2023-2024学年陕西省铜川市第一中学高一下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年陕西省铜川市第一中学高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则( )
A. 若，且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若为异面直线，，则不垂直于
5.若一组数据的平均数为，方差为，那么数据的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知空间向量，若共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知圆锥的顶点为，母线长为，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.是指大气中空气动力学当量直径小于或等于微米的颗粒物．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．如图是某地月日至日的日均值单位：变化的折线图，则下列说法正确的是( )
A. 这天中的日均值的极差为
B. 这天中的日均值的中位数为
C. 这天中的日均值的平均数为
D. 这天中的日均值的第百分位数为
10.已知为复数，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，四边形，都是边长为的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则( )
A. B. 异面直线，所成角为
C. 点到直线的距离为 D. 的面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆柱的表面积是其下底面面积的倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为 ．
13.已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点到平面的距离为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，点，分别为棱，上的点，且，点是正方体表面上的一点，若平面，则点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，满足，，．
若与的夹角为，求的值；
求在方向上的投影向量的模．
16.本小题分
某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，将所得数据分成组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这名员工所得分数的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表和中位数精确到；
现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，求这组中抽取的人数．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点．
求证：；
已知为棱上一点，且，求证： 平面．
18.本小题分
在中，角的对边分别为，且．
求；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．
参考答案
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15.因为，
所以，
因为，，所以，
所以．
因为，所以，
所以向量在方向上的投影向量的模为：．
16.
由题意知，
解得．
估计这名员工所得分数的平均数．
的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，所以，
解得，即估计这名员工所得分数的中位数为．
的人数：，的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：．
17.证明：如图，连接．
因为底面为菱形，且，
所以为正三角形，，
因为为的中点，所以．
又因为平面，平面，所以．
因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以，
因为，所以．
证明：连接交于点，连接．
因为，所以，
因为，
所以，又，
所以．
所以在中，．
又因为平面，平面，
所以平面．
18.因为，
由正弦定理得，
，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，因为，
所以，即，
可得．
由正弦定理得，
即，且，
所以．
因为为锐角三角形，，所以，
所以，即．
可得
即的取值范围为．
19.
证明：在中，，，由余弦定理，得
，所以，即．
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
设，的中点分别为，，连接，，
因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．
因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，
设，则，所以．
，，设是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，又，
则，
即，解得．
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
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