人教版数学九年级上暑假预习课第十五讲 旋转中的几何模型一（含解析）

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人教版数学九年级上暑假预习课
第十五讲 旋转中的几何模型一
专题导航
模型一、“手拉手”模型
模型特征：
两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点．
模型说明：
如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF.
如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE.
如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC.
　　
图1　　　 　　图2　　　　　　　 　图3
1.等腰（等边）三角形的“手拉手”
方法：等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。
典例剖析1
例1-1 .[问题提出]
（1）如图①，均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图②中证明．
[学以致用]
（2）在（1）的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为 度．
[拓展延伸]
（3）在（1）的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围．
针对训练1
1．数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．

2．综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：；
【模型应用】
（2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：；
【类比探究】
（3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________．
3．【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可）
上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．

【类比分析】
（2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；

①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
能力提升1
1．综合与实践
某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由；
(2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长．
(3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长．
2．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,
(1)在图1中证明小胖的发现；
借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：
(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．
2.等腰直角三角形中的手拉手
典例剖析2
例1-1．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．

(1)观察猜想
请直接写出与的数量关系和位置关系；
(2)类比探究
将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)解决问题
若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值．
针对训练2
1．如图，在等腰中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接．
(1)如图1，若点在上，求证：；
小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论．
请你按照小明的思路完成第（1）问；
(2)如图3，若点在的下方，求证：；
(3)如图4，若，，三点在一条直线上，求的长．
2．数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬．
【问题展示】
如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：．
小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下：
【经验分享】
小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系；
小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系；
请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程．
【能力提升】
如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当．
求证：．
能力提升2
1．课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”
【阅读理解】
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称为“手拉手模型”．
当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
【方法应用】

(1)如图1，在等腰中，，，点D在内部，连接，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，，．请直接写出和的数量关系：__________，位置关系：__________；
(2)如图2，在等腰中，，，，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接 ，，，取中点M，连接．
①当点D在内部，猜想并证明与数量关系和位置关系；
②当B，M，E三点共线时，请直接写出的长度．
3.正方形中的手拉手
例3-1．综合与实践：
问题情景：如图1，正方形与正方形的边，（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接，．

（1）如图1，当，，在同一条直线上时，线段和的数量关系 ，位置关系 ；
操作发现：
（2）当正方形旋转至如图2所示的位置时，（1）中的关系还成立吗？
（3）如图3，当点在延长线上时，连接，则的度数为 ．
针对训练3
1．（1）如图①，在正方形中，点E在边上，延长至点H，使．连接．求证：．
小明写出了如下证明过程：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴（依据），
∴．
证明过程中的依据是________．
【探究】（2）如图②，连接图①中的，将线段绕着点E旋转，使点C的对应点F落在上，过点F作交于点G．
求证：．
【应用】（3）①如图③，将图②中的绕着点E逆时针旋转，使点F落在的延长线上，连接．若，，则的长为________．
②如图②中的绕着点E顺时针旋转，当A，F，G三点在同一条直线上时，若，，直接写出此时线段的长．
2．如图①，如图，在正方形中，点为边上一点，连接，点为的中点，过点作于点，连接，．
观察猜想：
（1）与的数量关系是_____________；
和的数量关系是_____________；
探究发现：
（2）将图①中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，此时点F还是的中点．线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图②所示，探究和的数量关系，并说明理由．

能力提升3
1．综合与实践
操作判断
（1）操作一：将正方形与正方形的顶点重合，点在正方形的边上，如图1，连接，取的中点，连接．操作发现（提示：交于点），与的位置关系是______；与的数量关系是______．
（2）操作二：将正方形绕顶点顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
模型二、对角互补模型
对角互补模型的特征：
外观呈现四边形，且对角和为180°。主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。
典例剖析4
例4-1 .在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
针对训练4
1．若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．

(1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______；
(2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：；
(3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明．
2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F．
①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长．
②若点M是边上的动点，求周长的最小值．
能力提升4
1．四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”

(1)【思路点拨】
如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分．
①还可以知道、、三者数量关系为：_________；
②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________；
(2)【变式拓展】
如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明：
平分；
②；
(3)【能力提升】
如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________．
2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由；
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第十五讲 旋转中的几何模型一（解析版）
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模型一、“手拉手”模型
模型特征：
两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点．
模型说明：
如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF.
如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE.
如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC.
　　
图1　　　 　　图2　　　　　　　 　图3
1.等腰（等边）三角形的“手拉手”
方法：等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。
典例剖析1
例1-1 .[问题提出]
（1）如图①，均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图②中证明．
[学以致用]
（2）在（1）的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为 度．
[拓展延伸]
（3）在（1）的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围．
思路点拨】
（1）根据“手拉手”模型，证明即可；
（2）分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型中的结论即可求得的大小；
（3）分别求出的面积最大值和最小值即可得到结论
【详解】
（1）均为等边三角形，
，，
，
即
在和中
；
（2）当在同一条直线上时，分两种情况：
①当点E在线段CD上时，如图，
∵是等边三角形，
，
，
由（1）可知，，
，
②当点E在线段CD的延长线上时，如图，
是等边三角形，
，
由（1）可知，
，
综上所述，的大小为或
（3）过点A作于点F，当点D在线段AF上时，点D到BC的距离最短，此时，点D到BC的距离为线段DF的长，如图：
是等边三角形，，
，
此时；
当D在线段FA的延长线上时，点D到BC的距离最大，此时点D到BC的距离为线段DF的长，如图，
是等边三角形，，
，，
此时，；
综上所述，的面积S 取值是
【点评】 利用“手拉手”模型，构造对应边“拉手线”组成的两个三角形全等是解题关键
针对训练1
1．数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为 ；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为 ．

【答案】 /60度 或
【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质得，，从而得，利用勾股定理及等边三角形的性质分类讨论求解的长即可．
【详解】解：如图，
是等边三角形，
，，
等边的边长为，点，分别为，的中点，
∴
是边长为的等边三角形，
，
∴，即，
，
，，
，
如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的上方时，过点作于点，
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如下图，在整个旋转过程中，当点与重合时，且点在的下方时，过点作于点，
同理得，，
∴．
故答案为：，或；
【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质是解题的关键．
2．综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：；
【模型应用】
（2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：；
【类比探究】
（3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________．
【答案】（）见解析；（）见解析；（）或．
【分析】（）由和都是等边三角形得，，，．进而得．最后证明，即可得证；
（）由和都是等边三角形，得，，，，从而得．进而证明得，即可得证；
（）如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论．
【详解】证明：（）和都是等边三角形，
，，，．
．．
．
在和中，
，
；
（）和都是等边三角形，
，，，，
，，
．
在和中，
，
．
．
，
；
（）或．理由如下：
如图，当在线段上时，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
3．【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可）
上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．

【类比分析】
（2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；

①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）利用证明即可；
（2）过点作平分交于，先证明四边形是平行四边形，可得，再证明是等边三角形，推出，再证得即可；
（3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，

和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
；
（2）如图2，过点作平分交于，

四边形中，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
即，
由旋转得：，，
，
，
；
（3）如图3，以、为边作平行四边形，连接，
则，，，，

设，则，
，
，
又，
是等边三角形，
将绕点逆时针旋转得，连接，
是等边三角形，，，
，
，
，
即，
，
即的长为．
【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键．
能力提升1
1．综合与实践
某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由；
(2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长．
(3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用等式的性质得出，再证明，即可得出结论；
（2）利用等腰直角三角形的性质，证是直角三角莆，然后利用勾股定理求CD长，再证，得出，即可求解；
（3）将绕点C顺时针旋转，得，交于F，连接AE，先证是等边三角形，再证是直角三角形，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：，
证明：，
，
，
在和中，
，
（2）解：∵等腰直角和等腰直角，
，，，
在等腰直角，由勾股定理，得
，
∵，
，
在直角，由勾股定理，得
∴，即，
在和中，
，
；
（3）解：，，
是等边三角形，
∴，，
将绕点C顺时针旋转，得，交于F，连接AE，如图3，
，
是等边三角形，
∴，
在直角，由勾股定理，得
，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题词的关键．
2．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,
(1)在图1中证明小胖的发现；
借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：
(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =m°.
【详解】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；
（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；
（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=m°.
详（1）证明：如图1中，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=EC．
（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．
∵DB=DE，∠BDC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵AB=BC，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=EC，
∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．
∴AD+CD=BD．
（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．
由（1）可知△EAB≌△GAC，
∴∠1=∠2，BE=CG，
∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，
∴△EDB≌△MDC，
∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，
∵∠EBC=∠ACF，
∴∠MCD=∠ACF，
∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，
∴∠1=3=∠2，
∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，
∵CF=CF，CG=CM，
∴△CFG≌△CFM，
∴FG=FM，
∵ED=DM，DF⊥EM，
∴FE=FM=FG，
∵AE=AG，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG，
∴∠EAF=∠FAG=m°．
点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．
2.等腰直角三角形中的手拉手
典例剖析2
例1-1．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．

(1)观察猜想
请直接写出与的数量关系和位置关系；
(2)类比探究
将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)解决问题
若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析
(3)的最大值为3，最小值为1
【分析】（1）证明，得到，由，推出，根据，得到，进而得到，即可得出结论；
（2）延长至点F，使，连接，证明，为的中位线，即可证明结论；
（3）利用（1）（2）的结论可知，当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：
∵
∴
∴
∵M是的中点
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴；
（2）证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下
如图① ，延长至点F，使，连接，
∵
∴
∴
∴
∵M是的中点，
∴为的中位线，
∴
又∵
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：的最大值为3，最小值为1
如图②和图③ ，利用（1）（2）的结论可知，
当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，
当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，
的最大值为，
的最大值为3；
的最小值为，
的最小值为1
【点睛】本题是三角形综合题，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，三角形中位线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
针对训练2
1．如图，在等腰中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接．
(1)如图1，若点在上，求证：；
小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论．
请你按照小明的思路完成第（1）问；
(2)如图3，若点在的下方，求证：；
(3)如图4，若，，三点在一条直线上，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，根据，可知，易知为等腰直角三角形，再结合为等腰直角三角形，利用即可证明，进而可知，即可证明结论；
（2）由旋转可知，，则，结合题意可知，，由为等腰直角三角形，可知，，得，利用即可证明；
（3）利用第（2）问的结果，和，从而推出长方形，根据边角边证明，结合，从而推出，根据等腰三角形的性质推出，最后利用勾股定理即可求出长度．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，则，
又∵为等腰直角三角形，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由旋转可知，，则，
∵，，
∴，，
又∵为等腰直角三角形，则，，
∴，
在与中，，
∴；
（3）解：由题意可知，当，，三点在一条直线上，，
作于，如图所示，
由（2）可知，，
，
，
．
，
．
为长方形，
，，
，
，
，
．
，
，，
．
．
设，则，
，
在中，，
．
．
【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，旋转的性质和勾股定理，解题的关键在于掌握相关性质定理以及证明为长方形．
2．数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬．
【问题展示】
如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：．
小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下：
【经验分享】
小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系；
小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系；
请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程．
【能力提升】
如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当．
求证：．
【答案】【经验分享】：见解析；【能力提升】：见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证；
小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证；
能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】【经验分享】：
小刚解法：
，，，
．
．
．
，．
，
，．
为中点，
．
．
，．
．即．
．
依题知，
．
．
即．
小强解法：
，为中点，
，，．
，，
．
．即．
，，
．
，，
．
．
．
，．
．
依题知，
。
．
即．
【能力提升】延长到点，使，连接，
依题知，，，
．
为中点，
．
，，
．
，．
．
．
，，
．
，．
．
．即．
，
．
垂直平分．
，．
，．
．即．
．
能力提升2
1．课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”
【阅读理解】
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称为“手拉手模型”．
当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．
【方法应用】

(1)如图1，在等腰中，，，点D在内部，连接，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，，．请直接写出和的数量关系：__________，位置关系：__________；
(2)如图2，在等腰中，，，，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接 ，，，取中点M，连接．
①当点D在内部，猜想并证明与数量关系和位置关系；
②当B，M，E三点共线时，请直接写出的长度．
【答案】(1)，
(2)①，；②或
【分析】（1）证明得，，再延长交于F，证明即可得．
（2）①过点A作交延长线于N，连接，证明是的中位线，根据中位线性质得，，再由（1）可得，，，即可得出结论．
②分两种情况：当点E在延长线上，B，M，E三点共线时，当点E在线段上，B，M，E三点共线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：由旋转可得，
∴
∵
∴
在和中，
，
∴
∴，，
延长交于F，如图，
∵
∴
∴
∴，
∴．
（2）解：①，
过点A作交延长线于N，连接，如图，
∵等腰中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠ACB＝90°，
∴
∴
∵点M是和中点，
∴，，
由（1）可得，，，
∴，．
②当点E在延长线上，B，M，E三点共线时，如图，过点A作于F，
∵等腰中，，，
∴
由旋转可得，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
由①知，
∴；
当点E在线段上，B，M，E三点共线时，如图，过点A作于F，
同法可得，，，
∴
由①知，
∴；
综上，当B，M，E三点共线时， 的长度为或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三位线定理，勾股定理，旋转性质．本题属旋转综合探究题目，熟练掌握相差性质与判定是解题的关键．
3.正方形中的手拉手
例3-1．综合与实践：
问题情景：如图1，正方形与正方形的边，（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接，．

（1）如图1，当，，在同一条直线上时，线段和的数量关系 ，位置关系 ；
操作发现：
（2）当正方形旋转至如图2所示的位置时，（1）中的关系还成立吗？
（3）如图3，当点在延长线上时，连接，则的度数为 ．
【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质求解即可；
（2）如图2，设的延长线与、相交于O、M，根据旋转性质得到，结合正方形的性质，证明得到，，再利用三角形的内角和定理和对顶角相等得到即可求解；
（3）过F作交延长线于H，证明得到，，进而证明，再根据等腰三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：（1）如图1，在正方形与正方形中，，，，，
∵，，在同一条直线上，
∴A、D、G也在同一直线上，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）（1）中的关系还成立，即，．
理由：如图2，设的延长线与、相交于O、M，

由旋转性质得，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
又∵，，
∴，
∴；
（3）过F作交延长线于H，则，

∴，
∴，又
∴，
∴，，
∴，
∴，又，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．
针对训练3
1．（1）如图①，在正方形中，点E在边上，延长至点H，使．连接．求证：．
小明写出了如下证明过程：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴（依据），
∴．
证明过程中的依据是________．
【探究】（2）如图②，连接图①中的，将线段绕着点E旋转，使点C的对应点F落在上，过点F作交于点G．
求证：．
【应用】（3）①如图③，将图②中的绕着点E逆时针旋转，使点F落在的延长线上，连接．若，，则的长为________．
②如图②中的绕着点E顺时针旋转，当A，F，G三点在同一条直线上时，若，，直接写出此时线段的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②的长为．
【分析】（1）根据证明即可证明；
（2）证明和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可证明；
（3）①作交的延长线于点，证得四边形是矩形，求得，，利用勾股定理求解即可；
②分两种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
证明过程中的依据是．
故答案为：；
（2）由（1）得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）①作交的延长线于点，如图，
∵正方形中，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴；
故答案为：；
②如图，当F，A，G三点在同一条直线上时，作交的延长线于点，
由①知，
∵是等腰直角三角形，
，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
如图，当F，A，G三点在同一条直线上时，作交的延长线于点，
同理求得，
∴，
∴；
综上，的长为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
2．如图①，如图，在正方形中，点为边上一点，连接，点为的中点，过点作于点，连接，．
观察猜想：
（1）与的数量关系是_____________；
和的数量关系是_____________；
探究发现：
（2）将图①中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，此时点F还是的中点．线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图②所示，探究和的数量关系，并说明理由．

【答案】（1），；（2），理由见解析．
【分析】（）①根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，由等边对等角得到，则由三角形外角的性质得到，同理可得，据此可得结论；②由①可得；
（）首先证明得到 ，再证明即可证明．
【详解】解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴
∴，
∴；
故答案为：
②由①得，
故答案为：；
（），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵线段绕点旋转得到线段，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中,，
，
∴，
∴，，
∴，
由图中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
能力提升3
1．综合与实践
操作判断
（1）操作一：将正方形与正方形的顶点重合，点在正方形的边上，如图1，连接，取的中点，连接．操作发现（提示：交于点），与的位置关系是______；与的数量关系是______．
（2）操作二：将正方形绕顶点顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）成立，见解析
【分析】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、旋转变换的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角是解题的关键，注意正方形的性质和勾股定理是关键．
（1）延长交于点，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）连接，作交于点，延长交于点，连接，进而利用证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；
【详解】解：（1）延长交于点，
正方形与正方形的顶点重合，
∴
∴，
，
的中点，
，
在与中，
，
∴，
，，
，
，，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）两个结论仍然成立，理由如下：
连接，作交于点，延长交于点，连接，
四边形是正方形，
∴，，，
，
∵，
，
为的中点，
，
，
，
，，
在正方形中，，，
，，
，
在正方形与正方形中，，
，
，
，
∴，
，，
，
，
∴为等腰直角三角形，
为的中点，
，，
，；
模型二、对角互补模型
对角互补模型的特征：
外观呈现四边形，且对角和为180°。主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。
典例剖析4
例4-1 .在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
【答案】（1）AC=AD+AB；（2）成立；（3）AD+AB=AC．
【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论：AD+AB=AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
【详解】（1）AC=AD+AB．
理由如下：
如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，
∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠B=90°，
∴AB=AC，
同理AD=AC，
∴AC=AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，如图2，
∵∠BAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠CBE，
∵CA=CE，
∴△DAC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴AC=AE=AD+AB．
（3）结论：AD+AB=AC．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，如图3，
∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，
∴∠DCB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=45°，
∴∠E=45°，
∴AC=CE．
又∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，AC=CE，
∴AE==AC，
∴AD+AB=AC．
【点评】本题是四边形探究的综合题，属于压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的和差倍分关系，对于线段和差问题，常常采用截长法或补短法构造辅助线，通过全等三角形来解决．
针对训练4
1．若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．

(1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______；
(2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：；
(3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）由题意知，，由旋转的性质可得，，，则，三点共线，是等腰直角三角形，进而可求；
（2）如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，同理（1）可求点C，B，E在同一条直线上．，为等边三角形，进而可得．
（3）如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，由与互补，可得，，点C，D，M在同一条直线上，由旋转的性质可知，则，证明，则，，然后可求．
【详解】（1）解：由题意知，，
由旋转的性质可得，，，
∴，
∴三点共线，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，

由题意知，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴．
∴点C，B，E在同一条直线上．
∴，
∴为等边三角形，
∴．
（3）解：，理由如下：
如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，

∵与互补，
∴，
∵，
∴，
∴点C，D，M在同一条直线上．
由旋转的性质可知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F．
①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长．
②若点M是边上的动点，求周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为
【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决；
（2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值；
②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值．
【详解】（1）解：∵在正方形中，，
又绕B点旋转得到，且与重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为“直等补”四边形；
（2）解：①∵，，
∴；
∵四边形是“直等补”四边形，，
∴，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
∴；
即，
∴；
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
∴；
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（舍去），
∴；
②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N，
则，
∵，
∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长；
∵的周长为，
∴的周长最小值为；
∵，
∴由勾股定理得：，
∴周长的最小值为．
【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键．
能力提升4
1．四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”

(1)【思路点拨】
如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分．
①还可以知道、、三者数量关系为：_________；
②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________；
(2)【变式拓展】
如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明：
平分；
②；
(3)【能力提升】
如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________．
【答案】(1)①；②绕点A逆时针旋转得到
(2)①见解析；②见解析；
(3)
【分析】（1）①由题意可得，，，即可得；
②根据旋转的定义可得出答案；
（2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明；
②由①直接可证明；
（3）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解．
【详解】（1）解：①，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
②∵，
∴绕点A逆时针旋转得到．
（2）解：①延长至，使，连接，如图2，

四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分；
②，，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，如图3，

四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作交于点，
为的中点，
，
在中，，
，
，
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键．
2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由；
【答案】(1)是
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
（1）由旋转可得，，又在正方形中，，从而，因此满足，，，故四边形是“直等补”四边形；
（2）由四边形是“直等补”四边形，，，可得，，从而，又，，证得四边形是矩形，有，，利用“”证明，从而， 进而证得．
【详解】（1）∵将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是
（2）∵四边形是“直等补”四边形，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
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