湘教版数学八年级上册第5章 二次根式 综合素质评价（含答案）

第5章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[母题教材P155例1]若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A. x≤2 B. x＞2 C. x≥2 D. x＜2
2．化简的结果是(　　)
A.2 B.3 C.2 D.2
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
4．[2023·青岛]下列计算正确的是(　　)
A.＋＝ B.2－＝2 C.×＝ D.÷3＝2
5．关于的叙述正确的是(　　)
A.在数轴上不存在表示的点 B.＝＋
C.＝±2 D.与最接近的整数是3
6．[母题教材P160习题T10] 若是整数，则正整数n的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7．已知x＜2，化简的结果是(　　)
A. x－5 B. x＋5 C.－x－5 D.5－x
8．计算÷的结果是(　　)
A.10 B.14 C.16 D.20
9．[母题教材P172习题T6] 已知a＝3＋2，b＝3－2，则a2b－ab2的值为(　　)
A.1 B.17 C.4 D.－4
10．如图，正方形ABCD中，点E，F在AB上，点E是AF的中点，以BF为一边在正方形ABCD内作正方形BFGH，分别以BE，AE的长为长和宽在正方形ABCD内作长方形BEMN，已知正方形ABCD的面积为70，正方形BFGH的面积为40，则长方形BEMN的面积为(　　)
A.5 B.7.5 C.10 D.12.5
二、填空题(每题3分，共24分)
11．[2024·北京四中月考]计算：＝　　　　.
12．比较大小：2　　　　3(填“＞”“＜”或“＝”).
13．在实数范围内分解因式：3a2－18＝　　　　.
14．[新趋势学科内综合]不等式x＋3＞(x－1)的解集是　　　　.
15．[新考法数形结合法]在△ABC中，a，b，c为三角形的三边长，化简 －2｜c－a－b｜＝　　　　.
16．[母题教材P175复习题T11]若3－的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2＋a)·b的值是　　　　　.
17．[2024·武汉光谷外国语学校月考]若a＜b，化简二次根式 的结果是　　　　.
18．[新考向数学文化]《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边长a，b，c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S＝.现有周长为18的三角形的三边长满足a∶b∶c＝4∶3∶2，则用上面给出的公式求得这个三角形的面积为　　　　　.
三、解答题(19题16分，其余每题10分，共66分)
19．[母题教材P174复习题T5] 计算：
(1)3－2＋； (2)×；
(3)×(－)－＋｜－23｜； (4)(＋3)(－3)－(－1)2.
20．已知和是相等的最简二次根式.
(1)求a，b的值；
(2)求的值.
21．[2024·怀化二中模拟]一个长方体的长减少2，宽不变，高增加，就得到一个与原长方体体积相同的正方体，求原长方体的表面积.
22．[新考法归纳法]观察下列各式：
第1个等式：＝；第2个等式：＝；
第3个等式：＝；第4个等式：＝；…
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)若＝，则a＝　　　　，b＝　　　　；
(2)的值为　　　　；
(3)请写出第n个等式(n是正整数，用含n的式子表示)，并证明等式成立.
23．[新趋势学科综合]高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t＝(不考虑阻力的影响).
(1)求物体从40 m的高空落到地面的时间.
(2)小明说物体从80 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)＝10×物体质量(单位：kg)×高度(单位：m)，某质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？(注：伤害无防护人体只需要65 J的能量)
24．[2024·北师大附属实验中学开学考试]观察、思考、解答：
(－1)2＝()2－2×1×＋12＝2－2＋1＝3－2，反之，3－2＝2－2＋1＝(－1)2，即3－2＝(－1)2.所以＝－1.
(1)仿照上面的方法化简＝　　　　；
(2)已知x＝，求·的值.
答案
一、1. B　2. A　3. A　4. C　5. D
6. B 【点拨】因为是整数，＝5，所以为整数，则正整数n的最小值是3，故选B.
7. D 【点拨】因为x＜2，所以＝＝－(x－5)＝5－x，故选D.
8. B 【点拨】原式＝2－6＋3＝2－6×＋3＝4－2＋12＝14，故选B.
9. C
10. B 【点拨】∵正方形ABCD的面积为70，正方形BFGH的面积为40，
∴AB2＝70，BF2＝40，解得AB＝，BF＝2.∴AF＝AB－BF＝－2.
∵点E是AF的中点，∴AE＝EF＝－.
∴EM＝AE＝－，BE＝BF＋EF＝＋.
∴S长方形BEMN＝BE·EM＝×＝17.5－10＝7.5.
故选B.
二、11.3　12.＜　13.3(a＋)(a－)
14. x＜4＋8
15.－a－3b＋3c 【点拨】∵a，b，c为三角形的三边长，∴a＋c＞b，a＋b＞c，
即a－b＋c＞0，c－a－b＜0.
∴－2｜c－a－b｜＝(a－b＋c)＋2(c－a－b)＝a－b＋c＋2c－2a－2b＝－a－3b＋3c.
16.2 【点拨】∵1＜＜2，∴1＜3－＜2.∵3－的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，b＝3－－1＝2－.∴(2＋a)·b＝(2＋)×(2－)＝4－2＝2.
17. 【点拨】∵a＜b，有意义，
∴a＜0，a－b＜0.∴＝×＝.
18.3 【点拨】∵周长为18的三角形的三边长满足a∶b∶c＝4∶3∶2，∴设a＝4k，则b＝3k，c＝2k.∴4k＋3k＋2k＝18，解得k＝2.∴a＝8，b＝6，c＝4.
∴S＝
＝
＝
＝
＝3.
三、19.【解】(1)原式＝6－8＋3＝.
(2)原式＝＋＝1＋9＝10.
(3)原式＝－5－7＋｜－8｜＝－5－7＋8＝－5＋1.
(4)原式＝5－9－(3－2＋1)＝－4－4＋2＝－8＋2.
20.【解】(1)∵和是相等的最简二次根式，
∴解得∴a的值是0，b的值是2.
(2)＝＝2.
21.【解】设原长方体的宽为x，则原长方体的长为(x＋2)，原长方体的高为(x－).
由题意得x(x＋2)(x－)＝x3，
解得x＝2或x＝0(舍去)，
∴原长方体的长为4，原长方体的宽为2，原长方体的高为，
∴原长方体的表面积为2×(4×2＋4×＋2×)＝84.
22.(1)15；64 【点拨】由题意可得＝＝，
∴a＝15，b＝64.
(2) 【点拨】由题意可得＝＝.
(3)【解】由题意可得，第n个等式为＝，
证明：左边＝＝＝＝＝右边，
∴＝.
23.【解】(1)当h＝40 m时，t＝＝＝＝2(s).则物体从40 m高空落到地面的时间为2 s.
(2)不正确，理由如下：
当h＝80 m时，t＝＝＝4(s).
∵4≠2×2，∴他的说法不正确.
(3)当t＝6 s时，6＝，解得h＝180 m.
则鸡蛋产生的能量为10×0.05×180＝90(J).
启示：严禁高空抛物(说法合理即可).
24.【解】(1)＋1 【点拨】＝＝＝＋1.
(2)∵x＝＝＝＝－.
∴原式＝(＋)·＝＋＝＝＝＝＝＝＋.