2024年江苏省常州市中考数学真题试题（含答案）

2024年江苏省常州市中考数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．﹣2024的绝对值是（　　）
A． B． C．﹣2024 D．2024
2．若式子有意义，则实数x的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．计算2a2﹣a2的结果是（　　）
A．2 B．a2 C．3a2 D．2a4
4．下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（　　）
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
6．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为（　　）
A．50×108光年 B．5×108光年
C．5×109光年 D．5×1010光年
7．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．第1km所用的时间最长
B．第5km的平均速度最大
C．第2km和第3km的平均速度相同
D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．16的算术平方根是 　 　．
10．分解因式：x2﹣4xy+4y2＝　 　．
11．计算：　 　．
12．若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 　 　．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　 　°．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　 　．
17．小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 　 　（填“＞”、“＝”或“＜”）．
18．“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x1．
21．（8分）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 　 　（写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
22．（8分）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 　 　；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
23．（8分）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 　 　．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
25．（8分）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
26．（10分）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 　 　，d＝　 　（写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
27．（10分）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 　 　；
（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝　 　；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
2024年江苏省常州市中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．D 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．4 10．（x﹣2y）2 11．1 12．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5） 13．（﹣2，﹣1）
14．70° 15． 16． 17．＞ 18．54≤v≤72
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解：（1），
①+②，得：4x＝4，
∴x＝1，
将x＝1代入①得：y＝1，
∴该方程组的解为：；
（1），
解不等式3x﹣6＜0，得：x＜2，
解不等式，得：x＞﹣1，
∴该不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．
20．（6分）解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1；
当x1时，
原式1+1．
21．（8分）解：（1）因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次，故正确；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600，故正确；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数为540，故不正确；
∴①②；
故答案为：①②；
（3）2000500（个），
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
22．（8分）解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
23．（8分）（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC为等腰三角形；
（2）解：AD与l的位置关系是：AD∥l，理由如下：
连接AD，过A作AM⊥直线l于M，过D作DN⊥直线l于N，如图所示：
则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠ABM＝∠DFN，
在△ABM和△DFN中，
，
∴△ABM≌△DFN（AAS），
∴AM＝DN，
∴四边形AMND为平行四边形，
∴AD∥l．
24．（8分）解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1），
∴m＝﹣n＝2，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣1，﹣2）、B（2，1），
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1．
（2）如图，设直线与x轴的交点为点C，
在函数y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC．
25．（8分）解：由题意得，AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝（1.2+c+d）m＝（1.2+4a）m，AD＝（0.8+a+b）m＝（0.8+2a），
∵AB与AD的比是16：10，
∴（1.2+4a）：（0.8+2a）＝16：10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．
26．（10分）解：（1）由题知AB＝BC＝CD＝DE＝1，．
∴AC＝BD＝CE＝2，
∴线段AC的“平移关联图形”可以是BD，也可以是CE，
当线段AC的“平移关联图形”是BD时，d＝1，
当线段AC的“平移关联图形”是CE时，d＝2；
故答案为：BD，1或者CE，2；（两种情况任填一种即可）．
（2）作图如图所示，
作法提示：①在AB延长线上截取BA'＝BA，
②再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，
③连接BC和A'C'，则△BA'C'即为所求；
理由：∵AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，
∴△BA'C'为等边三角形，
∴△ABC≌△BA'C'（SAS），
∵平移距离为2，
∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2．
（3）∵点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），
∴OD＝OE＝1，OG＝4，∴
DE＝2，，
对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE＝2＜3，
∴DF≥3，EF≥3，
当DE在圆外时，
∵DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF，
∴，
∴，
即；
当DE在圆内时，
则，
∴GF3，
∴r3；
综上：或r3；
27．（10分）解：（1）如图所示，连接BE，CD，
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠EDF＝60°，
∴B、D、C、E四点共圆，
∵点E是AC的中点，
∴∠BEC＝90°，
∴BC为过B、D、C、E的圆的直径，
又∵DE＝BC＝6cm，
∴DE为过B、D、C、E的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴EH＝BH，
∴∠HBE＝∠HEB＝30°，
∴∠GEB＝∠EBH＝∠GBE＝∠BEH＝30°，
∴BG∥EH，BH∥EG，
∴四边形BHEG是平行四边形，
又∵EH＝BH，
∴四边形BHEG是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形；
（2）∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝∠C＝60°，AC＝BC＝6cm，
∵EF∥BC，
∴∠CHE＝∠DEF＝60°，
∴∠ABC＝∠CHE，
∴BG∥EH，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∵∠C＝∠CHE＝60°，
∴△EHC是等边三角形，
过点E作ET⊥HC，
∴设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm，
∴ cm，
∴，
∵，
∴当时，S重叠有最大值，最大值为；
（3）AE＝BF，理由如下：
如图所示，过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，
∵△ABC，△DEF都是边长为6cm的等边三角形，
∴AM＝FN＝DF＝AC＝3cm，EF＝AB＝6cm，BE＝BE，
∴由勾股定理可得，，
∴EN＝BM，
又∵BE＝BE，
∴Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），
∴NB＝ME，
∴FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．
28．（10分）解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3，
即OC＝3，
故答案为：3；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝1（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如下图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上所述，点P的横坐标为：1或1.5或．
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