湘教版数学八年级上册第2章 三角形 综合素质评价（含答案）

第2章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2023·衡阳母题·教材P44练习T2]下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(　　)
A.1 cm，2 cm，3 cm B.3 cm，8 cm，5 cm
C.4 cm，5 cm，10 cm D.4 cm，5 cm，6 cm
2．[2023·宿迁]若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是(　　)
A.70° B.45° C.35° D.50°
3．[2023·青岛]如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为(　　)
(第3题)
A.105° B.108° C.117° D.135°
4．[母题教材P59习题T3] 下列命题是真命题的是(　　)
A.两个锐角之和一定是钝角
B.三角形的任意两边之和大于第三边
C.内错角相等
D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
5．[2024·湖南师范大学附中月考]如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　)
(第5题)
A.15° B.30° C.45° D.60°
6．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是(　　)
A. AB＝3，BC＝4，AC＝7 B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C.∠A＝∠B，AB＝6 D.∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4
7．[2023·盐城]小华将一副三角板(∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°)按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为(　　)
(第7题)
A.45° B.60° C.75° D.105°
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是AB边上的高，若AB＝4，S△ABD＝6，则CE的长是(　　)
(第8题)
A.3 B.4 C.6 D.8
9．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在A'处，则∠1＋∠2与∠A的关系是(　　)
(第9题)
A.∠1＋∠2＝∠A B.∠1＋∠2＝2∠A
C.2(∠1＋∠2)＝3∠A D.∠1＋∠2＝
10．如图，D是△ABC的边BC上一点，DE交AB于点F，连接AE，AD，已知AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝∠BDE，下列结论不一定正确的是(　　)
(第10题)
A. AB＝AE B.∠B＝∠E C.∠B＝∠DAF D. DE＝BC
二、填空题(每题3分，共24分)
11．[情境题生活应用] 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是　　　　.
(第11题)
12．[2023·遂宁]若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是　　　　三角形.
13．[母题教材P86习题T2]如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件：　　　　，使△AOB≌△DOC(只填一个条件即可).
(第13题)
14．[2024·岳阳十八中月考]如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AB＝4，则△ABD的周长为　　　　.
(第14题)
15．命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是　　　　　(填“真”或“假” )命题.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE.若∠B＝55°，∠EDC＝25°，则∠BAD＝　　　　°.
(第16题)
17．[新趋势学科综合]如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝　　　　.
(第17题)
18．[新考法分类讨论法]如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，P是边BC上一动点，过点C作射线CD⊥BC，Q是射线CD上一动点，连接PQ交AC于点E，在点P，Q的运动过程中，当△ABC与△PCQ全等时，∠AEQ的度数为　　　　.
(第18题)
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．[2023·益阳]如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数.
20.如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数.
21．[2023·武汉]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.
(1)求证：∠E＝∠ECD；
(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状.
22．如图，已知点E，C在线段BF上，且BE＝CF，CM∥DF.
(1)作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN＝∠1，交CM的延长线于点A(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：AC＝DF.
23．[2023·泰州新视角·条件选择题]如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且　　　　，　　　　，则　　　　.
给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB＝AE；③BC＝DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明.
24．[新视角新定义型题]过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形.若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫作原三角形的“友好分割线”.
(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是　　　　　(填序号).
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形.
(2)如图①，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数.
(3)如图②，在△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝2，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为点M，N.若射线CD为△ABC的“友好分割线”，求CM＋DN的最大值(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半).
答案
一、1. D　2. C　3. B
4. B 【点拨】逐一分析.两个锐角之和不一定是钝角，例如30°＋30°＝60°，故A不是真命题，不符合题意；三角形的任意两边之和大于第三边，故B是真命题，符合题意；“内错角相等”是假命题，“两直线平行，内错角相等”才是真命题，故C不符合题意；三角形三边中线的交点是三角形的重心，故D不是真命题，不符合题意.
5. A　6. D　7. C　8. C
9. B 【点拨】如图，连接AA'，易知DA＝DA'，EA＝EA'，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∴∠1＝∠DAA'＋∠DA'A＝2∠DAA'，
∠2＝∠EAA'＋∠EA'A＝2∠EAA'.
∴∠1＋∠2＝2(∠DAA'＋∠EAA')＝2∠BAC.
10. C 【点拨】∵∠EAB＝∠CAD，
∴∠EAB＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，即∠EAD＝∠BAC.
∵∠ADB＝∠ADE＋∠EDB＝∠DAC＋∠C，∠EDB＝∠DAC，
∴∠ADE＝∠C.
在△AED和△ABC中，
∴△AED≌△ABC(ASA).
∴AE＝AB，∠E＝∠B，DE＝BC.
故选C.
二、11.三角形具有稳定性　12.直角
13. AB＝CD(答案不唯一)　14.10
15.假 【点拨】命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是“若a＋b＞0，则a＞0，b＞0”，该命题是假命题，可以用特殊值验证，如a＝2，b＝－1.
16.50 【点拨】∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED.
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠ADE＝∠ADC－∠EDC＝∠B＋∠BAD－∠EDC.
又∵∠AED＝∠EDC＋∠C，
∴∠B＋∠BAD－∠EDC＝∠EDC＋∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC.
又∵∠EDC＝25°，
∴∠BAD＝2×25°＝50°.
17.40° 【点拨】依题意，得∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠DEO.∵∠AOB＝120°，∴∠OED＝180°－∠EDO－∠AOB＝40°.
∴∠AEF＝∠DEO＝40°.
18.90°或120° 【点拨】∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠ACB＝30°.
∵CD⊥BC，∴∠PCQ＝90°＝∠B.
∴∠ACD＝60°.
∵∠AEQ是△ECQ的外角，
∴∠AEQ＝∠ACD＋∠PQC.
当△ABC≌△PCQ时，∠PQC＝∠ACB＝30°，
∴∠AEQ＝∠ACD＋∠PQC＝90°；
当△ABC≌△QCP时，∠PQC＝∠A＝60°，
∴∠AEQ＝∠ACD＋∠PQC＝120°.
三、19.【解】∵AB∥CD，∠1＝122°，
∴∠DFE＝∠1＝122°.
∴∠EFG＝180°－∠DFE＝58°.
又∵GE＝GF，
∴∠FEG＝∠EFG＝58°.
∴∠2＝180°－∠FEG－∠EFG＝64°.
20.(1)【证明】∵AB∥DF，
∴∠A＝∠EDF.
∵AD＝CE，
∴AD＋CD＝CE＋CD，即AC＝DE.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(SAS).
(2)【解】∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，
∴∠DOC＝∠BCF＋∠DFC＝54°＋20°＝74°.
又∵AB∥DF，∴∠B＝∠DOC＝74°.
又∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE＝∠B＝74°.
21.(1)【证明】∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.
又∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D.
∴BE∥CD.∴∠E＝∠ECD.
(2)【解】△BCE是等边三角形. 【点拨】∵∠E＝60°，∠E＝∠ECD，
∴∠ECD＝60°.
又∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°.
∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°.
∴△BCE是等边三角形.
22.(1)【解】如图所示.
(2)【证明】∵CM∥DF，
∴∠MCE＝∠F.
∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).∴AC＝DF.
23.【解】②；③；①
证明：根据题意补全图形，如图所示.
连接AC，AD.∵AM垂直平分CD，
∴CM＝DM，AC＝AD.
又∵AM＝AM，∴△ACM≌△ADM(SSS).
∴∠CAM＝∠DAM.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SSS).
∴∠BAC＝∠EAD.
又∵∠CAM＝∠DAM，
∴∠BAC＋∠CAM＝∠EAD＋∠DAM，
即∠BAM＝∠EAM＝∠BAE.
∴AM平分∠BAE.(答案不唯一)
24.【解】(1)② 【点拨】如图①，根据“友好分割线”的定义可知，等腰直角三角形和顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”，等边三角形不存在“友好分割线”.
(2)△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形的顶角的度数为20°或40°或60°或80°或100°.
(3)如图②，作AG⊥l于点G，则∠AGE＝90°.
∵射线CD为△ABC的“友好分割线”，
∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形.
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°.
∴∠ACD＝90°－∠A＝60°.
∴△CDA不是等腰三角形.
∴△CDB是等腰三角形.
∴CD＝BD＝2.
∵∠BAC＝30°，∠ADC＝90°，
∴AC＝2CD＝4.
∵DN⊥l于点N，
∴∠DNE＝90°＝∠AGE.
∵点E为AD的中点，∴DE＝AE.
在△DNE和△AGE中，
∴△DNE≌△AGE(AAS).
∴DN＝AG.
易知CM≤CF，AG≤AF，
∴CM＋AG≤CF＋AF，即CM＋AG≤AC.
∴CM＋DN≤4.
∴CM＋DN的最大值为4.