中小学教育资源及组卷应用平台
12.3.1 角的平分线的性质 分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
2．（21-22八年级下·广东揭阳·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，，，则的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，过点作于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．
9．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在轴上分别截取，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．若的坐标为，则 ．
10．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的面积是15，分别平分和于D，且，则的周长是 ．
11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
12．（23-24八年级上·全国·课堂例题）有一块直角三角形纸板，如图所示，，，，，小亮通过作三角形两个内角的平分线找到一点，则点到直角三角形纸板三边的距离之和是 ．
13．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，是直角三角形，于点D，是的角平分线，过点D作交于点G，求证：．
请补全下面的证明过程．
证明：∵（已知）
∴（______）
∴（直角三角形两锐角互余）
∵（已知）
∴∠______（直角三角形两锐角互余）
∵是的角平分线（已知）
∴（______）
∴（______）
∵（______）
∴∠______（等量代换）
∵（已知）
∴（______）
∴（______）
14．（22-23八年级上·河南洛阳·期中）如图，点在上，，，．求证：平分．
15．（20-21七年级下·云南昆明·期末）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．
(1)求证：BE＝CD；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
16．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使点P到边，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
18．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点．
(1)若，，求的面积；
(2)求证：
19．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，四边形中，，平分，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
能力提升
1．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
2．（2023·河南开封·二模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ．
5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，点为左侧一点，连接，，若，，，则的面积为 ．
6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，分别平分和，过点且与垂直，交于点，交于点，已知点到的距离为，则 ．
7．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ．
8．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．
9．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：
如图，在中，，，．
(1)利用上面公式求的面积；
(2)如图2，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离．
10．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分．
(1)如图1，若，E是的中点，求证：平分；
(2)如图2，若平分，求证：E是的中点；
(3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．
11．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，是的平分线，于在上，且．
(1)求证：；
(2)若，请用表示的值．中小学教育资源及组卷应用平台
12.3.1 角的平分线的性质 分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图：
，，，
在的角平分线上，
故选B．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
2．（21-22八年级下·广东揭阳·期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．
【详解】解：连接PQ，
当PQ⊥OM时，
∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON，
∴PQ=PA，
此时点P到OM的距离PQ最小，
∴PA≤PQ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键．
3．（2019八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，，，则的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】此题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，再根据即可求出的长．
【详解】解：∵是的角平分线，于点E，于点F，
∴，
∵
∴
解得，
故选：D．
4．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
故选：D．
5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过分别作于，于，由平分线的性质证得，由三角形的面积公式求出，再由三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：过分别作于，于，
是的平分线，
，
，的面积为，
，
的面积，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得是解决问题的关键．
6．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，过点作于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质可对A选项进行判断；由于只有当，，则可对B选项进行判断；直接根据角平分线的定义可对D选项进行判断；然后根据等角的余角相等可对C选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
【详解】解：由作法得平分，
，，
，所以A选项不符合题意；
只有当为等腰直角三角形时，，则有，所以B选项符合题意；
平分，
，所以D选项不符合题意；
，
即，所以C选项不符合题意．
故选：B．
7．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
是的角平分线，，
故选：C．
8．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质；过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作于点E，
∵平分于点D，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在轴上分别截取，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．若的坐标为，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．根据作图方法可知点在的角平分线上，由角平分线的性质可知点到轴和轴的距离相等，结合点在第一象限，可得关于的方程，求解即可．
【详解】解：∵，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点，
∴点在的角平分线上，
∴点到轴和轴的距离相等，
又∵点在第一象限，点的坐标为，
∴，
∴．
故答案为：．
10．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的面积是15，分别平分和于D，且，则的周长是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握利用角分线的性质求三角形的面积是解题的关键．连接，将分割成3个三角形．过点O作于点E，于点F，根据点O为的内心，即可得出．根据三角形的面积公式列式即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F，
分别平分和，
点O为的内心，
．
，
，
，
，
的周长是10，
故答案为：10．
11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
12．（23-24八年级上·全国·课堂例题）有一块直角三角形纸板，如图所示，，，，，小亮通过作三角形两个内角的平分线找到一点，则点到直角三角形纸板三边的距离之和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】如图所示，连接，，，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴，
，，，，
，
则．
故答案为：．
13．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，是直角三角形，于点D，是的角平分线，过点D作交于点G，求证：．
请补全下面的证明过程．
证明：∵（已知）
∴（______）
∴（直角三角形两锐角互余）
∵（已知）
∴∠______（直角三角形两锐角互余）
∵是的角平分线（已知）
∴（______）
∴（______）
∵（______）
∴∠______（等量代换）
∵（已知）
∴（______）
∴（______）
【答案】垂直的定义；；角平分线的定义；等角的余角相等；对顶角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【分析】根据直角三角形两锐角互余和角平分线的定义可得，再根据平行即可证明．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）
∴（直角三角形两锐角互余）
∵（已知）
∴（直角三角形两锐角互余）
∵是的角平分线（已知）
∴（角平分线的定义）
∴（等角的余角相等）
∵（对顶角相等）
∴（等量代换）
∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，对顶角相等，角的平分线的意义，两直线平行，同位角相等，等量代换，余角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（22-23八年级上·河南洛阳·期中）如图，点在上，，，．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
15．（20-21七年级下·云南昆明·期末）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．
(1)求证：BE＝CD；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点O在∠BAC的平分线上，理由见解析
【分析】（1）由三角形的高得，由对顶角得，结合，可证得，从而得到，，则有，即；
（2）连接，由三角形的高可得，结合（1）中的，公共角，可证得，从而得，易证得，有，从而得证．
【详解】（1）证明：、是的高，且相交于点，
，
在和中，，
(AAS)，
，，
，
即；
（2）解：点在的平分线上，理由如下：
连接，如图所示：
、是的高，且相交于点，
，
由（1）得，
在和中，，
(AAS)，
，
由（1）得，
在和中，，
(SAS)，
，
点在的平分线上．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形分析清楚题中的条件与图中的条件，特别是图中的公共角与公共边．
16．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使点P到边，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线．作的角平分线交于点P，即可．
【详解】解：如图，点P即为所求．
17．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证；
（2）通过证明即可．
【详解】（1）作，垂足为点
平分，，（已知）
（在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等）
平分，，（已知）
（在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等）
（等量代换）
（2），（已知）
，（垂直的意义）
在和中，
（全等三角形对应角相等）
18．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点．
(1)若，，求的面积；
(2)求证：．
【答案】(1)的面积为6
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）如图作于N根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题；
（2）由推出，由，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过点D作于点N，
平分，，，
，
；
（2），
．
19．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，四边形中，，平分，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等．
（1）过点C作于点E，根据角的性质得出，进而求证，得出，即可求证；
（2）通过证明，得出，设，列出方程，求出x的值，即可求解．
【详解】（1）证明：过点C作于点E，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴．
能力提升
1．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】D
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
2．（2023·河南开封·二模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．首先根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积求解即可．
【详解】
作于H，由基本尺规作图可知，是的角平分线．
∵，，
∴，
∴
∴
∴．
故选C．
3．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；作OG⊥AC于G，求得OG=OD=1，根据三角形的面积的计算可证得②正确；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，根据三角形的面积可证得④错误．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C，①错误；
作OG⊥AB于G，
∵BO是∠ABC的平分线，OG⊥AC，OD⊥BC，OD=1，
∴OG= OD=1，
∵AB=4，
∴S△ABO=AB×OG=×4×1=2，②正确；
在AB上取一点H，使BH=BE，
∵∠C=60°，
由①知∠AOB=90°+∠C，
∴∠AOB=90°+30°=120°，
∴∠BOE=∠AOF=60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠HAO=∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD=a，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OG=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b，
∴S△ABC=×AB×OG+×AC×OM+×BC×OD=（AB+AC+BC） a=ab，④错误．
综上，②③正确，共2个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于．
由作图可知，平分，
，，
，
根据垂线段最短可知，的最小值为2，
故答案为：2
5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，点为左侧一点，连接，，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线性质．利用，推出是的平分线，根据角平分线性质得到高线，依据面积公式求出面积即可．
【详解】解：如图，作交的延长线于点，
，，
，
是的平分线，
又，，
，
．
故答案为：．
6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，分别平分和，过点且与垂直，交于点，交于点，已知点到的距离为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质．先过点作，然后根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，证明，同理再证明，最后根据，求出答案即可．
【详解】解：如图所示：过点作于点，
点到的距离为，
，
，
，
∵，
，
，
，
平分，，，
，
平分，，，
，
，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ．
【答案】/18度
【分析】
本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长，，过点作，，，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：分别延长，，过点作，，，
，，
，
，
，，
又平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
8．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断．
【详解】解：∵在与中，，，
∴故①正确；
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴故②正确；
如图，连接，过点D作，过点D作，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
9．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：
如图，在中，，，．
(1)利用上面公式求的面积；
(2)如图2，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，角平分线的性质，也考查了阅读能力，解题的关键是读懂材料、学以致用，熟记三角形的面积公式和角平分线的性质．
（1）利用阅读材料，先计算出，然后根据“海伦——秦九韶公式”计算面积即可；
（2）连接，过点分别作，，，由角平分线的性质得到，从而得到，结合（1）中的面积，列方程求出即可解答．
【详解】（1），，，
，
的面积为：；
（2）如下图，连接，过点分别作，，，
的两条角平分线，交于点，
，
的面积为：
由（1）知，
，
解得：，
，
即点到边的距离为．
10．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分．
(1)如图1，若，E是的中点，求证：平分；
(2)如图2，若平分，求证：E是的中点；
(3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)60
【分析】（1）如图1中，过点E作，垂足为F，证明，可得结论；
（2）如图2，延长相交于点F，证明，推出，证明，可得结论；
（3）证明，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点E作，垂足为F，
，
，
，
，
，，
平分，，，
，
，，
平分；
（2）如图2，延长相交于点F，
平分，平分，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
是的中点；
（3）由（2）得，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
11．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，是的平分线，于在上，且．
(1)求证：；
(2)若，请用表示的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，邻补角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
（1）根据角平分线的性质即可证明；
（2）先证明，证明，再证明，结合全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的平分线，，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
