2023-2024学年青海省西宁市大通县高一下学期期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年青海省西宁市大通县高一下学期期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.下列说法中错误的是( )
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4.一组数据：，，，，，，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到的图象，则( )
A. B. C. D.
6.用，，这个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，为的中点，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B. 是纯虚数
C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则( )
A. 的面积为定值 B.
C. 点到直线的距离为定值 D. 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、，若，则 ．
13.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 ．
14.定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋子中有个大小和质地相同的球，标号为，，，，，，，，，从中随机摸出一个球．
写出试验的样本空间；
用集合表示事件“摸到球的号码小于”，事件“摸到球的号码大于”，事件“摸到球的号码是偶数”．
16.本小题分
已知，，求的值
已知，，求的值．
17.本小题分
已知为三个内角的对边，且．
求；
若，的面积为，求．
18.本小题分
如图，四棱柱的底面是正方形，．
证明：平面平面；
证明：平面平面．
19.本小题分
为了估计一批产品的质量状况，现对个产品的相关数据进行综合评分满分分，并制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为分及以上的产品为一等品．

求图中的值，并求综合评分的平均数；
用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取个产品，再从这个产品中随机抽取个产品记录有关数据，求这个产品中最多有个一等品的概率；
已知落在的平均综合评分是，方差是，落在的平均综合评分为，方差是，求落在的总平均综合评分和总方差．
参考答案
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15.解：设试验的样本空间为，
则依题意可得；
由事件“摸到球的号码小于”，
则，
由事件“摸到球的号码大于”，
则，
由事件“摸到球的号码是偶数”．
则．
16.解：；
由、联立可得，，
．
，
，
得：，
．
17.解：在中，，
利用正弦定理可得，，，代入上式并约去得：
，
而，
，
，
为三角形内角，，，
，即，
，
为三角形内角，，
．
若，的面积为，
则，
，
又由余弦定理可得，
，
由解得．
18.
由题意可知：，，可知为平行四边形，
则，且平面，平面，可得平面，
又因为，，可知为平行四边形，
则，且平面，平面，可得平面，
且，平面，所以平面平面．
因为为正方形，则，
因为，则，
可得，
设，可知为的中点，则，
且，平面，可得平面，
由平面，所以平面平面．
19.由频率和为，得，解得；
设综合评分的平均数为，
则，
所以综合评分的平均数为．
由题意，抽取个产品，其中一等品有个，非一等品有个，
一等品记为、、，非一等品记为、；
从这个产品中随机抽取个，试验的样本空间
，；
记事件“抽取的这个产品中最多有个一等品”，
则，，
所以所求的概率为．
由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
所以，
．
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