．
（2）结合，，．这三个点的纵坐标分别乘以，分别作出，再依次连接，即可作答．
（3）结合，，．这三个点的横坐标分别乘以，分别作出，再依次连接，即可作答．
（4）结合所作的图形，以及轴对称和中心对称的性质，即可作答．
本题考查了直角坐标系中图形的平移，轴对称，旋转与点的坐标的数量关系，形数结合，用
数字控制图形变换．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
（4）解：结合图形与坐标
∴在，，中，与成轴对称，对称轴是轴或直线；与成中心对称，对称中心的坐标是
2．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可；
【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示，

（2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示：

3．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
【答案】见解析
【详解】（1）根据平行四边形的性质可知：重心是两条对角线的交点．
（2）把模块分成两个矩形（用两种不同方法），得到连接各自中心的两条线段，交点就是重心．
解：（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是 ABCD的重心．
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
能力提升2
1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)画出，使与关于原点O成中心对称；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出；
(3)连接，过点B作，垂足为点H．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）以B为锐角顶点构造直角边为3，4的，交于点H，点H即为所作．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：点H即为所作．
．
2．二次函数的图像交轴于原点及点．
感知特例：
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格：（___，___）
②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为．
形成概念：
我们发现形如（1）中的图像上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①；；②作图见解析；（2）①；②m=1
【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出点的对称点；②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线依次连接各点即可；
（2）①利用配方法求出抛物线的顶点与对称轴，利用点的坐标和对称性求出“孔像抛物线”的顶点与对称轴，进而得出“孔像抛物线”解析式，利用二次函数的性质即可得出结论；
②利用二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，可得直线必经过这两条抛物线中的一条的顶点，利用分类讨论的思想方法，令分别经过和的顶点，从而得到关于的方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）∵点与点关于点中心对称，
∴点的坐标为(，即，
故答案为：；；
②描点，连线，得到的图像如图所示：
（2）①当时，抛物线为，对称轴为，
当，
解得：，，
∴，
∴原点关于对称的点的坐标为，
∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∵抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，
∴x的取值范围为：，
故答案为：；
②∵：，设顶点为，过点作轴于点，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点，
∴，，
由“孔像抛物线”的定义可知：点为的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵抛物线及“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，
∴或，
解得：或，
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图像与性质，中心对称的性质，全等三角形的判定和性质，理解“孔像抛物线”的定义及运用数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
3．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数．
(1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式；
(2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式．
(3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值．
【答案】(1)“中心对称”函数的解析式为：
(2)抛物线的表达式为：
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
（1）由新定义即可求解；
（2）求出，得到抛物线的表达式为：，即可求解；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：，
则该函数的顶点坐标为：，
则该顶点关于的对称点为，
则“中心对称”函数的解析式为：；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
则顶点坐标为：，
则“中心对称”函数的顶点坐标为：，
则“中心对称”函数的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，
即，
则抛物线在时，取得最大值为2，
即，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（3）如下图：
设点、、的横坐标分别为：设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
则点的坐标为：，，点H的坐标为：，
根据点关于中心对称，点的横坐标，
由点、的坐标得，，
则，
若，
即，
整理得：，
当四边形为矩形时，则，
，
，
则，
而，
则，
整理得：，
将代入上式得：
解得：（舍去），
即．
知识点3 中心对称的性质
1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2.中心对称的两个图形是全等图形.
名师点拨
找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
典例剖析3
例3-1．如图，线段与相交于点，且，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③线段与关于点成中心对称；④和关于点成中心对称．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查成中心对称的两个图形的性质，全等三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：∵，线段与相交于点，
∴，，线段与关于点成中心对称，和关于点成中心对称，
故选：A．
例3-2．如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及同高的三角形面积之比即是底边之比（反之亦然），掌握中心对称的性质是解题的关键．根据题意得到，利用同高的三角形底边之比即是面积之比，得到，，利用中心对称的性质得到，进而得到，即有，即可得到，从而得到．
【详解】解：四边形平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，
，，，
连接，，
有，
，
，
，
，，
由中心对称性质可知，
，
，
，
，
；
同理可得，
故答案为：．
例3-3．如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
【答案】18
【分析】先根据中心对称性质得到，再根据含30度角的直角三角形的性得到，过D作，且，连接，，证得四边形是平行四边形，，，则，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．证明为等边三角形得到即可求解．
【详解】解：∵和关于点O中心对称，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴过D作，且，连接，，如图，
则四边形是平行四边形，，
∴，
∴，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，即的最小值为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了中心对称图形、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加平行线找到取得最小值的K点是解答的关键．
针对训练3
1．如图，在中，点是的中点，与关于点中心对称，若，则的度数为 ．

【答案】40
【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确得出四边形是平行四边形是解题关键．直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而得出答案．
【详解】解：点是的中点，与关于点中心对称，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
2．如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接交于点O．取的中点T，连接．求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接交于点O．取的中点T，连接．
∵直线平分菱形的面积，
∴直线经过点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
3．【项目式学习】
【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？
【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习．
任务一：查阅资料
小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ．
素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为；
任务二：特例验证
（1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为；
任务二：迁移推广
小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等，
例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积，
（2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积
任务三：实践应用
（3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标．
【答案】（1）5，，；（2），，；（3）C的坐标为或
【分析】（1）由题意知，，E点坐标为；根据，作答即可；
（2）如图，由平移可得A的对应点，B的对应点；由旋转可求，根据，计算求解即可；
（3）设，当平移到，A的对应点为，B的对应点为，根据，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
E点坐标为；
，
故答案为：5，，；
（2）解：如图，
∵，
∴点C平移至原点，即向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴A的对应点，B的对应点；
∵ 旋转变换到原点O，
∴旋转中点为的中点，
∴的中点也为，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：设，
当平移到，
∴A的对应点为，B的对应点为，
∴，
整理得，，
解得，或，
∴C的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数等知识．熟练掌握坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数是解题的关键．
能力提升3
1．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵与关于原点成中心对称，
∴．
2．如图，线段、相交于点O，，．线段上的两点E、F关于点O对称．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造出平行四边形，然后根据点E、F关于点O中心对称，证明得到是解决问题的关键．
【详解】证明：如图，连接、，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点E、F关于点O中心对称，
∴，
∴，
∴．
3．如图，在中，，点为边的中点，动点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，点与点关于点成中心对称．设点运动的时间为秒．

(1)的度数为______度；
(2)当点在的角平分线上时，求线段的长；
(3)连结．
①当四边形是菱形时，求菱形的面积；
②直接写出时的值．
【答案】(1)90；
(2)；
(3)①；②或．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形，；
（2）由点Q在的角平分线上可得，由点Q与点P关于点O成中心对称可证，从而，即，因此，进而是等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长；
（3）①设，则，根据菱形的性质有，在中，根据勾股定理有，从而构造方程求解，利用菱形面积公式即可解答；
②根据三角形的面积公式可得，由（2）可知，在点P的运动过程中，，四边形是平行四边形．分两种情况讨论：若点P在上，，代入可求点P运动过的路程，则运动的时间；若点P在上，则，代入，点P运动过的路程，运动的时间．
【详解】（1）∵，
∴，
∴是直角三角形，．
故答案为：90
（2）
∵，点Q在的角平分线上，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∵点Q与点P关于点O成中心对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
（3）①

设，则
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得：，
∴
∴
②∵在中，，
∴
由（2）可知，在点P的运动过程中，，，，
∴四边形是平行四边形．
若点P在上，如图

则，
又，
∴，
∴点P运动过的路程，
∴点P运动的时间；
若点P在上，如图

则，
又，
∴，
∴，
∴点P运动过的路程
∴点P运动的时间．
综上所示，时，或．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，中心对称的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的性质，综合运用各个知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
知识点4 关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)
名师点拨
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
典例剖析4
例4-1．已知点，点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟知关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，求出的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵点，点关于原点对称，
∴，，
∴．
故选：A．
例4-2．二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，旋转后的图像与轴交于点，若，则的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，中心对称的性质，先求解的坐标，再求解旋转后的解析式及的坐标，再利用，再建立方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．
∴当时，，
∴，
∵二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，
∴旋转后的解析式为：即，
当时，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：或；
故选A
例4-3．点关于原点中心对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点关于原点对称的点的特点，根据关于原点对称的点的横纵坐标均与原坐标的横纵坐标互为相反数，由此即可求解，掌握关于原点对称点的特点即可求解．
【详解】解：根据题意，对称点的坐标为，
故答案为： ．
针对训练4
1．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于x轴对称的；并写出对应点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的；并写出对应点的坐标；
(3)观察发现：的两次轴对称位置变化，相当于它一次怎样的变化？
(4)请求出三角形的面积．
(5)为轴上一动点，当周长最小时，画出P点的位置．
【答案】(1)作图见解析；，，
(2)作图见解析；
(3)相当于一次旋转
(4)
(5)见解析
【分析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，坐标与图形；
（1）根据轴对称的性质作图即可；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案；
（2）根据轴对称的性质作图即可，关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得答案；
（3）观察图象发现两次轴对称变换相当于一次旋转；
（4）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
（5）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，根据两点之间线段最短可知此时点到、两点的距离和最小，观察图形可得出点的坐标；
【详解】（1）解：如图所示，∵与关于轴对称，，，
∴，，；

（2）如图，点，，分别为点，，的对应点，
连接，，，
则即为所作；
∴，，；

（3）观察图象发现两次轴对称变换相当于一次旋转；
（4）；
（5）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，
∴，则周长最小．

2．如图，在直角坐标平面内，已知点，点B在y轴的正半轴上且到x轴的距离为1个单位，将点B向右平移2个单位，再向上平移3个单位到达点C，点D与点A关于原点对称．

(1)在直角坐标平面内分别描出点B、C、D；
(2)写出图中点B、C、D的坐标是：B ，C ，D ；
(3)按顺次连接起来所得的图形的面积是______．
【答案】(1)见解答
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，点平移，点到坐标轴的距离，关于原点对称的点等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据点D与点A关于原点对称确定点D位置，根据点B在y轴的正半轴上且到x轴的距离为1个单位确定点B位置，根据将点B向右平移2个单位，再向上平移3个单位到达点C，确定点C位置；
（2）根据（1）中点位置写出点B、C、D的坐标；
（3）分为两个三角形的面积去计算四边形的面积．
【详解】（1）解：如图，

（2）解：；
故答案为：；
（3）图形的面积是的面积．
故答案为：．
3．如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？
【答案】图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的
【分析】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的．
【详解】解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示：
所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换的知识，体现了数形结合的数学思想．
能力提升4
1．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为，已知点A的坐标为．

(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为，求出点B的坐标及n的值．
【答案】(1)点A经1次平移后得到的点的坐标为，点A经2次平移后得到的点的坐标
(2)①是直角三角形，理由见解答过程；
②，．
【分析】（1）根据平移的性质得出点平移的坐标即可；
（2）①连接，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可；
②延长交轴于点，过点作于点，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】（1）点经1次斜平移后的点的坐标为，点的坐标为，
点经1次平移后得到的点的坐标为，点经2次平移后得到的点的坐标；
（2）①是直角三角形，理由如下：
连接，如图

由中心对称可知，，
由轴对称可知：，
，
，，
，
，
，
∴是直角三角形；
②过点作轴的平行线，与的延长线交于点，过点作于点，如图

，，
，
是等腰直角三角形，
由①得，
，
点坐标为，
设直线的解析式为，
，点在直线上，
可得：，
解得：，
，
点由点经次斜平移得到，
点，由，
解得：，
．
【点睛】此题考查几何变换问题，关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式解答．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝2．点M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)抛物线L的函数表达式为y＝﹣x2+2
(2)四边形PEP′E′能成为正方形，m或3
【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，2），A（，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+2，把A（，0）代入可得a＝﹣1，由此即可解决问题；
（2）情形1，如图1中，四边形PEP′E′能成为正方形．作PK⊥x轴于K，EH⊥x轴于H．由题意易知P（1，1），当△PME是等腰直角三角形时，四边形PEP′E′是正方形，推出PM＝ME，∠PME＝90°，由△PKM≌△MHE，可得PK＝MH＝1，MK＝HE＝1﹣m，可得E（m+1，m﹣1），利用待定系数法即可解决问题；情形2，如图2中，四边形PEP′E′是正方形，同法可得E（m﹣1，1﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【详解】（1）由题意抛物线的顶点C（0，2），A（，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
把A（，0）代入可得a＝﹣1，
∴抛物线L的函数表达式为y＝﹣x2+2．
（2）结论：四边形PEP′E′能成为正方形．
理由：情形1，如图1中，作PK⊥x轴于K，EH⊥x轴于H．
由题意易知P（1，1），当△PME是等腰直角三角形时，四边形PEP′E′是正方形，
∴PM＝ME，∠PME＝90°，
由△PKM≌△MHE，可得PK＝MH＝1，MK＝EH＝1﹣m，
∴E（m+1，m﹣1），
∵点E在y＝﹣x2+2上，
∴m﹣1＝﹣（m+1）2+2，解得m或（舍弃），
∴m时，四边形PEP'E′是正方形．
情形2，如图2中，四边形PEP'E′是正方形，同法可得E（m﹣1，1﹣m），
把E（m﹣1，1﹣m）代入y＝﹣x2+1中，1﹣m＝﹣（m﹣1）2+2，解得m＝3或0（舍弃），
∴m＝3时，四边形PEP′E′是正方形．
综上，四边形PEP′E′能成为正方形，m或3．
【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
知识点5 图案设计
图案设计常常利用轴对称、旋转、平移等方法，由于轴对称、旋转、平移现象在现实生活中普遍存在，并有广泛的应用和丰富的文化价值，因此轴对称变换、旋转变换、平移变换是设计图案的常用方法。
名师点拨
全等变换分式：平移、旋转、轴对称
在上述变换过程中改变了图形的位置，其形状大小不变。
设计图案时，以某个图案为基本图形，通过平移、旋转、轴对称组合进行图案设计。
典例剖析5
例5-1．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【答案】D
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
例5-2．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（ ）
A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π
【答案】B
【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可．
【详解】解：2021÷2＝1010…1，
所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积，
是：4440＋4﹣π＝4044﹣π．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键．
针对训练5
1．如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程 ．
【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程．
【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD，
故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度．
2．如图，在方格纸中，点都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形，使它的顶点都在方格的顶点上．
(1)在图1中所画的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)在图2中所画的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可知，当四边形是平行四边形时，中心对称图形，但不是轴对称图形，利用平移性质作图即可得到答案；
（2）由正方形性质可知，当四边形是正方形时，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，利用网格中矩形对角线相互垂直作图即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：正方形即为所求．
【点睛】本题考查网格中作图，涉及平行四边形对称性、正方形对称性、网格中平移作图及网格中矩形对角线的垂直关系等知识，熟练掌握平行四边形对称性、正方形对称性及网格中作图是解决问题的关键．
3．如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的性质和中心对称，由于平行四边形和圆都是中心对称图形，于是连接平行四边形的对角线的交点和圆心的直线可把纸片分成分成面积相等的两部分，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
直线即为所求．
能力提升5
1．如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等．
（1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　；
（2）当a＝24时，求b的值；
（3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由；
（4）直接写出a与b的数量关系．

【答案】（1）9，7；（2）22；（3）不能等于30，见解析；（4）
【分析】（1）长为，宽为的矩形，当=1时，（2+1）=3，得3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等，进而求解；
（2）结合（1）并观察图形的变化规律可得=5+4，b=5+2，进而求解；
（3）不能等于30，根据=5+4当=30，可求5+4=30，进而得的值即可判断；
（4）结合（1）（2）可得．
【详解】（1）长为，宽为的矩形，
当=1时，（2+1）=3，
3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成，
其中小圆的直径与小矩形的宽相等，
∴=3+3+1+1+1=9
=3+1+1+1+1=7
故答案为9，7；
（2）结合（1）并观察图形的变化规律可知：
=5+4，b=5+2
∴当=24时，5=20，
∴=22；
（3）不能等于30，理由如下：
∵=5+4
若=30，则5+4=30，=
∵是正整数，
∴不能等于30；
（4）结合（1）（2）可知：
，
所以与的数量关系为：．
【点睛】此题主要考查图形类变化规律，解题关键是理解题意，找出关系式.
2．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）．

【答案】见解析
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形．根据中心对称图形与轴对称图形的概念即可得到结果．
【详解】解：答案不唯一，如图所示：
．
3．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图．
(1)根据图②将图③补充完整；
(2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形．
【答案】(1)
(2)
【解析】略
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