2023-2024学年陕西省商洛市高一下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年陕西省商洛市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量，满足，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.记的内角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
8.在正三棱柱中，，是的中点，是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为的共轭复数，若，下列结论正确的是( )
A. 在复平面内对应的点位于轴上 B. 的实部为
C. 的虚部为 D.
10.国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类年国天然气进口吨，其中液化天然气进口吨，气态天然气进口吨年国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：
下列结论正确的是( )
A. 年国从国进口的液化天然气比从国进口的多
B. 年国没有从国进口液化天然气
C. 年国从国进口的液化天然气一定比从国进口的多
D. 年国从国进口的液化天然气一定比从国进口的多
11.在中，是的中点，，，下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 面积的最大值为
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一组样本数据为，，，，则它的方差为 ．
13.已知，均为实数，，则 ．
14.已知某圆台的母线长为，下底面的半径为，若球与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，，点满足．
当，时，求点的坐标；
若，求的值．
16.本小题分
已知，复数．
若为纯虚数，求；
若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值．
17.本小题分
在中，已知为的中点，，，．
求的面积；
求的长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为的中点．
证明：平面．
求点到平面的距离．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，．

证明：；
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
参考答案
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因为点，，，所以．
又因为点满足，所以，
当时，，又，
所以点的坐标为；
由点，，可得，
因为，且，
所以，
所以．

16.
由于复数为纯虚数，
所以，解得，此时，
若在复平面内对应点位于第二象限，
则，解得，
故整数的值有．

17.
根据题意可知，
又因为为的中点，可得，
，，，
根据余弦定理，
代入已知条件得，
得到，故所以可得是直角三角形，
所以可得
故答案为：
由第一问可知，
根据余弦定理可知，
代入得，
所以可得，
故答案为：

18.
取中点，连接，
由为的中点，则，
而为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面；
因为，平面，平面，
所以平面，则到平面的距离等于到平面的距离，
为，所以，
又，
所以，
且，
则点到平面的距离为．

19.
证明：因为底面，底面，所以．
因为四边形为正方形，所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以．
在中，，是的中点，则．
因为，所以平面．
因为平面，所以．
因为，，所以平面．
因为平面，所以．
连接交于点，如图所示：

则，又底面，平面，得，
而，则平面，则点到平面的距离为，
因为是的中点，所以
，，，，
所以，，
所以．
解：由可得平面，因为平面，平面，所以，．
为二面角的平面角．
，．
因为，所以，解得．
因为，即，所以．
故二面角的余弦值为．

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