八年级数学下册第一章单元测试卷（江西南昌版，学生版）
(满分：120分 考试用时：120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是
A.，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
2．如图，已知CF垂直平分AB于点E，∠ACD＝70°，则∠A的度数是
A．25° B．35° C．40° D．45°
3．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是
A．70° B．45° C．35° D．50°
4．在用反证法证明命题“若a，b是整数，ab能被3整除，则a，b中至少有一个能被3整除”时，应该假设
A．a，b都能被3整除 B．a不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a，b都不能被3整除
5．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则AB的长为
A．4 B．6 C．8 D．8
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 (选填“真”或“假”)命题．
8．一棵大树在一次强台风中从距离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 m.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠A＝32°，则∠BCD＝ .
10．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为 .
11．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形 .
12．在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，1)，点P为坐标轴上一点，若要使△ABP为直角三角形，则点P的坐标为 ．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．
14．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.求证：DE＝BD＋EC.
15．如图，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，点P是OE上一点，PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N.线段PM与PN有什么关系？请说明理由．
16．在正方形网格中，点A，B，C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图①中，作线段AB的垂直平分线；
(2)在图②中，作∠ABC的角平分线．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.
(1)求证：AD⊥BC；(请用一对互逆命题进行证明)
(2)写出所用到的这对互逆命题．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD(不写作法，但需保留作图痕迹)；
(2)在(1)中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．
20．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC.经测得AB＝9 cm，BC＝12 cm，CD＝8 cm，AD＝17 cm.
(1)求A，C两点之间的距离；
(2)求这张纸片的面积．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7 n mile后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.
(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里；
(2)小岛点P方圆3 n mile内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有暗礁的危险？请说明理由．
22．如图，两个全等的等边三角形ABC，DEF的一边重叠地放在直线l上，AC，DE交于点P.
(1)判断△PCE的形状，并说明理由；
(2)写出图中所有的与线段PA相等的线段；
(3)求证：AF＝BD.
六、(本大题共12分)
23．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，求证：DB＝DC.
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＜90°，求证：DB＝DC.
【应用】如图③，四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，求证：AD平分∠BAC.八年级数学下册第一章单元测试（教师版答案版）
(满分：120分 考试用时：120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是B
A.，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
2．如图，已知CF垂直平分AB于点E，∠ACD＝70°，则∠A的度数是B
A．25° B．35° C．40° D．45°
3．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是 C
A．70° B．45° C．35° D．50°
4．在用反证法证明命题“若a，b是整数，ab能被3整除，则a，b中至少有一个能被3整除”时，应该假设D
A．a，b都能被3整除 B．a不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a，b都不能被3整除
5．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是D
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则AB的长为C
A．4 B．6 C．8 D．8
【解析】过点C作CF⊥DE，∠DCE＝120°，∠E＝30°，∠DBC＝30°.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形的两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真(选填“真”或“假”)命题．
8．一棵大树在一次强台风中从距离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为15m.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠A＝32°，则∠BCD＝32°.
10．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为50°.
11．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形△ABD，△BDC，△ABC.
12．在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，1)，点P为坐标轴上一点，若要使△ABP为直角三角形，则点P的坐标为(0，0)，(1，0)或(0，－1)．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．
证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°－30°＝60°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°.
∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.
∴点D在AB的垂直平分线上．
14．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.求证：DE＝BD＋EC.
证明：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°.
∴在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
∴AD＝CE，
∴DE＝AE＋AD＝BD＋EC.
15．如图，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，点P是OE上一点，PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N.线段PM与PN有什么关系？请说明理由．
解：PM＝PN.
理由：易证
△COE≌△DOE(SAS)，
∴∠OEC＝∠OED，
又∵PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N，
∴PM＝PN.
16．在正方形网格中，点A，B，C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图①中，作线段AB的垂直平分线；
(2)在图②中，作∠ABC的角平分线．
解：(1)如图所示，直线CD即为所求．
(2)如图所示，射线BD即为所求．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.
∵∠ADC＝125°，
∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.
∵CD平分∠ACB.
∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.
(1)求证：AD⊥BC；(请用一对互逆命题进行证明)
(2)写出所用到的这对互逆命题．
(1)证明：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠AFE＝90°，
∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，
∵∠AEF＝∠AFE，
又∵∠3＝∠AEF，∴∠3＝∠AFE，∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠BDE＝90°，∴AD⊥BC.
(2)解：互逆命题：直角三角形的两锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD(不写作法，但需保留作图痕迹)；
(2)在(1)中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．
解：(1)如图所示，点D即为所求．
(2)设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中，∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2x，
又∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，故∠A的度数为36°.
20．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC.经测得AB＝9 cm，BC＝12 cm，CD＝8 cm，AD＝17 cm.
(1)求A，C两点之间的距离；
(2)求这张纸片的面积．
解：(1)连接AC，
在Rt△ABC中，AB⊥BC，
AB＝9 cm，BC＝12 cm，
∴AC＝＝＝15.
即A，C两点之间的距离为15 cm.
(2)∵CD2＋AC2＝82＋152＝172＝AD2，∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积为S△ABC＋S△ACD＝114(cm2)．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7 n mile后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.
(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里；
(2)小岛点P方圆3 n mile内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有暗礁的危险？请说明理由．
(1)解：过点P作PD⊥AB于点D，
∵∠PBD＝90°－60°＝30°，
且∠PBD＝∠PAB＋∠APB，
∠PAB＝90°－75°＝15°，
∴∠APB＝30°－15°＝15°，
∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝7 n mile.
(2)解：没有．
理由：由(1)知PB＝7 n mile，
在Rt△PBD中，∵∠PBD＝30°，
∴PD＝PB＝3.5 n mile>3 n mile，
∴轮船继续向东航行，没有触礁的危险．
22．如图，两个全等的等边三角形ABC，DEF的一边重叠地放在直线l上，AC，DE交于点P.
(1)判断△PCE的形状，并说明理由；
(2)写出图中所有的与线段PA相等的线段；
(3)求证：AF＝BD.
(1)解：△PCE是等边三角形，
理由：∵△ABC，△DEF是全等的等边三角形，∴∠DEC＝∠ACE＝60°，
∴∠EPC＝180°－∠DEC－∠ACE
＝180°－60°－60°＝60°，
∴△PCE是等边三角形．
(2)解：PA＝PD＝CF＝BE.
(3)证明：∵△ACB和△DEF是全等的等边三角形，
∴AC＝DE，∠ACF＝∠DEB＝120°，FC＝BE，
∴△AFC≌△DBE，∴AF＝BD.
六、(本大题共12分)
23．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，求证：DB＝DC.
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＜90°，求证：DB＝DC.
【应用】如图③，四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，求证：AD平分∠BAC.
证明：【感知】∵∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°，∴DC⊥AC，DB⊥AB，
∵AD平分∠BAC，∴DB＝DC.
【探究】如图②，过点D作DN⊥AC于点N，
DM⊥AB于点M，则∠DNC＝∠DMB＝90°，
∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠NCD＋∠ACD＝180°，
∴∠B＝∠NCD，
∴△DNC≌△DMB(AAS)，
∴DC＝DB.
【应用】如图③，过点D作DQ⊥AC于点Q，DP⊥AB于点P，
∵∠ABD＋∠ACD＝180°，
∠QCD＋∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠QCD，
∵∠DQC＝∠DPB＝90°，DC＝DB，
∴△DQC≌△DPB(AAS)，
∴DQ＝DP，
∵DQ⊥AC，DP⊥AB，
∴AD平分∠BAC.
