2023-2024学年湖南省岳阳市汨罗市第一中学高一下学期7月期末数学试题（含答案）

2023-2024学年湖南省汨罗市第一中学高一下学期7月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在复平面内，非零复数满足为虚数单位，则复数对应的点在( )
A. 一、三象限 B. 二、四象限
C. 实轴上除原点外 D. 坐标轴上除原点外
3.已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是( )
A. B. C. D.
4.已知的顶点坐标分别是，，，则( )
A. B. C. D.
5.名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为，，，，，，，，，，，单位：，则比赛成绩的分位数是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，平面内一点满足，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷次，乙抛掷次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，若，则
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
10.已知复数，均不为，则下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为
12.在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是( )
A. 为钝角三角形
B. 的最大内角是最小内角的倍
C. 若为中点，则
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某学校有男生人，女生人为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为，女生每天睡眠时间为小时，方差为若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 ．
14.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
15.如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为 ．
16.已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数，使，且当，，共线时，有同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当，，，共面时，有如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
求实数的值；
已知，，点，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点．

证明：平面；
若三棱柱的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
某地统计局就本地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本数据的频率分布直方图每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在．
求居民月收入在的频率；
根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
20.本小题分
龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出和共张牌每个数字四个花色：红桃红色、方块红色、黑桃黑色、梅花黑色现从张牌中依次取出张，抽到一张红和一张红即为成功．现有三种抽取方式，如下表：
方式 方式 方式
抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取
成功概率
分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；
若三种抽取方式小明各进行一次，
求这三次抽取中至少有一次成功的概率；
设在三种方式中仅连续两次成功的概率为，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率最大？如果无关，请给出简要说明．
21.本小题分
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，且若是的“费马点”，．
求角；
若，求的周长；
在的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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14.或．
15.
16.．
17.解：
．
，，三点共线，
存在实数，使得，
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，解得，．
．
，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
．
设，则，
，
，解得
即点的坐标为．
18.解：
如下图，连接交于点，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面；
根据题意，因为，所以，
所以，得，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为在中，，，
所以．


19.解：由频率分布直方图可知，居民月收入在内的频率为；
由频率分布直方图可知，
，，，
，
样本数据的中位数；
居民月收入在的频率为，
人中月收入在的人数为人，
再从人用分层抽样方法抽出人，
月收入在的这段应抽取人．
20.解：
设方式的样本空间为，方式的样本空间为，方式的样本空间为，
则，，，
设事件，，，，，，，，，
故，，．
记三次抽取至少有一次成功为事件，
则．
有关，按方式或抽取概率最大．
若按的顺序，，
同理，求出、、、、顺序下的概率分别为，，，，，
故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式或抽取概率最大

21.解：
由已知，得，
由正弦定理，得，
即，
即，
由于，所以，所以．
设，
则．
所以，由得：
，即，
由余弦定理得，，
即，即，
又，联立解得．
所以的周长为．
设，
由在中，由余弦定理得
联立求解可得，
所以，
所以，，
即，令，
由对勾函数性质知在上单调递减，
所以即的取值范围为．

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