第3章 实数 综合素质评价（含答案）初中数学湘教版八年级上册

第3章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2023·淮安母题·教材P121习题T1] 下列实数中，属于无理数的是(　　)
A.－2 B.0 C. D.5
2．[母题教材P118练习T2]实数－的绝对值是(　　)
A.－ B. C.－ D.
3．[2023·益阳]四个实数－，0，1，中，最大的数是(　　)
A.－ B.0 C.1 D.
4．[2023·淮安]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(　　)
A. a＜－2 B. b＜2 C. a＞b D.－a＜b
5．[2023·台州]下列无理数中，大小在3与4之间的是(　　)
A. B.2 C. D.
6．已知＋｜b－4｜＝0，则的平方根是(　　)
A. B.± C.± D.
7．[2024·岳阳三中月考]下列说法正确的是(　　)
A.5是25的算术平方根 B.的平方根是±6
C.(－6)2的算术平方根是±6 D.25的立方根是±5
8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简｜a｜－｜a＋b｜的结果为(　　)
(第8题)
A.2a＋b B.－2a＋b C. b D.2a－b
9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为64时，输出y的值是(　　)
(第9题)
A.4 B. C. D.
10．[2023·娄底新视角·新定义型题]从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，＝(n≥m，n，m为正整数)；例如：＝，＝，则＋＝(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共24分)
11．[新视角结论开放题]写出一个小于4的正无理数：　　　　.
12．[2023·衢州]计算：－1＝　　　　.
13．[母题教材P110例3] 在计算器上按键16－7＝，显示的结果是　　　　.
14．[2024·北师大附中模拟]－4的立方根是　　　　.
15．[情境题世界遗产]埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是－1，它介于整数n和n＋1之间，则n的值是　　　　.
16．[2023·怀化新视角·新定义型题]定义新运算：(a，b)·(c，d)＝ac＋bd，其中a，b，c，d为实数.例如：(1，2)·(3，4)＝1×3＋2×4＝11.如果(2x，3)·(3，－1)＝3，那么x＝　　　　.
17．[新考法数形结合法]如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的实数分别为a，b，则b－a＝　　　　.
18．[新考法归纳法]观察下列等式：第一个等式：＝－；第二个等式：＝－2；第三个等式：＝－3；….根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式(用含n的式子表示，n为正整数)：　　　　.
三、解答题(19，20题每题12分，21，22题每题7分，23题8分，24，25题每题10分，共66分)
19．[母题教材P125复习题T1] 把下列各数填在相应的大括号内：
，－，0，，－，－4，0.71，2.123 122 312 223…(1和3之间的2逐次加1个).
整数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
分数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
无理数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}.
20.计算：
(1)－＋；　　　　　　(2)－12 025＋＋＋｜2－｜.
21．求下列各式中未知数的值：
(1)4x2＝25；　　　　　　　　　　　 (2)(x＋1)3＝－27.
22．已知一个正数m的两个不同的平方根是a＋6与2a－9.
(1)求a的值；
(2)求这个正数m.
23．[新趋势学科综合]座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m).假如一台座钟的摆长为0.2 m.(π取3，g＝9.8 m/s2)
(1)求摆针摆动的周期；
(2)如果该座钟每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，那么在6 min内，该座钟发出了多少次嘀嗒声？
24．[新考法阅读类比法]先阅读(1)的解法，再解答第(2)题.
(1)已知a，b是有理数，并且满足等式2b＋a＝a＋5－2，求a，b的值.
解：∵2b＋a＝a＋5－2，∴2b－a＋a＝5－2，即(2b－a)＋a＝5－2.
∵a，b为有理数，∴2b－a也为有理数.∴ 解得
(2)已知m，n是有理数，且m，n满足等式2n＋(2－n)＝17－m＋6，求( ＋n)100的立方根.
25．[新视角新定义型题]阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于－1，记作i2＝－1，那么这个i就叫作虚数单位.虚数与我们学过的实数合在一起叫作复数.一个复数可以表示为a＋bi(a，b均为实数)的形式，其中a叫作它的实部，b叫作它的虚部.
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式的加、减、乘的运算类似.
例如：(5＋i)＋(3－4i)＝(5＋3)＋(i－4i)＝8－3i；i3＝i2·i＝－1·i＝－i.
根据上述材料，解决下列问题：
(1)填空：i4＝　　　　，i5＝　　　　；
(2)计算：(2＋i)(2－i)；
(3)将化为a＋bi(a，b均为实数)的形式(即化为分母中不含i的形式).
答案
一、1. C　2. B　3. D　4. D　5. C　6. B　7. A
8. C 【点拨】观察数轴，可知a＜－1，b＜1，∴a＋b＜0.∴原式＝－a－[－(a＋b)]＝－a＋a＋b＝b.故选C.
9. B
10. C 【点拨】∵＝，
∴＋＝＋＝126＋126＝252.
A选项，＝＝84；
B选项，＝＝210；
C选项，＝＝252；
D选项，＝＝210.
故选C.
二、11.(答案不唯一)　12.1　13.－3　14.－
15.1 【点拨】∵4＜5＜9，∴＜＜，
即2＜＜3，∴1＜－1＜2.∵－1介于整数n和n＋1之间，∴n＝1.
16.1 【点拨】∵(2x，3)·(3，－1)＝3，
∴6x－3＝3，解得x＝1.
17.3－ 【点拨】∵正方形OABC的面积为7，正方形ODEF的面积为9，
∴OA＝，OD＝＝3，即a＝，b＝3.
∴b－a＝3－.
18.＝－n 【点拨】∵第一个等式为＝－，即＝－；
第二个等式为＝－2，即＝－2；
第三个等式为＝－3，即＝－3；
…
∴第n个等式为＝－n.
三、19.【解】整数：{，0，－4，…}；
分数：；
无理数：.
20.【解】(1)原式＝－4＋＝－4＋＝－3.
(2)原式＝－1＋5－2＋－2＝.
21.【解】(1)因为4x2＝25，所以x2＝.
所以x＝±.
(2)因为(x＋1)3＝－27，
所以x＋1＝－3.所以x＝－4.
22.【解】(1)由题意得a＋6＋2a－9＝0，解得a＝1.
(2)由(1)得a＝1，所以a＋6＝7.所以m＝72＝49.
23.【解】(1)∵T＝2π，
∴当l＝0.2 m时，T＝2×3＝6＝(s).
答：摆针摆动的周期为 s.
(2)6×60÷＝420(次).
答：在6 min内，该座钟发出了420次嘀嗒声.
24.【解】(2)∵2n＋(2－n)＝17－m＋6，
∴m＋2n＋(2－n)＝17＋6.
∵m，n是有理数，∴m＋2n，2－n都是有理数.
∴ 解得
∴(＋n)100＝(－4)100＝(5－4)100＝1.
∴(＋n)100的立方根为1.
25.【解】(1)1；i 【点拨】i4＝i2·i2＝(－1)×(－1)＝1，i5＝i4·i＝i.
(2)(2＋i)(2－i)＝22－i2＝4－(－1)＝5.
(3)＝＝＝＝＝＋i.