人教版数学九年级上暑假预习课第十八讲 暑假自学成果检测卷（含解析）

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人教版数学九年级上暑假预习课
第十八讲 暑假自学成果检测卷
考试范围：21--23章；考试时间：120分钟；满分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列浏览器图标，是中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
3．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
7．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（ ）
A．米 B．米 C．3米 D．6米
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 …
0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论正确的是（　　）
A．足球飞行路线的对称轴是直线
B．足球距离地面的最大高度为
C．足球被踢出时落地
D．足球被踢出时，距离地面的高度是
10．如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知、是一元二次方程的两根，则 ．
12．如图，在边长为6的等边三角形中，点在边上，且，点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为 ．
13．如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，点坐标是 ，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ．
14．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．
15．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ．
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）用适当方法解方程：
(1)；
(2)．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．请回答下列问题：
(1)若先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到，作出，并写出三个顶点的坐标；
(2)将绕点O按逆时针方向旋转得到，作出．
18．（8分）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
19．（8分）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？
20．（9分）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题 SHEJITI由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图．若取x的值为，，，使得函数值，满足，那么抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解．
【任务】
（1）．在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可）
例5 利用二次函数的图象方程的解（或近似解）．解 设，则方程的解就是该函数图像与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象（图1-20），得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标，就是方程的解．观察图1-20，得到点A的横坐标，点B的横坐标．所以方程的近似解为，．
A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想
（2）．先完成下表，并判断：
方程的解，（）分别在哪两个相邻的整数之间．
x的值 0 1
的值 ______ ______ ______ ______
（3）．若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况．
（2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案；
（3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
21．（9分）项目化学习
项目主题：老陈醋最优销售单价．
项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱．
某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
实验数据：
老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 …
每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 …
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
（1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______；
（2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润．
22．（13分）综合与探究
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴另一个交点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点，使点到直线的距离最大，求出点的坐标及点到直线的距离最大值；
(3)在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与面积相等？若存在，请直接写出符合的点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）综合与实践：
在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．
(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．
(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．
人教版数学九年级上暑假预习课
第十八讲 暑假自学成果检测卷（解析版）
考试范围：21--23章；考试时间：120分钟；满分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列浏览器图标，是中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的定义是解题关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2．若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故选：B．
3．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律即可解答．
掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，
得到的新的抛物线的解析式为：．
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标，判断点所在的象限等知识．熟练掌握关于原点对称的点坐标，判断点所在的象限是解题的关键．
由题意知，点关于原点对称的点为，进而可得结果．
【详解】解：由题意知，点关于原点对称的点为，在第三象限，
故选：C．
5．坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度．
【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同
，，，
，
又
．
故选：B．
6．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
7．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数．
【详解】解：设；
∵；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
即，；
由旋转的性质可知，；
∴；
故选：C．
8．最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（ ）
A．米 B．米 C．3米 D．6米
【答案】A
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，设二次函数的解析式为：，用待定系数法求出抛物线解析式，把代入，求出x，根据题意选择合适得值即可．
【详解】解：根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，
设二次函数的解析式为：，
由∵，的中点O为原点建立平面直角坐标系，
∴，
把代入可得出：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
当时，
即
解得：，（舍去），
则此瓜农从点O沿向左最多能走．
故选：A．
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 …
0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论正确的是（　　）
A．足球飞行路线的对称轴是直线
B．足球距离地面的最大高度为
C．足球被踢出时落地
D．足球被踢出时，距离地面的高度是
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的应用，根据表格中的数据和题意可以求得相应的函数解析式，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：设该抛物线的解析式为，
代入表中前三对值得，
解得，
∴，
∴足球飞行路线的对称轴是直线，故选项A的结论正确，符合题意；
当时，取得最大值，此时，
∴足球距离地面的最大高度为，故选项B的结论错误，不符合题意；
当时，得或，
∴足球被踢出时落地，故结论C的结论错误，不符合题意；
当时，，
∴足球被踢出时，距离地面的高度是，故选项D的结论错误，不符合题意；
故选：A．
10．如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据，得到，从而得到四点共圆，结合，，得到，继而得到，得到，故平分，作于点M，根据垂线段最短原理，得到当G与M重合时，最短，结合，根据，解答即可．
【详解】∵，，
∴，
∴四点共圆，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
作于点M，根据垂线段最短原理，得到当G与M重合时，最短，
∵，
∴，
故选B．
．
【点睛】本题考查旋转的性质，对角互补的四边形内接于圆，垂线段最短，直角三角形的有关计算等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，判定四点共圆是解决问题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知、是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，将式子变形为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，在边长为6的等边三角形中，点在边上，且，点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为 ．
【答案】2或
【分析】根据题意，分三种情况：；；，分类讨论，利用等边三角形的判定与性质，勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：在边长为6的等边三角形中，点在边上，且，
，则，
若，如图所示：
将线段绕点顺时针旋转得线段，
是等边三角形，且边长为4，
；
若，如图所示：
将线段绕点顺时针旋转得线段，
是等边三角形，
，
，则，
为等边三角形，且边长为4，
连接，如图所示：
，
是等边三角形，则，，
，
，即，则，
，
在中，，，
则由勾股定理可得；
当与重合时，如图所示：
的情况不存在；
综上所述，线段的长为2或．
【点睛】本题考查求线段长，涉及等边三角形的判定与性质、旋转性质、平行线性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，根据题意，分类讨论是解决问题的关键．
13．如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，点坐标是 ，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律问题，勾股定理，等腰直角三角形性质，旋转的性质．根据题意求出点初始坐标，再利用旋转知识得出每次旋转后的坐标，观察出每次一循环，即可得到本题答案．
【详解】解:∵，，
∴，
过点作轴交轴与点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转，每次旋转，
∴第一次旋转得到的坐标为，
第二次旋转得到的坐标为，
第三次旋转得到的坐标为，
第四次旋转得到的坐标为，
第五次旋转得到的坐标为，
可以发现的坐标四次一循环，
∴第次旋转结束时:，
∴第次旋转结束时点的坐标为:，
故答案为:，．
14．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．
【答案】/
【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符．
【详解】解：时速为108千米米/秒，
设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒，
则，
解得：．
平均每秒减速（米/秒）；
设刹车后汽车滑行10米时用了t秒，
依题意列方程：，
解方程得，（不合题意，舍去），
即，
故答案为：．
15．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案．
【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，
由题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为，
令，则，
，
令，则，
解得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当D，P，F三点共线时，取最小值，
，，
，
，
，
，
而在中，，
，
即取最小值为，
的最小值为．
故答案为：4．
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）用适当方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．请回答下列问题：
(1)若先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到，作出，并写出三个顶点的坐标；
(2)将绕点O按逆时针方向旋转得到，作出．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】(1) 根据右加下减的原则，计算出平移坐标，再画图即可．
(2) 根据旋转的全等性作图即可．
本题考查了平移作图，旋转作图，，熟练掌握平移规律，正确理解旋转的性质，是解题的关键．
【详解】（1）根据，，，先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到，
故的三个顶点坐标分别为，画图如下：
则即为所求，且．
（2）根据旋转的全等性作图如下：
则即为所求．
18．（8分）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
【答案】(1)5
(2)抛物线的表达式为或或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键．
（1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离．
（2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，
【详解】（1）解：将、代入中，
得
解得
抛物线L的表达式为．
顶点．
过点P作轴于点D，则，
，，，
，，
．
（2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，
由于，即要使的面积为12，只需，
点P'在y轴左侧，
抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为；
当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，
由于，要使的面积为12，只需，
抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为或．
综上，抛物线L'的表达式为或或．
19．（8分）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？
【答案】(1)该跳绳销售量的月增长率为；
(2)该跳绳的售价应定为50元/条．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
（1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案．
【详解】（1）解：设该跳绳销售量的月增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该跳绳销售量的月增长率为；
（2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴．
答：该跳绳的售价应定为50元/条．
20．（9分）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题 SHEJITI由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图．若取x的值为，，，使得函数值，满足，那么抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解．
【任务】
（1）．在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可）
例5 利用二次函数的图象方程的解（或近似解）．解 设，则方程的解就是该函数图像与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象（图1-20），得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标，就是方程的解．观察图1-20，得到点A的横坐标，点B的横坐标．所以方程的近似解为，．
A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想
（2）．先完成下表，并判断：
方程的解，（）分别在哪两个相邻的整数之间．
x的值 0 1
的值 ______ ______ ______ ______
（3）．若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况．
（2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案；
（3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【答案】（1）A，D
（2）填表见解析，，
（3）方程有两个不相等的实数根，且，
【分析】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想
（1）根据题意结合数学思想可得答案；
故答案为：A，D；
（2）填表如下：
x的值 0 1
的值 13 3 1
根据上表可得，；
（3），
当时，，
又，
方程有两个不相等的实数根，且，．
21．（9分）项目化学习
项目主题：老陈醋最优销售单价．
项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱．
某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
实验数据：
老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 …
每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 …
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
（1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______；
（2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润．
【答案】（1）一次，；（2）老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元
【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的极值问题，对于（1），根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可；
对于（2），求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出极值．
【详解】解：（1）观察表格可知老陈醋每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．
设一次函数关系式为，将点代入，得
，
解得，
所以一次函数关系式为．
故答案为：一次函数解析式为；
（2）根据题意，得
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当时，，
所以当老陈醋的单价为35元时，最大利润为450元．
22．（13分）综合与探究
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴另一个交点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点，使点到直线的距离最大，求出点的坐标及点到直线的距离最大值；
(3)在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与面积相等？若存在，请直接写出符合的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，点到直线的距离最大值为
(3)或
【分析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数中的线段最值、二次函数面积问题．
（1）由直线、两点的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）首先设，过点P作交于，轴交于点，交轴于点，即可表示出的长，根据当点到直线的距离最大时面积最大，计算最大值即可；
（3）作交轴于，作关于点的对称点，再作，则与抛物线的交点即为所求点．
【详解】（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，．
∴点，．
∵抛物线经过、两点，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式是；
（2）过点P作交于，轴交于点，交轴于点，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，此时
∴点的坐标为，点到直线的距离最大值为；
（3）作交轴于，作关于点的对称点，再作，则直线到的距离等于直线到的距离，
∵以点、、为顶点的三角形与面积相等，
∴与抛物线的交点即为所求点，
∵直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴，
∵，关于点的对称点，
∴，
∵，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴或．
23．（12分）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．
(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．
(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．
【答案】(1)①，，理由见解析；②
(2)正方形，
【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证；
②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解；
（2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积．
【详解】（1）解：（1）①，，理由如下：
如图2，设与的交点为，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
又，
，
；
②如图3，过点作于，过点作直线于，
，
，
又，
，
，
，
当有最大值时，四边形面积有最大值，
即当时，有最大值为，
四边形面积的最大值为；
（2）解：如图4，连接，，
点，，，分别是，，，的中点，
，，，，，，，，
由（1）知，，
，
四边形为菱形，
由（1）知，
，
菱形为正方形；
如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上，
此时正方形的面积最大，
，
，
故答案为：正方形，．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，菱形的判定，中位线性质等，解题关键是在图形的变化过程中要弄清所存在的不变量及关系．
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