人教版数学八年级上暑假预习课第四讲 三角形自学检测卷（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第四讲 三角形自学检测卷
知识点梳理
三角形自学检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
时间120分钟 满分120分
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．观察下列图形，其中是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．如果三角形的两边﹑长分别为和，则其第三边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
7．如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（ ）

A．是的角平分线 B．是的边上的高线
C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线
8．如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．将一副三角板按如图所示的方式放置，使两条直角边重叠，则的度数是( )
A． B． C． D．
10．五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（ ）
A． B． C． D．
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知，，点C在x轴上，且的面积为4，则点C的坐标为 ．
12．如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ．
.
13．如图，，的平分线与的平分线交于点．若，则 ．
14．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度．
图1 图2
（1）若，则 度．
（2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示）
15．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）已知在中，、、为的三边．
(1)化简代数式______；（填空）
(2)若、、满足，且，求周长．
17．（8分）若a，b，c为的三边长，且a，b满足．
(1)求c的取值范围；
(2)若第三边长c是整数，求c的值．
18．（9分）如图，的三个顶点坐标分别，，，点，为中的任意一点，经平移后点的对应点为，将做同样的平移得到．
(1)在图中画出，并写出、、的坐标；
(2)求的面积；
(3)平面内点满足，请写出D点坐标．
19．（8分）如图，
(1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．
(2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，．
①_________；（用含x的式子表示）
②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由．
20．（8分）（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），请利用（1）中的结论求的度数．
21．（9分）阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题.
（I）问题引入：
如图①，在中，点是和平分线的交点，若，则 度；若，则 （用含的代数式表示）；
（II）类比探究：
如图②，在中，，，.试探究：与的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由.
（III）知识拓展：
如图③，、分别是的外角，的等分线，它们的交于点，，，，求的度数（用含、的代数式表示）.
22．（12分）已知：在中，．过边上的点D作，垂足为点E．为的一条角平分线，为的平分线．
(1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含的代数式表示∠H，并说明理由；
(3)如图3，若，点G在边上，与交于点M，用含的代数式表示，则　　．
23．（13分）问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　；
问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　；
问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题：
已知，与两个角的角平分线相交于点．
（1）如图4，若，求的度数；
（2）如图5中，，，探究与之间的数量关系；
（3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　．
人教版数学八年级上暑假预习课
第四讲 三角形自学检测卷
知识点梳理
三角形自学检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．观察下列图形，其中是三角形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握：平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形是三角形．
2．如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【详解】解：如图所示，

图中有共8个三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．
3．一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】略
4．如果三角形的两边﹑长分别为和，则其第三边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键；根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围．
【详解】，
故选：C
5．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键．
【详解】解：设，
∵在中，，若其周长为，
∴，
∵，即，
解得：，
又∵，
解得：，
∴，
即．
故选：B．
6．五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键．
根据三角形三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，，则m的值为5或6．
若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；
若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，
所以．
故选：C．
7．如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（ ）

A．是的角平分线 B．是的边上的高线
C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线
【答案】D
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，则是的角平分线，故选项正确，不符合题意；
B．于点，则是的边上的高线，故选项正确，不符合题意；
C．，于点，则是的角平分线和高线，故选项正确，不符合题意；
D．无法判断是的边上的中线，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的定义是解题的关键．
8．如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积．连接，如图，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为5求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值．
【详解】解：连接，如图，
点为的中点，
，
为的中线，
，，
点为中点，
，
四边形的面积为10，
，
即，
解得，
作于点，如图，
，
，
，
，
的最小值是8；
故选：C．
9．将一副三角板按如图所示的方式放置，使两条直角边重叠，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：如图，
，
，
所以，．
故选：A．
10．五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和为．分析图形，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知能把，，，，，，全部转化到，所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案．
【详解】解：如图所示，
∵，，
又∵，
∴．
故选：C．
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知，，点C在x轴上，且的面积为4，则点C的坐标为 ．
【答案】或
【分析】画图分析可知，点C的坐标可能在直线的右侧，也可能在直线的左侧，据此即可求解．
【详解】如图，设点C的坐标为，

∵
∴
在图1中，
即
解得，
故C的坐标为
在图2中，
即
解得
故C的坐标为
故答案为：或
【点睛】本题考查了坐标系中已知三角形的面积求点的坐标，解题的关键是画图分析解题．
12．如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ．
【答案】直角三角形
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论.
【详解】解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案为 直角三角形.
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握.
13．如图，，的平分线与的平分线交于点．若，则 ．
【答案】100
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，再由平行线的性质结合三角形外角的定义及性质得出，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵的平分线与的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴
，
如图，令、交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度．
图1 图2
（1）若，则 度．
（2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'，，最后计算出 ；
（2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ．
【详解】解：（1）如图1所示，
，
，，
又'，
'，
又'，
，
又，
，
故答案为：；
（2）如图2所示，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
15．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【答案】
【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，则，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，则，
∵将纸片沿折叠，点落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）已知在中，、、为的三边．
(1)化简代数式______；（填空）
(2)若、、满足，且，求周长．
【答案】(1)
(2)的周长为．
【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系、绝对值的性质、整式的加减运算，解题关键是熟练掌握三角形三边关系．
（1）根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，结合绝对值性质即可求解；
（2）设，表示出、、，代入等式求出值后求出、、，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得：，，
．
故答案为：．
（2）解：设，
，，，
，
，
，
，，，
．
的周长为．
17．（8分）若a，b，c为的三边长，且a，b满足．
(1)求c的取值范围；
(2)若第三边长c是整数，求c的值．
【答案】(1)
(2)c的值为，，
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值．
（1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第三边长c是整数，求c的值即可．
【详解】（1）解：∵，
，，
解得，，
，，
∴．
（2）解：∵是整数，
的值为，，．
18．（9分）如图，的三个顶点坐标分别，，，点，为中的任意一点，经平移后点的对应点为，将做同样的平移得到．
(1)在图中画出，并写出、、的坐标；
(2)求的面积；
(3)平面内点满足，请写出D点坐标．
【答案】(1)、、，作图见详解
(2)8
(3)或
【分析】（1）将三个顶点分别向右平移3个单位、向下平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积杰克；
（3）由，知，解之求出的值即可．
【详解】（1）解：∵点，为中的任意一点，经平移后点的对应点为，
∴可知点P向右平移3个单位，向下平移4个单位得到，
如图所示，即为所求，
∴，，向右平移3个单位，向下平移4个单位得到、、．
（2）的面积为；
（3）解：存在，
，
，
解得或，
点坐标为或．
19．（8分）如图，
(1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．
(2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，．
①_________；（用含x的式子表示）
②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是定值，
【分析】（1）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可；
（2）①根据三角形的内角和定理即可求解；②根据角平分线得到，由三角形的外角定理得，代入求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
是角平分线，
，
分别是的高，
，
，
；
（2）解：①∵，
∴，
故答案为：；
②是定值，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、高以及三角形内角和定理，外角定理，掌握三角形的角平分线和高的概念是解题的关键．
20．（8分）（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），请利用（1）中的结论求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）360度
【分析】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
（1）连接，利用三角形的内角和定理得出，，进一步把，代换即可求得答案．
（2）根据三角形外角的性质，可得与、的关系，与、的关系，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
【详解】证明：（1）连接，如图（1）
，，，，
；
（2）如图（2），
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，
由四边形内角和得．
则．
21．（9分）阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题.
（I）问题引入：
如图①，在中，点是和平分线的交点，若，则 度；若，则 （用含的代数式表示）；
（II）类比探究：
如图②，在中，，，.试探究：与的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由.
（III）知识拓展：
如图③，、分别是的外角，的等分线，它们的交于点，，，，求的度数（用含、的代数式表示）.
【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）根据三角形的内角和可得到，根据角平分线的性质得到=（），再根据∠A=70°即可求解；同理可得到时的度数；
（2）利用，同理根据三角形的内角和进行计算求解；
（3）根据题意发现规律，同理即可得到结论.
【详解】解：（I）
=
.
故时，；
若，则；
（II）.
理由如下：
.
（III）
.
【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和，根据题意找到规律进行换算求解.
22．（12分）已知：在中，．过边上的点D作，垂足为点E．为的一条角平分线，为的平分线．
(1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含的代数式表示∠H，并说明理由；
(3)如图3，若，点G在边上，与交于点M，用含的代数式表示，则　　．
【答案】(1)①，见解析；②，见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得，即可证明与的位置关系；
（2）根据三角形外角的性质先得到，，，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于进行等量代换即可求出．
（3）根据四边形内角和等于可求出，，根据角平分线的定义可得出，，进而得到，再进行等量代换即可．
【详解】（1）解：①，理由如下
∵，，
∴．
又∵，
∴，即，
∴．
②，理由如下
∵，，
∴，
∴．
（2），理由如下
∵，，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
又∵，，
∴，
整理得，
∴．
将其代入，
得．
（3）∵，
∴．
又∵，，，
∴，
∴．
将其代入，
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，平行线的性质和判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系进行等量代换．
23．（13分）问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　；
问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　；
问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题：
已知，与两个角的角平分线相交于点．
（1）如图4，若，求的度数；
（2）如图5中，，，探究与之间的数量关系；
（3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　．
【答案】问题情境；问题情境2:；（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
问题情境1：过点作，根据平行线的性质，得到，，进而得出：；
问题情境2：过点作，再由平行线的性质即可得出结论；
②，③根据①中的方法可得出结论；
问题迁移：
（1）如图4，根据角平分线定义得：，，由问题情境1得：，再根据四边形的内角和可得结论；
（2）设，，则，，，，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为倍，同理可得结论．
【详解】解：问题情境
如图2，，理由是：
过作，
，，
∴，
，，
，
即，
故答案为：；
问题情境2：
如图3，，理由是：
过点作，
∵，
∴，
，，
，
即；
故答案为：；
问题迁移：
（1）如图4，、分别是和的平分线，
，，
由问题情境1得：，
，
，
，
；
（2）如图5，，理由是：
设，，则，，，，
由问题情境1得：，
，
，
，
，
，
；
（3）如图5，设，，
则，，，，
由问题情境1得：，
，
，
，
，
；
故答案为：．
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