2023-2024学年陕西省渭南市大荔县高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省渭南市大荔县高一下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足是虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B.
C. D. 或
3.军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”密位就是圆周的所对的圆心角的大小若角密位，则( )
A. B. C. D.
4.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.若的内角，，满足，则( )
A. B. C. D.
8.正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是奇函数
C. 的图象关于直线轴对称 D. 的值域为
10.已知非零向量，以下命题正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 已知，则
11.如图所示，若长方体的底面是边长为的正方形，高为是的中点，则( )
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
12.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则( )
A.
B.
C. 点的坐标为
D. 点的坐标为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若一个扇形的弧长和面积均为，则该扇形的圆心角的弧度数为 ．
14.若，且，则与的夹角为__ _______．
15.的值为 ．
16.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下面及母线均相切记圆柱的体积为，球的体积为，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简：
已知，计算
18.本小题分
求一个复数，使得为实数，且．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，底面．
证明：平面平面；
若，是中点，求与平面所成角的正切值．
20.本小题分
在中，角对应的边分别为，已知，求的值．
21.本小题分
已知函数的最大值为， 求常数的值； 求函数的单调递减区间； 求使成立的的取值集合．
22.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
若为的相伴特征向量，求实数的值；
记向量的相伴函数为，求当且时的值；
已知，，为中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
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17.解：
18.解：由题意，设，，且不同时为，
因为，即，
所以，
又，即，
联立解得，或，经检验此时，
所以复数或或，
19.解：证明：因为 ，
所以 ，又 底面，底面，
所以 ，又 ，、平面，
所以 平面，
因为 平面，
所以平面 平面；
如图所示：
作 于点，连接，
因为平面 平面，平面 平面，平面，，
所以 平面，
则 即为与平面所成的角．
设 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以与平面所成角的正切值为 ．
20.解：由正弦定理，得．
因为，所以，于是，或．
当时，可得：
；
当时，可得：
，
故．
21.解：函数，
化简得：
．
的最大值为，
，
解得：．
由可得，
根据三角函数的性质可得：，
解得：
的单调递减区间为，．
由题意，即，
可得：，
，
解得：
成立的的取值范围是．
22.解：，
又为的相伴特征向量，
；
向量的相伴函数为，
又，
．
，，
，
；
由题可知，
，
设，，
，，
又，
，
，
即，
，
，，
，
又，
当且仅当时，和同时等于，
在图像上存在点，使得．
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