人教版数学八年级上暑假预习课第一讲 三角形有关线段（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第一讲 三角形有关线段
一、专题导航
二、知识点梳理
知识点1 三角形
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为，读作“三角形ABC”。
典例剖析1
例1-1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
例1-2．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（ ）
A．B． C． D．
例1-3．如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ．
知识点2 三角形有关线段
1.三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对应的边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.三角形的高
从一个三角形顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
典例剖析2
例2-1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
例2-2．下列各图形中，哪个图形中的是的高（ ）
A． B．
C． D．
例3-3．如图，在中是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．6.5 B．6 C．5 D．4
知识点3 三角形的分类
①按角分类：
三角形
②按边分类
三角形
注：等边三角形是特殊的等腰三角形
典例剖析3
例3-1．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
例3-2．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）

A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
知识点4 三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
典例剖析4
例4-1．下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2．现有两根木条，它们的长分别是和，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为，则（ ）
A． B． C． D．
例4-3．若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）．
三、变式训练
三角形
1.如图，D，E，F，G是线段BC上的点．
（1）以AC为边的三角形有 ；
（2）图中共有 个三角形．
2．如图所示：
(1)图中有几个三角形？把它们一一说出来．
(2)写出的三个内角．
(3)含边的三角形有哪些？
三角形有关线段
1．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号）
2．如图，在中，点是边上的点，且，点是边上的点，且，与相交于点，若四边形的面积是，则的面积为 ．
3．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．
3 .三角形的分类
1.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
3．已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4.三角形三边的关系
1.在中， 如果的长为素数， 那么的长是 ．
2．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①，，； ②，，．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ．
3．若、、是三角形的三边长，化简的结果为
四、能力提升
三角形
1.如图所示，∠MBN＝45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；
（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；
②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．
2..如图已知在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B、C 在 x 轴上OA=OB，A（0，a），C（c，0）中a，c满足|c-a﹣10|+＝0
(1)求A、B、C、的坐标；
(2)在y轴上存在点 Q，且△QAB 的面积等于△ABC 的面积，请求出点Q 的坐标．
(3)已知p（-6，m），连接 PA、PB，并用含字母m的式子表示△PAB 的面积（m≠3）
三角形有关线段
1.如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高：
(2)画出中边上的中线；
(3)求的面积．
2．典型题例：
（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）

迁移应用：
（3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：；
（4）如图4，的三条中线，，相交于点，
①请你写出所有与面积相等的三角形；
②写出与的数量关系式，并说明理由；

拓展应用；
（5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．

3 .三角形的分类
1.如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)和是什么关系？为什么？
(3)若，那么和各是多少度？
2．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
4.三角形三边的关系
1．课本再现（1）已知a，b，c是的三边，，若第三边c的长是偶数，求c边的长，
变式拓展（2）已知的三边长a，b，c都是整数，，且三角形的周长是奇数，求的周长的最小值．
2．已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长．
3．已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
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第一讲 三角形有关线段
一、专题导航
二、知识点梳理
知识点1 三角形
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为，读作“三角形ABC”。
典例剖析1
例1-1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，逐项验证即可得到答案，熟记三角形定义是解决问题的关键
【详解】解：由三角形定义可知A，B，C均不是三根木棒拼成的三角形，只有D是三根木棒拼成的三角形，
故选：D．
例1-2．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可．
【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念，
故选：C
例1-3．如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ．
【答案】 ，， ，，
【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念．
根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析．
【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是
故答案为：；；；．
知识点2 三角形有关线段
1.三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对应的边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.三角形的高
从一个三角形顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
典例剖析2
例2-1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是的中线，，原结论正确，不符合题意；
B、是的角平分线，，原结论正确，不符合题意；
C、是的中线，，，原结论错误，符合题意；
D、是的高，，原结论正确，不符合题意；
故选：C．
例2-2．下列各图形中，哪个图形中的是的高（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线，解答即可．
【详解】解：过点A作直线的垂线段，
即画边上的高，正确的是D．
故选：D．
例3-3．如图，在中是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．6.5 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】题目主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则
，则，然后利用
即可得到答案．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
；
故选：D．
知识点3 三角形的分类
①按角分类：
三角形
②按边分类
三角形
注：等边三角形是特殊的等腰三角形
典例剖析3
例3-1．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可．
【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
例3-2．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）

A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案．
【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形．
故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．
故选：B．
知识点4 三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
典例剖析4
例4-1．下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否构成三角形，只要判断两个较短线段的和>最长线段的长即可．根据三角形的三边关系必须满足：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边即可得出结论．
【详解】解：A.，能组成三角形，符合题意；
B.，不能组成三角形，不符合题意；
C.，不能组成三角形，不符合题意；
D.，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
例4-2．现有两根木条，它们的长分别是和，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即．
故选：A．
例4-3．若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）．
【答案】②③④
【分析】本题考查了构成三角形的条件，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：∵
∴符合题意的只有②③④．
故答案为：②③④．
三、变式训练
三角形
1.如图，D，E，F，G是线段BC上的点．
（1）以AC为边的三角形有 ；
（2）图中共有 个三角形．
【答案】 ，，，， 15
【解析】略
2．如图所示：
(1)图中有几个三角形？把它们一一说出来．
(2)写出的三个内角．
(3)含边的三角形有哪些？
【答案】(1)图中有7个三角形，即
(2)的三个内角是
(3)含边的三角形有
【分析】本题考查了三角形的定义，角的写法，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形．
【详解】（1）解：图中有7个三角形，
分别为：；
（2）解：在中，
它的三个内角是；
（3）解：由（1）知图中有7个三角形，即，
含边的三角形有．
三角形有关线段
1．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号）
【答案】②③④
【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
故④正确，符合题意；
∵是角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定，
∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意；
故答案为：②③④．
2．如图，在中，点是边上的点，且，点是边上的点，且，与相交于点，若四边形的面积是，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，二元一次方程组；连接，如图所示：设，，可得，，，，再建立方程组，解方程组求得a、b的值，进而即可求得的面积．
【详解】解：连接，如图所示：

设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴
∵
∴，即
∴
∴，
∵四边形的面积是
∴
∴，
解得，
∴．
故答案为．
3．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可
【详解】如图为中线， 为角平分线，为高
3 .三角形的分类
1.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
2．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
3．已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】此题考查了非负数的性质，绝对值、偶次方和二次根式的性质，得出的值是解题关键；
先根据非负数的性质，求出、、的值，再判断即可；
【详解】解: ∵，
∴，
解得：，
∴是等边三角形，
故选：D．
4.三角形三边的关系
1.在中， 如果的长为素数， 那么的长是 ．
【答案】5
【分析】本题考查三角形三边的关系和素数的概念，先根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边只差小于第三边求出的取值范围，再根据的长是素数得到的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵的长是素数，
∴，
故答案为：5．
2．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①，，； ②，，．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ．
【答案】 ① 10或12或13或14
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解．
【详解】：（1）①，
∴能组成“不均衡三角形”；
②，
∴不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：①．
（2）①当16为最长边，为最短边时，
，
解得：，
，
解得：，
故不合题意，舍去；
②当为最长边，为最短边时，
解得：，
∵，
解得：，
，
为整数，
，
经检验，当时，可构成三角形；
③当为最长边，16为最短边时，
解得：，
∵，
解得：，
，
为整数，
或或，都可以构成三角形；
综上所述，的整数值为或或或；
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键．
3．若、、是三角形的三边长，化简的结果为
【答案】
【分析】根据三角形三边关系定理，判断出每一个绝对值内多项式的符号，脱去绝对值，去括号合并同类项即可．
【详解】解：∵a-b＜c，b-a﹤c，c-b﹤a，
∴a-b-c＜0，b-a-c＜0， c-b-a＜0，
∴原式=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，去括号，合并同类项等知识，其中根据绝对值内的数的符号正确脱去绝对值是解决本题关键．
四、能力提升
三角形
1.如图所示，∠MBN＝45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；
（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；
②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．
【分析】①若△ABC是直角三角形，则有两种情况：∠ACB＝90°或∠BAC＝90°．根据等腰直角三角形的性质进行计算BC的长；
②结合图形，知要使△ABC是锐角三角形，则应介于①的两种情况之间；
③结合图形，知要使△ABC是钝角三角形，则应小于①中求得的较小的BC或大于①中求得的较大的BC的长．
【解答】解：①如图所示，
当∠ACB＝90°时，则BC＝AB＝1；
当∠BAC＝90°时，则BC＝AB＝2．
即BC＝1或2时，△ABC是直角三角形；
②当1＜BC＜2时，△ABC是锐角三角形；
③当BC＜1或BC＞2时，△ABC是钝角三角形．
【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质，能够结合图形分析不同形状的三角形的取值范围．
2..如图已知在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B、C 在 x 轴上OA=OB，A（0，a），C（c，0）中a，c满足|c-a﹣10|+＝0
(1)求A、B、C、的坐标；
(2)在y轴上存在点 Q，且△QAB 的面积等于△ABC 的面积，请求出点Q 的坐标．
(3)已知p（-6，m），连接 PA、PB，并用含字母m的式子表示△PAB 的面积（m≠3）
【答案】(1)A（0，-3）、B（-3，0）、C（7，0）；
(2)（0，7）或（0，-13）；
(3)或．
【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性可求的a、c的值，再根据OA=OB，可求B点坐标；
（2）先求出的面积，再分类讨论表示 的面积，解方程即可；
（3）根据点P与直线AB的位置关系分情况讨论，利用割补的方法表示 的面积即可．
【详解】（1）解：∵|c-a﹣10|+＝0
∴c-a-10=0,c-7=0
∴a=-3,c=7
∵0A=0B
∴OB=3
∴A（0，-3）、B（-3，0）、C（7，0）；
（2）解：由（1）可知A（0，-3）、B（-3，0）、C（7，0）
∴OB=3,OA=3,OC=7
∴
设点Q的坐标为（0，n）
则或
解得：n=7或n=-13
∴点Q的坐标为（0，7）或（0，-13）．
（3）解：根据题意分三种情况讨论：
①当点P在直线AB上方时，（）如下图：
过点P，作PH⊥y轴，交y轴于点H，
∵点P坐标为（-6，m）
∴PH=6，AH=m+3
∴
＝
＝ ；
②当点P在直线AB和x轴之间时，如下图：
过点P，作PH⊥y轴，交y轴于点H，
∵点P坐标为（-6，m）
∴PH=6，AH=m+3
∴
＝
＝；
③当点P在x轴下方时，如下图：
过点P，作PH⊥y轴，交y轴于点H，
∵点P坐标为（-6，m）
∴PH=6，AH=-3-m
∴
＝
＝；
综上所述：用含字母m的式子表示 的面积为或．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的面积表示方法，理解题意分类讨论是解决本题的关键．
三角形有关线段
1.如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高：
(2)画出中边上的中线；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）延长，过A作与D，即可得到答案．
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案．
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图，即为所求：
（2）如下图，即为所求
（3），
∴．
2．典型题例：
（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）

迁移应用：
（3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：；
（4）如图4，的三条中线，，相交于点，
①请你写出所有与面积相等的三角形；
②写出与的数量关系式，并说明理由；

拓展应用；
（5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．

【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）①与面积相等的三角形有，，，，；②，理由见解析；（5）27
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
（1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果；
（2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可．
（3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论；
（4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断；
②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明；
（5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得．
【详解】解：（1）；理由见如下：
过点A作于点H，如图所示：

∵是的中线，
∴，
∵，，
∴；
（2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：

∵，
∴；
方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：

∵D为的中点，
∴，
∴，
同理得：，，
∴；
（3）是的中线，则
，
同理，
，
；
（4）①；
∴与面积相等的三角形有，，，，；
②，
理由如下：，
，
；
（5）在图①中，连接，
，，
，，，
，，
，
，
设，则
，
解得；
在图②中，连接、、，

则，，
设，则
，
解得；
在图③中，连、、、、，
则，，
设，则
，
解得，
．
由可知，，
，
，
解得．
故答案为：27．
3 .三角形的分类
1.如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)和是什么关系？为什么？
(3)若，那么和各是多少度？
【答案】(1)4个
(2)，见解析
(3)，
【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形的定义进行求解即可；
（2）根据等角的余角相等即可得出结论；
（3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
是直角三角形，
图中有4个直角三角形,；
（2）解：由（1） 知是直角三角形，
，
；
（3）解：，，
，
，
．
2．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
【答案】的周长为17，是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∵a为方程的解，
∴或1，
当时，，
不能组成三角形，故不合题意；
∴，
∴的周长，
∵，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．
4.三角形三边的关系
1．课本再现（1）已知a，b，c是的三边，，若第三边c的长是偶数，求c边的长，
变式拓展（2）已知的三边长a，b，c都是整数，，且三角形的周长是奇数，求的周长的最小值．
【答案】；13
【分析】此题主要考查了三角形周长的定义和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．
（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）利用三角形周长的定义以及三角形三边关系即得出最后结果可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得，
所以．
因为c是偶数，所以．
（2）因为，
所以a，b中一个奇数、一个偶数．
又因为的周长为奇数，所以c为偶数，
因为，所以c的最小值为6．
因为的三边长为整数，，
所以a的最小值为6，，
所以的周长的最小值为13．
2．已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形三边关系，首先设边的长度分别是a、b、c，则；然后根据三边长都是整数且互不相等，由三边关系得出，即可判断出，判断出三边长分别是5、3、4；再分情况讨论即可．
【详解】解：设边的长度分别是a、b、c，
的周长为12，
；
为最大边，
，
，
三边长都是整数且互不相等，
，即，
，且，
或，
或．
3．已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
【答案】（1）木棒c长度的取值范围是35cm＜c＜105cm；（2）35cm＜d＜95cm；（3）最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【分析】（1）根据三角形的三边长关系，即可得到答案；
（2）分3种情况：①如果a、d、b能组成三角形，②如果a、e、b能组成三角形，③如果d、e、b能组成三角形，分别求出d的取值范围，进而即可得到答案；
（3）分3种情况：①如果a、d、b能组成三角形，②如果a、e、b能组成三角形，③如果d、e、b能组成三角形，分别求出组成的三角形里最小的周长以及最大的周长，进而即可得到答案．
【详解】（1）根据三角形的三边关系，得70﹣35＜c＜70+35，即35＜c＜105．
∴木棒c长度的取值范围是：35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果a、d、b能组成三角形，那么35cm＜d＜105cm；
②如果a、e、b能组成三角形，那么35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果d、e、b能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，即|130﹣d﹣70|＜d＜130﹣d+70，
解得：30cm＜d＜100cm，
综上所述，35cm＜d＜95cm；
（3）若木棒d的长为偶数，
①如果a、d、b能组成三角形，那么d最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果a、e、b能组成三角形，则d最小值为26cm，最大值为94cm，那么e最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果d、e、b能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）．
综上所述，最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【点睛】本题主要考查三角形的三边长关系以及不等式组的实际应用，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，是解题的关键．
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