2023-2024学年甘肃省酒泉市高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年甘肃省酒泉市高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由名裁判打分，统计结果为平均分分，方差为，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分分，一个最低分分，则( )
A. 平均分变大，方差变大 B. 平均分变小，方差变小
C. 平均分变小，方差变大 D. 平均分不变，方差变小
2.已知是虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为( )
A. B. C. D.
6.若正方体的内切球的表面积为，则此正方体最多可容纳半径为的小球的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台，其中，现从角落沿角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值为( )
A. B. C. D.
10.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙不相互独立 D. 丙与丁相互独立
11.如图，在棱长为的正方体中，在线段上运动包括端点，下列选项正确的有( )
A.
B.
C. 直线与平面所成角的最大值是
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数的模为，则的最大值为 ．
13.某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为，，则此问题被解决的概率为
14.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流放后世如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，且米，则滕王阁高度 米
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，与夹角是．
求的值及的值；
当为何值时，？
16.本小题分
本学期初，某校对全校高一学生进行数学测试满分，并从中随机抽取了名学生的成绩，以此为样本，分五组，得到如图所示频率分布直方图．
求的值，并估计该校高一学生数学成绩的平均数和分位数；
为进一步了解学困生的学习情况，从上述数学成绩低于分的学生中，分层抽样抽出人，再从人中任取人，求此人分数都在的概率．
17.本小题分
叙述并证明平面与平面平行的性质定理；
设，是两个不同的平面，，是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：；；；以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出一个正确的命题，并证明．
18.本小题分
已知向量，函数．
若，求的值；
若，求的值；
设中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且锐角满足，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在六面体中，，正方形的边长为，．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正切值；
求平面与平面所成二面角的余弦值；
求多面体的体积．
参考答案
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15.解：由向量的数量积的运算公式，
可得，
．
因为，
所以，
整理得，解得．
即当时，．

16.解：由，
解得；
该校高一学生数学成绩的平均数为．
前组的频率和为，
所以分位数为；
分层抽样抽取的人中，的有人，记为，，
的有人，记为，，，，
从人中任取人，基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中人分数都在的有，，，，，共种，
所以从人中任取人，分数都在的概率为．

17.解：两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．
已知：如图，已知，，，求证：．
证明：因为，所以与没有公共点，
又，，所以，，
所以与没有公共点，
又，，
；
命题一：若，，，则．
证明：过平面和平面外一点，作，交于，作，交于，
则，，，
显然与不平行，设，则、，所以，，
因为，平面，所以平面，
延展平面交于点，连接，平面，
所以，，
则是二面角的一个平面角，
因为，，所以，同理有，
又，所以四边形为矩形，则，
则平面和平面形成的二面角的平面角直二面角，故，

命题二：若，，，则．
证明：因为，，，
设，在平面内作直线，根据面面垂直的性质定理可得，
又因为，所以，
因为，，所以，所以．

18.解：
依题意，，
由，得，由，得，则，
则．
由，得，由，得，
则，
由，，得，
则
由，得，
所以的值为．
由，得，而，即，解得，即，
则，设，
由正弦定理得，则，
于是
所以的取值范围是．

19.解：
由，平面，平面，得平面，
由正方形，得，又平面，平面，得平面，
而平面，
所以平面平面．
连接，在正方形中，，则，而，
即有，于是，
而平面，则平面，由，
得平面，因此在平面内的射影是，
令直线与平面所成的角为，在直角梯形中，，
所以直线与平面所成角的正切值为．
延长与的延长线交于点，连接，则平面平面，
由知，平面，平面，则，
由，得，取的中点，连接，
由，得，而平面，
则平面，又平面，则，
因此是二面角的平面角，在中，，
而，则，，
所以平面与平面所成二面角的余弦值是．
由知，平面，而平面，则，又，
平面，于是平面，
四棱锥的体积，
由平面，得三棱锥的体积，
所以多面体的体积．

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