【人教版数学九年级上册同步练习】24.3正多边形和圆（含答案）

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【人教版数学九年级上册同步练习】
24.3正多边形和园
一、单选题
1．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　）
A． B． C． D．
3．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，四边形是半径为2的的内接四边形，连接.若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，已知∠ADC＝140°，则∠AOC 的大小是（　　）
A．80° B．70° C．60° D．40°
二、填空题
6．如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为　 　度．
7．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝　 　.
8．已知一正多边形的每个外角是 ，则该正多边形是　 　边形．
9．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E＝210°，则∠CAD＝　 　°．
10．如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为22.5mm，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是　 　mm。
11．如图，正六边形 的边长为2，M点是四边形 内的一个动点，若 ．
（1）　 　；
（2）动点M所经过的路线长是　 　．
三、计算题
12．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧 上的一点，连接AE，DE．过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F，若∠CDE＝30°，求CF的长．
四、解答题
13．如图所示，四边形ABCD是的内接四边形，，.求：
（1）的度数.
（2）CD的长.
14．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
15．如图1，等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC=4，点D为AB边上的动点，连接CD，过点A作AB的垂线，交△ACD的外接圆⊙O于点E．
（1）求证：CD＝CE.、
（2）如图2，作直径CF，交AE于点G，连接AF；
①若四边形ADCF中的一组对边比为1：2，求DB的长；
②记△CEG的面积为S1，△ACD的面积为S2，当＝时，求tan ∠DCB的值．
五、综合题
16．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，弧AD上存在点E，满足弧AE＝弧CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G
（1）若∠DBC＝，请用含的代数式表示∠AGB；
（2）如图2，连接CE，CE＝BG，求证：EF＝DG；
17．如图，ΔDBE内接于⊙O，BD为直径，DE＝EB，点C在⊙O（不与D，B，E重合）上，∠A＝45°，点A在直线CD上，连接AB．
（1）如图1，若点C在DE上，求证：ΔABD～ΔCBE；
（2）在（1）的条件下，DC＝6，DB＝10，求线段CE的长；
（3）若直线BC与直线DE相交于点F，当 时，求 的值。
六、实践探究题
18．如图 ，正三角形、正方形、正六边形等正 边形与圆的形状有差异，我们将正 边形与圆的接近程度称为“接近度”．
（1）角的 “接近度” 定义：设正 边形的每个内角的度数为 ， 将正 边形的 “接近度”定义为 ． 于是 越小，该正 边形就越接近于圆．
①若 ， 则该正 边形的 “接近度”等于　 　.
②若 ， 则该正 边形的“接近度”等于　 　.
③当“接近度”等于　 　时， 正 边形就成了圆．
（2）边的 “接近度” 定义： 设一个正 边形的外接圆的半径为 ， 正 边形的中心到各边的距离为 ，将正 边形的“接近度”定义为 ． 分别计算当 时边的“接近度”， 并猜测当边的“接近度”等于多少时， 正 边形就成了圆．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
2．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
3．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
6．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
7．【答案】132°
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
8．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
9．【答案】30
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
10．【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
11．【答案】（1）120°
（2）
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
12．【答案】解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝ ，
∴AC为⊙O的直径，
∵CF为切线，
∴AC⊥CF，
∵∠CAE＝∠CDE＝30°，
∴CF＝ AC＝ ．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质；切线的性质
13．【答案】（1）解：四边形ABCD是的内接四边形，
，
；
（2）解：如图所示，连结BD.
在Rt中，
由勾股定理得.
在Rt△BCD中，，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
14．【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【知识点】圆内接四边形的性质
15．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
；
，
；
，
，
，
；
（2）解：①为等腰直角三角形，且，
；
四边形是圆内接四边形，
，
为直径，
，
，
；
分类讨论：
①当时；
则，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：或（舍去）；
②当时，
则；
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去）；
综上，或；
②如图，过点G作于H，
设，则；
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
；
，
，
；
，
，
代入三角形面积公式得：，
即：，
解得：，
即：，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理的推论
16．【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，
∴，
，
，
；
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
，
，
，
，，
又，，
，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；圆的综合题
17．【答案】（1）证明：∵四边形BDCE为圆内接四边形，
∴∠ADB=∠BCE，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
又∵DE=BE，
∴∠DBE=45°，
∵∠A=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=45°=∠DBE，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD，
∴∠CBE=∠ABD，
∴△ADB∽△CEB；
（2）解： ∵∠BCD=90°，
∴BC= =8，
∵△ABC和△BED为等腰直角三角形，
∴AB= BC= ，BE= BD= ，
∴AD=AC-CD=8-6=2，
由(1)得△ADB∽△CEB，
∴，即 ，
解得：CE= .
（3）解： 如图1，连接DG，作EH⊥BC，
∵ ，
设DC=k，CB=3k，
由△ABC是等腰直角三角形，则BC=AC=3k，AD=2k，
∵BD为直径，
∴∠DGB=∠DGA=90°，
∵∠A=45°，
∴DG=ADsin∠A= k，
∵∠ABC=∠DBE，即∠DBG+∠CBD=∠CBH+∠CBD，
∴∠DBG=∠EBH，
∴△DBG∽△EHB，
∴，
∴EH=k，
∵DC∥EH，
∴△DCF∽△EHF，
∴；
如图2，连接DG，作EH⊥BC于点H，
∵ ，
设DC=k，CB=3k，
由△ABC是等腰直角三角形，则BC=AC=3k，AD=4k，
∵BD为直径，
∴∠DGB=∠DGA=90°，
∵∠A=45°，
∴DG= k，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠DBG=∠EBH，
∴△DBG∽△EHB，
∴，
∴EH=2k，
∵DC∥EH，
∴△DCF∽△EHF，
∴；
综上 的值为1或2.
如图，当点A在BC上方时，方法和结论都一样.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
18．【答案】（1）120；18；0
（2）解：如图：
当n=3时，
∵∠CAB= 60°，
∴∠OAD=30°，
∴
∴．
当n=6时，
∵，
∴∠OAD=60°.
∴.
∴.
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆.
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
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