中小学教育资源及组卷应用平台
12.3.2 角的平分线的判定（第二课时）分层作业
基础训练
1．（22-23八年级下·山西运城·期中）到三角形各边距离相等的点是三角形的（ ）
A．三条边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三个内角平分线的交点 D．三条高的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的判定定理，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三条边距离相等的点是三个内角平分线的交点．
故选：C．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理得到是的平分线，再计算即可．
【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同，
点到射线、的距离相等，
射线是的平分线，
，
，
，
故选：C．
3．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，由此判断即可．
【详解】解：到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，选项C满足条件．
故选：C．
4．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，平分，垂足分别为C，D，连接，则下列关系不一定成立的是（ ）
A． B． C．垂直平分 D．平分
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，证明是关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，垂直平分，但不一定垂直平分；
故选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
5．（23-24八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点，
∵平分，，，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
6．（21-22八年级下·陕西西安·期末）如图，点是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点D作，，根据已知由面积比可求出，由此判定平分，即可得出．
【详解】解：如图，过点D作，，
∵与的面积比是，，，
∴
又∵，，
∴，
∴平分，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线性质和判定，根据面积比求边长比从而得出是解题关键．
7．（22-23九年级下·山东临沂·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
【答案】B
【分析】先根据点P到三边的距离得到、是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：点P到三边的距离，
、是、的角平分线，
，，
，
,
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．
8．（21-22六年级下·山东泰安·阶段练习）点在内部，则四个等式：①；②；③；④，其中能表示是角平分线的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的判定方法逐项判断即可．
【详解】∵，，
∴，
∴平分，
故①满足要求；
无法通过得到，
故②不满足要求
∵，，
∴，
∴平分，
故③满足要求；
∵，，
∴，
∴平分，
故④满足要求；
则满足要求的式子有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，熟记角平分线的判定是解答本题的基础．
9．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．
【详解】如图，过点D作于点F．
∴在和中，
∴，
∴，
∴AD为的角平分线，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．
10．（23-24八年级上·福建泉州·开学考试）如图，于点，于点，且，若，则 度．
【答案】
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据可得答案．
【详解】解：于点，于点，且，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
11．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，是的高，且，，则的度数为 ．
【答案】44°/44度
【分析】根据，由到角两边的距离相等的点在角平分线上可得是的角平分线，即可求解.
【详解】解：点的坐标是，
，
是的高，且，
是的角平分线，
，
而，
．
的度数为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，同时也利用了角平分线的判定定理，题目比较简单．
12．（22-23八年级上·北京·期中）如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线、的距离分别是，则称有序实数对是点M的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：①“距离坐标”是的点只有点O；②“距离坐标”是的点只有1个；③“距离坐标”是的点共有4个；正确的有 （填序号）．
【答案】①③/③①
【分析】
根据“距离坐标”的定义，以及点到直线的距离，角平分线的判定，即可求解．
【详解】
解： ①“距离坐标”是的点只有点O，故①正确；
②“距离坐标”是表示点M在直线上且到的距离等于1，
∴“距离坐标”是的点有2个，故②是错误；
③“距离坐标”是表示点M到直线和的距离均等于2，
∴点M在两直线和形成的夹角的平分线上，
∴“距离坐标”是的点共有4个，故③正确．
正确的有：①③．
故答案为：①③．
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离，角平分线的判定，理解“距离坐标”的定义是解题的关键．
13．（20-21八年级上·北京通州·期末）数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；
（2）再用直尺的一边贴在∠AOB 的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；
（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．
请回答：小明的画图依据是 ．
【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】根据角平分线的判定定理即可得出答案．
【详解】∵作图时使用同一把尺子，尺子的宽度是一致的，
∴点D到OA和OB的距离是一样的，
∴射线OD是∠AOB的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题关键．
14．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
（1）若，则 ；
（2）已知，，则的长是 ．
【答案】 6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．
（1）先证明得到平分，由三角形内角和定理计算出，即可得到答案；
（2）先计算出，证明得到，最后由即可得到答案．
【详解】解：（1），，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：6．
15．（2023·吉林松原·模拟预测）如图①是一个平分角的仪器，其中，．如图②，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请给出判断并说明理由．
【答案】是的平分线，见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．证明，根据全等三角形的性质即可判断．
【详解】解：是的平分线，
理由如下：
在和中，
，
，
，
平分．
16．（22-23八年级上·重庆潼南·期中）已知：如图，是的角平分线．
(1)请利用直尺和圆规作的平分线，与线段交于点，连接（不写作法，但必须保留作图痕迹）
(2)求证：．（利用已知条件和（1）的作图，完成下面的推理）证明：过点分别作垂足分别为点．
是角平分线上的一点．
又
（____________）．
同理，，
（ ）．
又，（____________），
在（____________）的平分线上，
．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤用直尺和圆规画图即可；
（2）过点分别作垂足分别为点，，，根据角平分线的性质得到，，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断在的平分线上，从而得到结论．
【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点，连接，
如图，为所作；
（2）证明：过点分别作垂足分别为点，
是角平分线上的一点．
又
，
同理，，
．
又，
在的平分线上，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
17．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）我们学习过利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点B，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边只有一个交点F，且，则，就把三等分了．求证：．
图1 图2
【答案】证明详见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明得到，再由角平分线的判定定理得到，由此可证明．
【详解】证明：如图所示，连接
，
，
，，
，
，
，，，
，
．
18．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点E， 连接．
(1)求证：是的平分线；
(2)若的周长为22，面积为，求点P到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定．
（1）过点作于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，，可得，进而根据角平分线的判定定理即可证明平分；
（2）根据题意得，即，由（1）得，进而可知，由的周长为22，即可求解．
掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：过点作于，作于，作于，
则，，分别是到，，的距离，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴平分；
（2）解：∵的周长为22，
∴，
∵面积为，
∴，
∴，
由（1）得，
∴
∴，
∴．
能力提升
1．（23-24八年级上·广西防城港·期中）如图，在和中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】利用定理证出，根据全等三角形的性质即可判断①③正确；先根据三角形的内角和定理可得，再根据对顶角相等即可判断②正确；过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理可得平分，从而可得，然后假设平分，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断④错误．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，，则结论①③正确；
如图，设与交于点，
，，
，即，
由对顶角相等得：，则结论②正确；
如图，过点作于点，作于点，
在和中，
，
，
，
平分，
，
假设平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
，这与矛盾，则假设不成立，结论④错误；
综上，正确的结论是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形的内角和定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
2．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论：
①平分；
②；
③；
④．
其中结论正确的是（填写结论的编号）（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．
【详解】解：①作于点，
平分，，，
平分，，
，
，
点在的角平分线上，
平分，①结论正确；
②平分，平分，
，，
，，
，
，
，
，②结论正确；
③，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
同理可证，，
，，
，故③结论正确；
④，
，，
，故④结论不正确；
综上所述，正确的结论是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目( )
知识回顾 知识延伸
已知点为与的角平分线交点，通过证明，可得点在的角平分线上． 已知点为两外角角平分线的交点，若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点于点于点，根据角平分线的性质定理证得，从而判定平分，再根据的度数求出的度数，再根据四边形的内角和定理求出的度数即可解决．
【详解】解：过点作于点于点于点，
∵点为两外角角平分线的交点，
∴，
∴平分，
∵于点于点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∵于点于点，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用．
4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，连接，且平分，若四边形的面积为24，，则线段的长为 ．
【答案】6
【分析】过点E作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明平分，可得，然后证明，得的面积的面积，同理可证：，得的面积的面积，所以的面积四边形的面积，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点E作于F，
，DE平分，
，
是的中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
的面积的面积，
同理可证：，
的面积的面积，
的面积四边形ABCD的面积，
，
，
，
线段的长为
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质与判定，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．
5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的判定与性质可知，最后利用三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
6．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示）
【答案】
【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解．
【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，
∴，
∴AE也是∠BAC外角的平分线，
∴∠EBA=，∠BAE=，
∴∠EBA+∠BAE==，
∴∠AEB==．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键．
7．（21-22八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接．
【问题感知】
(1)填空： （填“”，“”或“”）；
【探究发现】
(2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
(3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
(4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)或
【分析】（1）由角平分线的性质定理可得；
（2）作于点可证明，再证明得到；
（3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得．
（4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积．
【详解】（1）∵平分，，分别是，的高
∴．
故答案为：．
（2）证明：如图1，作于点，
在和中
，
∴（），
∴．
又由（1）知，
∴，
在和中
，
∴（），
∴．
（3）成立，
证明：如图2，
∵，
∴，
延长交的延长线于点，
∴，
∴，
在和中
，
∴（）
∴，．
∵，
∴，
又∵，，
∴平分，
∴．
（4）当时，如图3，在线段上取点，使得．
∵，
∴点是点关于的对称点，
∴，
∴，
可得，
∴，，
∴，
∴．
当时，如图4，
在线段上取点，使得，
同理可得，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论．
9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图,直线交轴于点,交轴于点,且满足 .
(1)如图1,若点的坐标为，过点A作于点,交于点,求点的坐标;
(2)在（1）的条件下，连接,求的度数;
(3)如图2,若点为的中点,点为轴正半轴上一动点,连接,过作交轴于点,当点在运动过程中,式子的值是否发生变化 若不变,求出该式子的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值和完全平方的非负性，先求出a、b，再证明，即可得到；
（2）过O分别作于M点，作于N点，先利用证明，则有，即可求解；
（3）连接，根据D为的中点，由等腰直角三角形的性质可知，再利用证明，则有，进而可知即可求解．
【详解】（1）解：把
整理得：
解得
，即
在与中，
则；
（2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图
在四边形中，
在与中，
平分
（3）解：的值不发生改变，等于5，理由如下：
连接，如图所示：
，D为的中点，
，即
，
在与中，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性，等积变换等知识，解决本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法以及能正确作出辅助线．
10.（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，点为正半轴上一动点，过点作交轴于点．
(1)如图①，若，求点的坐标；
(2)如图②，若点在轴正半轴上一动点，且，其它条件不变，连接，求证：平分．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案；
（2）过点作于点，过点作于点，根据全等三角形的性质可得，，易得，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质、角平分线判定定理等知识，证明是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
12.3.2 角的平分线的判定（第二课时）分层作业
基础训练
1．（22-23八年级下·山西运城·期中）到三角形各边距离相等的点是三角形的（ ）
A．三条边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三个内角平分线的交点 D．三条高的交点
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，平分，垂足分别为C，D，连接，则下列关系不一定成立的是（ ）
A． B． C．垂直平分 D．平分
5．（23-24八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（21-22八年级下·陕西西安·期末）如图，点是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23九年级下·山东临沂·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ）
A．65° B．80° C．100° D．70°
8．（21-22六年级下·山东泰安·阶段练习）点在内部，则四个等式：①；②；③；④，其中能表示是角平分线的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（23-24八年级上·福建泉州·开学考试）如图，于点，于点，且，若，则 度．
11．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，是的高，且，，则的度数为 ．
12．（22-23八年级上·北京·期中）如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线、的距离分别是，则称有序实数对是点M的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：①“距离坐标”是的点只有点O；②“距离坐标”是的点只有1个；③“距离坐标”是的点共有4个；正确的有 （填序号）．
13．（20-21八年级上·北京通州·期末）数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；
（2）再用直尺的一边贴在∠AOB 的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；
（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．
请回答：小明的画图依据是 ．
14．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
（1）若，则 ；
（2）已知，，则的长是 ．
15．（2023·吉林松原·模拟预测）如图①是一个平分角的仪器，其中，．如图②，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请给出判断并说明理由．
16．（22-23八年级上·重庆潼南·期中）已知：如图，是的角平分线．
(1)请利用直尺和圆规作的平分线，与线段交于点，连接（不写作法，但必须保留作图痕迹）
(2)求证：．（利用已知条件和（1）的作图，完成下面的推理）证明：过点分别作垂足分别为点．
是角平分线上的一点．
又
（____________）．
同理，，
（ ）．
又，（____________），
在（____________）的平分线上，
．
17．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）我们学习过利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点B，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边只有一个交点F，且，则，就把三等分了．求证：．
图1 图2
18．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点E， 连接．
(1)求证：是的平分线；
(2)若的周长为22，面积为，求点P到的距离．
能力提升
1．（23-24八年级上·广西防城港·期中）如图，在和中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
2．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论：
①平分；
②；
③；
④．
其中结论正确的是（填写结论的编号）（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目( )
知识回顾 知识延伸
已知点为与的角平分线交点，通过证明，可得点在的角平分线上． 已知点为两外角角平分线的交点，若，则 ( )
A． B． C． D．
4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，连接，且平分，若四边形的面积为24，，则线段的长为 ．
5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为
6．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示）
7．（21-22八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接．
【问题感知】
(1)填空： （填“”，“”或“”）；
【探究发现】
(2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
(3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
(4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积．
9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图,直线交轴于点,交轴于点,且满足 .
(1)如图1,若点的坐标为，过点A作于点,交于点,求点的坐标;
(2)在（1）的条件下，连接,求的度数;
(3)如图2,若点为的中点,点为轴正半轴上一动点,连接,过作交轴于点,当点在运动过程中,式子的值是否发生变化 若不变,求出该式子的值.
10.（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，点为正半轴上一动点，过点作交轴于点．
(1)如图①，若，求点的坐标；
(2)如图②，若点在轴正半轴上一动点，且，其它条件不变，连接，求证：平分．
