人教版数学九年级上暑假预习课第十七讲 旋转自学检测卷（含解析）

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人教版数学九年级上暑假预习课
第十七讲 旋转自学检测卷
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第二十三章 旋转自学检测卷
考试范围：第23章；考试时间：120分钟；满分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列现象中是旋转的是（　　）
A. 雪橇在雪地上滑行 B. 抽屉来回运动
C. 电梯的上下移动 D. 汽车方向盘的转动
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为（　　）
A. 12 B.
C. D.
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（　　）
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
4．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图，∠AOC=45°，OA=1，OC=2，把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（　　）
A. （，） B. （1，）
C. （2，3） D. （，）
5．已知点A（1，a）、点B（b,2）关于原点对称，则a+b的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. -1 D. 1
6．如图，在△ABC中，∠C=64°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且点C'在BC上，则∠B'C'B的度数为（　　）
A. 42° B. 48° C. 52° D. 58°
7．如图，E是正方形ABCD边CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，过点A作EF的垂线AG交EF于点H，交BC于点G．若BG=3，CG=2，则DE的长为（　　）
A. B.
C. 4 D.
8．将点（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（　　）
A. （-1，-2） B. （2，-1） C. （1，2） D. （-2，1）
9．如图将△ABC绕点C（0，-3）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a,b），则A的坐标为（　　）
A. （-a,-b-3） B. （-a,-b-6） C. （-a,-b+1） D. （-a,-b-2）
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方，如果点A的坐标为，那么的坐标为(　 　)
A. B.
C. D.
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，将一个含角的直角三角板绕点 A顺时针旋转至，使得B，A，三点在同一条直线上，则旋转角的度数是 ．

12．如图，将这个风车图案绕着它的中心点进行旋转，若旋转后与自身重合，则旋转的角度可以是 ．
13．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ．
14．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点O3，… ．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BOn = ．
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（9分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．

(1)将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
(2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的；直接写出点的坐标；
(3)若内部任意一点P的坐标为，求：点P关于原点O的对称点的坐标．
17．（8分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图正方形方格纸图中，点A，B，C都在格点处．

(1)在图中画出线段，使，其中点D为格点；
(2)在图中画出，其中点E为格点，的周长等于的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，请连接，并直接写出的长度．
18．（8分）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．
例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形．
(1)第一关：完成图4中的图案．
(2)第二关：完成图5中的图案．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)平移 ，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标；
(2)画出关于点O的中心对称图形，并写出点的坐标．
20．（9分）【项目式学习】
【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？
【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习．
任务一：查阅资料
小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ．
素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为；
任务二：特例验证
（1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为；
任务二：迁移推广
小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等，
例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积，
（2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积
任务三：实践应用
（3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标．
21．（12分）阅读情境：
在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化”问题．
如图1，，其中，，此时，点C与点E重合，
操作探究1
（1）小凡将图1中的两个全等的和的按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是 ．
操作探究2
（2）小彬将图1中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后分别延长，，它们相交于点F．
如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①当 °时，．（直接回答即可）
②时，直接写出线段的长为 ；
操作探究3
（3）小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图4，当时，线段的长为多少？并说明理由；
②当旋转到点F是边的中点时，直接写出线段的长为 ．
22．（8分）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点．
(1)线段与的数量关系是________，位置关系是________；
(2)把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明．
23．（13分）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点D为中点，绕点D旋转，连接、．

观察猜想：（1）在旋转过程中，与的数量关系为______；
实践发现：（2）当点M、N在内且C、M、N三点共线时，如图，求证：；

解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且C、M、N三点共线时，直接写出的长．

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第二十三章 旋转自学检测卷（解析版）
考试范围：第23章；考试时间：120分钟；满分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列现象中是旋转的是（　　）
A. 雪橇在雪地上滑行 B. 抽屉来回运动
C. 电梯的上下移动 D. 汽车方向盘的转动
【答案】D
【解析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．即可得到答案．
解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项错误；
B、抽屉来回运动是平移，故此选项错误；
C、电梯的上下移动是平移，故此选项错误；
D、汽车方向盘的转动是旋转，故此选项正确；
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为（　　）
A. 12 B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出CA=CA1，等边对等角得出∠CA1B1=∠CAA1=30°，根据三角形外角的性质得出∠ACB1=30°，根据等角对等边得出B1A=BC=4，即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，
∴∠BAC=30°，则，
∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，
∴∠A1B1C=∠ABC=60°，B1C=BC=4，CA=CA1，A1B1=AB，∠A1=∠CAB=30°，
∵CA=CA1，
∴∠CA1B1=∠CAA1=30°，
∵A1，B1，A三点共线，
∴∠ACB1=∠A1B1C-∠A1AC=60°-30°=30°，
∴B1A=BC=4，
∴AA1=AB1+A1B1=4+8=12，
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（　　）
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
【答案】D
【解析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′的特性解题．
解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
所以，∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选：D．
4．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图，∠AOC=45°，OA=1，OC=2，把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（　　）
A. （，） B. （1，）
C. （2，3） D. （，）
【答案】D
【解析】根据题意，画出图形，根据直角三角形的性质，即可求出点B′的坐标．
解：如图：作B'E⊥y轴于点E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=2，
∵把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴正半轴上，
∴∠A'OA'=∠AOC=45°，OA'=OA=1，A′B′=AB=OC=2，
∴∠B'A'O=135°，
∴∠B'A'E=45°，
∴A'E=B'E=A′B′=，
∴OE=OA'+A'E=1，
∴旋转后点B的对应点B'的坐标为（，1），
故选：D．
5．已知点A（1，a）、点B（b,2）关于原点对称，则a+b的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. -1 D. 1
【答案】B
【解析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可．
解：∵点A（1，a）、点B（b,2）关于原点对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a+b=-3．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，∠C=64°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且点C'在BC上，则∠B'C'B的度数为（　　）
A. 42° B. 48° C. 52° D. 58°
【答案】C
【解析】由旋转的性质可得∠C=∠AC'B'=64°，AC=AC'，由等腰三角形的性质可得∠C=∠AC'C=64°，即可求解．
解：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，
∴∠C=∠AC'B'=64°，AC=AC'，
∴∠C=∠AC'C=64°，
∴∠B'C'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=180°-64°-64°=52°，
故选：C．
7．如图，E是正方形ABCD边CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，过点A作EF的垂线AG交EF于点H，交BC于点G．若BG=3，CG=2，则DE的长为（　　）
A. B.
C. 4 D.
【答案】A
【解析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG=FG，设DE=x,则CE=CD-DE=5-x,BF=DE=x,FG=BF+BG=x+3=EG，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，即可得到DE的长．
解：如图，连接EG，
∵BG=3，CG=2，
∴BC=BG+CG=3+2=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC=5，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，DE=BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设DE=x,则CE=CD-DE=5-x,BF=DE=x,FG=BF+BG=x+3，
∴EG=x+3，
在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，
即（5-x）2+22=（x+3）2，
解得：x=，
∴DE的长为．
故选：A．
8．将点（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（　　）
A. （-1，-2） B. （2，-1） C. （1，2） D. （-2，1）
【答案】D
【解析】过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，根据垂直定义可得∠BDO=∠ACO=90°，从而可得∠OAC+∠AOC=90°，再利用旋转的性质可得OA=OB，∠AOB=90°，然后利用平角定义可得∠AOC+∠BOD=90°，从而根据同角的余角相等可得∠OAC=∠BOD，进而可证△AOC≌△OBD，最后利用全等三角形的性质可得OC=BD=1，AC=OD=2，即可解答．
解：如图：过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∴∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠OAC+∠AOC=90°，
∵点A（1，2），
∴OC=1，AC=2，
由旋转得：
OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°-∠AOB=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC=BD=1，AC=OD=2，
∴点B的坐标为（-2，1），
故选：D．
9．如图将△ABC绕点C（0，-3）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a,b），则A的坐标为（　　）
A. （-a,-b-3） B. （-a,-b-6） C. （-a,-b+1） D. （-a,-b-2）
【答案】B
【解析】设A的坐标为（m,n），由于A、A′关于C点对称，则=0，=-3．
解：设A的坐标为（m,n），
∵A和A′关于点C（0，-3）对称．
∴=0，=-3，
解得m=-a,n=-b-6．
∴点A的坐标（-a,-b-6）．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方，如果点A的坐标为，那么的坐标为(　 　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB=，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3==，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2==45°，
∴B1(0，)，B2(-1，1)，B3(-，0)，，
发现是8次一循环，
∵2020÷8=2524，
∴点B2020的坐标为(-，-1)，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的变化－规律型，正方形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”，学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键．
【答案】（答案不唯一，的正整数倍即可）
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【详解】风车绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角可以为，
故答案为：（答案不唯一，的正整数倍即可）．
13．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点C中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，
∴，，
∴，
∵与关于点C中心对称，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】1.25
【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一．
【详解】连接，，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形和正方形的对称中心都是点，
．
故答案为：1.25．
15．如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点O3，… ．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BOn = ．
【答案】
【详解】解：∵矩形纸片ABCD中，AB= ，BC= ，
∴BD=4，
（1）当n=1时，
∵第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1，
∴O1D=O1B=2，
∴BO1=2=
（2）当n=2时，
∵第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1，
∴O2D1=BO2==
∵设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，
∴O3D2=O3B=
∴以此类推，当n次折叠后，BOn=．
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（9分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．

(1)将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
(2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的；直接写出点的坐标；
(3)若内部任意一点P的坐标为，求：点P关于原点O的对称点的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)见详解，
(3)
【分析】本题考查了平移作图、旋转作图，关于原点的对称的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别画出沿x轴方向向左平移6个单位的点，再依次连接，即可作答．
（2）分别画出绕着点A顺时针旋转90°的点，再依次连接，即可作答．
（3）关于原点对称的两个点的纵横坐标互为相反数，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：如图所示：点．
（3）解：∵内部任意一点P的坐标为，
∴点P关于原点O的对称点的坐标为．
17．（8分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图正方形方格纸图中，点A，B，C都在格点处．

(1)在图中画出线段，使，其中点D为格点；
(2)在图中画出，其中点E为格点，的周长等于的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，请连接，并直接写出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点、中心对称图形的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）根据网格线的特点和垂线的定义作图；
（2）根据网格线的特点和中心对称图形的性质作图；根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据网格线的特点和垂线的定义作图，如图所示：

（2）解：根据网格线的特点和中心对称图形的性质作图，如图所示：

根据题意可得．
18．（8分）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．
例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形．
(1)第一关：完成图4中的图案．
(2)第二关：完成图5中的图案．
【答案】(1)加解析
(2)见解析
【分析】本题考查了图形的平铺与镶嵌，
（1）合理安排各图形的位置，即可完成任务；
（2）先安排大图形和特殊形状的图形，使之5个图形即可放入．
【详解】（1）解：如图，
（2）如图，
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)平移 ，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标；
(2)画出关于点O的中心对称图形，并写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】（1）由平移到可知是由向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到的，因此将点B和点C也按照相同的方式平移即可得到点和点，最后再顺次连接、、即可．
（2）将A、B、C、三点的横纵坐标分别乘得、、，顺次连接、、即可．
本题主要考查了平面直角坐标系中的平移变换和旋转变换，确定变换后点的坐标是解题的关键．
【详解】（1）如图所示，即为所求，
；
（2）如图所示，即为所求，
．
20．（9分）【项目式学习】
【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？
【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习．
任务一：查阅资料
小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ．
素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为；
任务二：特例验证
（1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为；
任务二：迁移推广
小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等，
例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积，
（2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积
任务三：实践应用
（3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标．
【答案】（1）5，，；（2），，；（3）C的坐标为或
【分析】（1）由题意知，，E点坐标为；根据，作答即可；
（2）如图，由平移可得A的对应点，B的对应点；由旋转可求，根据，计算求解即可；
（3）设，当平移到，A的对应点为，B的对应点为，根据，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
E点坐标为；
，
故答案为：5，，；
（2）解：如图，
∵，
∴点C平移至原点，即向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴A的对应点，B的对应点；
∵ 旋转变换到原点O，
∴旋转中点为的中点，
∴的中点也为，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：设，
当平移到，
∴A的对应点为，B的对应点为，
∴，
整理得，，
解得，或，
∴C的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数等知识．熟练掌握坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数是解题的关键．
21．（12分）阅读情境：
在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化”问题．
如图1，，其中，，此时，点C与点E重合，
操作探究1
（1）小凡将图1中的两个全等的和的按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是 ．
操作探究2
（2）小彬将图1中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后分别延长，，它们相交于点F．
如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①当 °时，．（直接回答即可）
②时，直接写出线段的长为 ；
操作探究3
（3）小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图4，当时，线段的长为多少？并说明理由；
②当旋转到点F是边的中点时，直接写出线段的长为 ．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②
【分析】（1）根据证明即可解决问题；
（2）①根据平行线的判定定理即可解决问题；
②作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（3）①连接，证明是等边三角形，利用勾股定理求出即可解决问题；
②如图5中，连接，交于点．首先证明，再证明，利用面积法求出即可解决问题．
【详解】（1）解：，
如图2中，
，，，
，
；
（2）①解：∵，
，
当时，．
故答案为：；
②解：如图3中，作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①解：如图4中，连接．
，，
是等边三角形，
，，
，
；
②解：如图5中，连接，交于点．
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
，，
垂直平分线段，
，
在中，，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点．
(1)线段与的数量关系是________，位置关系是________；
(2)把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明．
【答案】(1)，
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质可证明，推出，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，设的延长线交于O，交于H，如图，根据三角形的内角和定理可得，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵点，分别为，的中点，
∴，，
∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点，分别为，的中点．
∴，，
∵点，分别为，的中点．
∴，，
∴，
设的延长线交于O，交于H，如图，

∵，，
∴，即，
∴，即，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理、证明三角形全等是解题的关键．
23．（13分）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点D为中点，绕点D旋转，连接、．

观察猜想：（1）在旋转过程中，与的数量关系为______；
实践发现：（2）当点M、N在内且C、M、N三点共线时，如图，求证：；

解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且C、M、N三点共线时，直接写出的长．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
（3）点C、M、N三点共线，分类讨论，根据（2）中的结论即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
如图所示，连接，

∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图所示，连接，

由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，，C、M、N三点共线，
①由（2）可知，，

由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，由（1）可知，，，，

∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴（不符合题意舍去）；
③如图，

∵是等腰直角三角形，
∴，
同法可证，
∴，
∴，即是直角三角形，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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