辽宁省葫芦岛市普通高中2023—2024学年高二下学期7月期末数学试题（图片版，含答案）

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葫芦岛市普通高中 2023—2024学年下学期期末考试
高二数学
参考答案及评分标准
一、单项选择
1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.B 8.B
二、多项选择
9.AC 10．AB 11.ABC
三、填空题
12．16
13． =4.364；满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于 0.05（或：有 95%的把握
认为满意度与性别有关）．
14. 2
三、解答题
15．（本小题满分 13分）
(1)已知 f(x)的定义域为 R，所以 f′(x)=3x2-6x-9…………………………………………1 分
当 f′(x)>0 时，解得 x<-1,x>3
当 f′(x)<0 时，解得-1所以，f(x)的单调递增为(-∞，-1)，(3,+∞)，
单调递减为(-1，3).……………………………………………………………………………5 分
(2)由（1）可知 f(x)在[-2,3]上，
在[-2,-1]上单调递增，[-1,3]上单调递减，………………………………………………7 分
所以在 x=-1 处取得极大值，也为最大值……………………………………………………9 分
所以 f(x)max=f(-1)=-1-3+9+a=13 ……………………………………………………………11 分
解得 a=8………………………………………………………………………………………13 分
16.（本小题满分 15分）
（1）因为数列 an 的前 n项和为 Sn，且 = 2 + 2 ( ∈ )，
当 n 1时， 1 = 1 = 3；
当 n 2时， = 1 = ( 2 + 2 ) [( 1)2 + 2( 1)] = 2 + 1, …………2 分
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经验证，当 n 1时也满足；
所以 = 2 + 1；…………………………………………………………………………4分
又 1 = 2 + 1 (2 1) = 2,
所以 an 是公差为 2 的等差数列，通项公式为 = 2 + 1.………………………………6 分
（2）由（1）知 = 2 + 1，于是 2 = 5， 3 = 7
又因为数列 bn 为等比数列，且 2 1， 3 + 1分别为数列 bn 第二项和第三项，
b 8
所以 2 = 2 1 = 4, 3 = 3 + 1 = 8
3
，则 q 2b 4 ，则b
n
n 2 .…………………8 分
2
n
所以 Sn=
2(1-2 )=2n+1-2…………………………………………………………………………10 分
1-2
1 1 1 1 1
（3）由已知，dn= = = = - ……………………13 分
(an+1)log2 bn (2n+2)log n2 2 (n+1)n n n+1
1 1 1
T 1 1 1于是 n=(1- )+( - )+…+( - )=1- <1………………………………………………15 分
2 2 3 n n+1 n+1
17．(本小题满分 15分)
8
（1）设小张答对的题数为 X，则 P(X 9) C 1 8 .…………………………………4 分
C89 9
（2）设事件A 表示“输入的问题没有语法错误”， 事件 B表示“一个问题能被 ChatGPT
正确回答”，
由题意知 P(A) 0.1，P(B A) 0.99 ， P B A 0.19，
则 P(A) 1 P(A) 0.9 ， …………………………………………………………………6 分
P B P B A P B A P B A P A P B A P A
0.99 0.9 0.19 0.1 0.91 …………………………………………………………8 分
（3）设小张答对的题数为 X ，则 X 的可能取值是7,8，……………………………9 分
C7C1 8且 P(X 7) 8 1 8 C 1 8 ， P(X 8)
8
8 C9 9 C9 9
则 E(X ) 7 8 8 1 64
9 9 9 ……………………………………………………………………11 分
设 ChatGPT 答对的题数为Y ，则Y 服从二项分布 B(8, 91 ) ，
100
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则 E(Y ) np 8 91 182 ，………………………………………………………………13 分
100 25
64 182
显然 > ，即 E(X)>E(Y). ………………………………………………………………15 分
9 25
18.（本小题满分 17分）
（1） f '(x)=e -a…………………………………………………………………………1 分
当 x=2 时 f '(2)=0 即 e -a=0 解得 a=e …………………………………………………3 分
检验:当 a=e f '(x)=e -e ， f (x)在(-∞,2)递减；f (x)在(2,+∞)递增
则 x=2 是极小值点成立，所以 a=e .…………………………………………………………5 分
(2)由题意得函数 f(x)的零点即方程 e =ax的实根………………………………………7 分
①(i)当 x=0 时 不成立. …………………………………………………………………8 分
(ii) x≠0 a e
x
当 时
x
x x x
令 g(x) e g (x) e x ex e (x 1) 2 x x x2
g(x)的减区间(-∞,0), (0,1) g(x)增区间(1,+∞).……………………………………………10 分
当 x∈(-∞,0)时. g(x)<0.
当 x∈(0,+∞)时 g(x)min g(1) e
x
若 f (x) e x ax 0有两个零点. 即 a e 有两个实根 x1，x2
x
则 a的取值范围 a>e …………………………………………………………………………12 分
②方法一：
g (x1) g (x2 ) a，x1 (0,1) x2 (1, )
令 H(x)=g(x1)-g(2-x1),x1∈(0,1) ……………………………………………………14 分
于是H (X ) g (x1) g (2 x1) x1 (0,1)
x1
e (x1 1) e
2 x1 (1 x1)
x2

1 (2 x
2
1)
x1 2 2 x1 2
e (x1 1)(2 x1) e (1 x )x 1 1
x2 (2 x )21 1
e2 x

(x 1)x2 e2x 2 (2 x )
2
1 1 1
1 1 2 1 x
1
x2 (2 x )21 1
令 (x) e x 1 2 x x (0,1)， 则 (x) 0
x
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x 1
(x) e x 1 2 2 1 e 2
2
2 ( x 2x 2) 0 x x x
则 (x)在(0,1) 单调递减，所以 (1) 1
e2 x1 (x 1)x2 ( 2 (x) 1 H (x) 1 1 (x1) 1) 0
x21 (2 x
2
1)
则H (x)在(0,1)单调递减 ………………………………16 分
H (x) H (1) 0 g(x1) g(2 x1)
又因为g(x1) g(x2 ) g(x2 ) g(2 x1)
又因为g(x)在(1, ) x2 2 x1 x1 x2 2 ……………………17 分
方法二：
g (x1) g (x2 ) a，x1 (0,1) x2 (1, )
令 H(x)=g(x1)-g(2-x1),x1∈(0,1) ……………………………………………………14 分
e x1 2 x1 H (x) (x1 1)
e

x
2
1 (2 x1)
2

x x 2 x x
令 (x)
e
(x) e x e 2x e x(x 2)2 4 4 0x x x
(x) 在（0,2）单调递减，
ex1 e2 x1
又因为 02
1
H (x) 0,H (x)在(0,1)单调递减 ……………………………………………………16 分
H (x) H (1) 0 g(x1) g(2 x1)
又因为g(x1) g(x2 ) g(x2 ) g(2 x1)
又因为g(x)在(1, )单调递增
所以x2 2 x1 所以x1 x2 2 ……………………………………………………17 分
19.（本小题满分 17分）
（1）由题意知， = 0,1,2,3．
= 0 = ( 2 )3 = 8 ,………………………………………………………………………1 分
3 27
= 1 = 1 × 2 × 2 + 2 × 2 × 1 + 2 × 2 × 1 = 12 ,…………………………………………2 分
3 3 3 3 3 3 3 3 3 27
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= 2 = 1 × 1 × 2 + 1 × 2 × 1 + 2 × 1 × 1 = 6 , …………………………………………3 分
3 3 3 3 3 3 3 3 3 27
3
= 3 = 1 = 1 .…………………………………………………………………………4 分
3 27
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
8 4 2 1

27 9 9 27
= 0 × 8 + 1 × 4 + 2 × 2 + 3 × 1随机变量 的数学期望为 =1.………………………6 分
27 9 9 27
（2）由于传 次球后不在乙手中的概率为 1 ，此时无论球在甲手中还是球在丙手
2 2
中，均有 的概率传给乙，故有 +1 = 1 ．…………………………………………8 分3 3
2 2 2
变形为 +1 = 5 3 ．5
= 2 2 2 4 2又 1 ，所以数列 是首项为 1 = ，公比为 的等比数列．……………10 分3 5 5 15 3
1
所以
2 = 4 × 2 = 2 × 2 ．
5 15 3 5 3

所以数列 2 2 2 的通项公式 = × ．……………………………………………12 分5 5 3
2n
（3）由（2）可得 = 3 = 3 5 2 3，…………………………………………13 分
2 5
= 3
3 3 3 3 3 1
则 *
1 1
3 +1
= < = ≥ 2， ∈ ， = 0 <
+1 3 3 3 1 3 3 3 3 2 3

所以 1 + 2 + + < ．…………………………………………………………………15 分
2 3 +1 3
1
= 3
3 +13(3 3) 2= = 1 2 > 1 2 ≥ 2 ∈ * 1 = 0>1 2又因为
+1 +1 +1
， ，
+1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3
1 1 1 1 1
所以 1 + 2 + + > 2 + + + + = 1 > 1．
2 3 +1 3 31 32 33 3 3 3 3

综上， 1 < 1 + 2 + + < ∈ * ．………………………………………17 分
3 2 3 +1 3
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