人教版数学八年级上暑假预习课第五讲 全等三角形（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第五讲 全等三角形
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 全等形
1： 全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2：全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
3： 全等三角形
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
(1)、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
(2)、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
典例剖析1
例1-1．找出下列各组图中的全等图形（　　）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
例1-2．下列说法中，正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形
C．周长相等的两个图形是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
知识点2 全等三角形的性质
全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
典例剖析2
例2-1．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等
例2-2．说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等
例2-3．如图，，则的度数是 ．
知识点3 全等三角形性质的应用
方法技巧：
判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．
典例剖析3
例3-1．如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
例3-2．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ）
A． B． C． D．
例3-3．如图，，如果，，那么度数是（ ）
B． C． D．
变式训练
变式训练1 全等形
1．图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有 ．（只填序号即可）
2．如图，四边形四边形，则的大小是 ．
3．沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：

变式训练2 全等三角形的性质
1.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝ °．
2．如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ．
3．如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)若，则_______；
(2)若，求的度数．
4．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)请画出关于y轴对称的；
(2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）．
变式训练3 全等三角形性质的应用
1．如图，，请写出图中的对应角，对应边．
①的对应角为( )；②的对应角为( )；③的对应角为( )；④的对应边为( )；⑤的对应边为( )．
2．如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ．
3．如图，，，若，则 °．
4．如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等．
能力提升
能力提升1 全等形
1.知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．”
理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法．
要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来．
（请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑）
2．沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．
能力提升2 全等三角形的性质
1.如图，，与为对应角，与为对应边．
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)若，，求的长．
2．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当P在
上，
___________时，
的面积等于
面积的一半；
(2)如图②，在
中，
．在
的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边
运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好
与
全等，求点Q的运动速度．
3．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
(1)当秒时，　 　cm；
(2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
4．（1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
能力提升3 全等三角形性质的应用
1．如图①，在△ABC中，AB=12cm，BC=20cm，过点C作射线CD∥AB，点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s；
(2)当△ABM与△MCN全等时，
①若点M、N的移动速度相同，求t的值；
②若点M、N的移动速度不同，求a的值；
(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°．
（1）①在图1中画出；点A关于直线CF的对称点G；②若EF＝AF，求证：BE＝EF；
（2）如图2，∠ABP＝120°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．
3．如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足
（1）求A、B两点的坐标；
（2）C为OA的中点，作点C关于y轴的对称点D，以BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，过点E作EF⊥x轴于点F．若直线y=kx－4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，求k的值；
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

4．在 ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC=　 　．
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第五讲 全等三角形
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 全等形
1： 全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2：全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
3： 全等三角形
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
(1)、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
(2)、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
典例剖析1
例1-1．找出下列各组图中的全等图形（　　）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可．
【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，
故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，
故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，
故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，
故D选项不符合题意；
故选：C．
例1-2．下列说法中，正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形
C．周长相等的两个图形是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】D
【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用．
根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可．
【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误；
B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误；
C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误；
D、符合全等形的概念，正确．
故选：D．
知识点2 全等三角形的性质
全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
典例剖析2
例2-1．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
例2-2．说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误；
面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误；
两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误．
长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确；
故选D．
例2-3．如图，，则的度数是 ．
【答案】70
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握这性质是关键．根据三角形全等的性质，得出，然后求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
知识点3 全等三角形性质的应用
方法技巧：
判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．
典例剖析3
例3-1．如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，
∴，
∵，
∴或，
当时，，，
∴，解得：，
∴，
解得：；
当时，，
∴，解得：；
综上所述，点运动速度为或．
故选：D．
例3-2．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】
观察图像可知：
和中
∴光线b与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．
故选：B．
例3-3．如图，，如果，，那么度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
变式训练
变式训练1 全等形
1．图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有 ．（只填序号即可）
【答案】②④⑤
【分析】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可．
【详解】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合，
故答案为：②④⑤．
2．如图，四边形四边形，则的大小是 ．
【答案】/95度
【分析】本题考查了全等形的性质及四边形的内角和定理，熟练掌握全等形的性质是解题的关键．
利用全等图形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
3．沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：

【答案】见解析
【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．
【详解】解：如图所示：

变式训练2 全等三角形的性质
1.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝ °．
【答案】85
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝25°，
∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，
∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，
故答案为：85．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
2．如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ．
【答案】 与，与 AB与BA，BC与AD
【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边．
【详解】解：，与是对应角，AC与BD是对应边，
其余的对应角是与，与；
其余的对应边是AB与BA，BC与AD．
故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD
【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键．
3．如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)若，则_______；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)3
(2)
【分析】此题考查全等三角形的性质及三角形外角的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等进行分析．
（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得，再利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】（1）解：，
，，
，
故答案为：3；
（2），
，
，
．
4．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)请画出关于y轴对称的；
(2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平面坐标系点的坐标特征、对称图形的性质、全等三角形的定义等知识点，掌握轴对称图形的性质是解题关键．
（1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可；
（2）根据对称图形互相全等的性质，作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，然后写出、、即可解答．
【详解】（1）解：如图：即为所求三角形；
．
（2）解：如图：和关于直线对称；和关于直线对称；和关于直线对称；
∴满足条件的点D的坐标为：．
变式训练3 全等三角形性质的应用
1．如图，，请写出图中的对应角，对应边．
①的对应角为( )；②的对应角为( )；③的对应角为( )；④的对应边为( )；⑤的对应边为( )．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键．根据全等三角形的定义可直接得出答案．
【详解】解：∵，
∴①的对应角为；
②的对应角为；
③的对应角为；
④的对应边为；
⑤的对应边为；
故答案为：，，，，．
2．如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ．
【答案】2.25或3
【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，据此求解即可．
【详解】解：中，厘米，点为的中点，
厘米，
若，则需厘米，（厘米），
点的运动速度为3厘米秒，
点的运动时间为：秒，
（厘米秒）；
若，则需厘米，，
，
解得：；
的值为：2.25或3，
故答案为：2.25或3．
3．如图，，，若，则 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
4．如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等．
【答案】4
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：于，于，
，
设运动分钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
，，，
；
②若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动4分钟后与全等；
故答案为：4．
能力提升
能力提升1 全等形
1.知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．”
理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法．
要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来．
（请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑）
【答案】见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
（答案不唯一）．
2．沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．
【答案】见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可．
【详解】解：如图所示即为所求．
【点睛】题目主要考查了全等图形的定义及学生的空间想象能力，理解全等图形的定义是解题关键．
能力提升2 全等三角形的性质
1.如图，，与为对应角，与为对应边．
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和；
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解；
（2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解
【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和；
（2）∵，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键．
2．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当P在
上，
___________时，
的面积等于
面积的一半；
(2)如图②，在
中，
．在
的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边
运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好
与
全等，求点Q的运动速度．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答；
（2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）解：∵当P在上，的面积等于面积的一半，
∴
∴当时，的面积等于面积的一半．
（2）解：设点Q的运动速度为，
①当点P在上，点Q在上，时，，
∴4÷3=5÷x 解得
②当点P在上，点Q在上，时，，

∴，解得
③当点P在上，点Q在上，时，，

∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
④当点P在上，点Q在上，时，，

∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴ 解得；
∴Q运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质、全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，中午分类讨论思想是解答本题的关键．
3．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
(1)当秒时，　 　cm；
(2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
【答案】(1)2
(2)2.5或4.5或7.5或9.5
【分析】（1）当秒时，点P运动到线段上，即可得到的长度；
（2）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
【详解】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为：，
∵，
∴点P运动到线段上，
∴cm，
故答案是：2；
（2）根据题意，如图，连接，则，，，
∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于，
①当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
②当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
③当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
4．（1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围；
（2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到
∴（），
∴，,即
∵是边上的中线，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴ ，即，
∴；
故答案为；
（2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到
∴（），
∴，
∵
∴，
在中，由三角形的三边关系得： ，
∴；
（3），理由如下：
如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转
∴△DCF≌△BCH，
∴
∴
∵
∴，
∴点A、B、H三点共线
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，
∵
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.
能力提升3 全等三角形性质的应用
1．如图①，在△ABC中，AB=12cm，BC=20cm，过点C作射线CD∥AB，点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s；
(2)当△ABM与△MCN全等时，
①若点M、N的移动速度相同，求t的值；
②若点M、N的移动速度不同，求a的值；
(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】（1）根据时间等于路程除以速度即可求解；
（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．
②当CN=AB，CM=BM时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题①若点M、N的移动速度不同，则CM=BM，②若点M、N的移动速度相同，则BM=CN，BP=CM．
【详解】（1）点M的运动时间（秒），
故答案为：
（2）①∵点M、N的移动速度相同，
∴CN=BM，
∵CD∥AB，
∴∠NCM=∠B，
∴当CM=AB时，△ABM与△MCN全等，
则有12=20-3t，解得t=．
②∵点M、N的移动速度不同，
∴BM≠CN，
∴当CN=AB，CM=BM时，两个三角形全等，
∴运动时间t=，
∴a=．
（3）若点M、N的移动速度不同，则CM=BM时，两个三角形有可能全等，由（2）②可知此时t=
若点M、N的移动速度相同，则BM=CN，BP=CM，
∴20-3t=12-2t或20-3t=2t-12，
解得t=8（舍）或
综上所述，满足条件的t的值为或
【点睛】本题考查了动点问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
2．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°．
（1）①在图1中画出；点A关于直线CF的对称点G；②若EF＝AF，求证：BE＝EF；
（2）如图2，∠ABP＝120°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．
【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据对称的性质画出点G，根据对称的性质和全等三角形的性质可求证BE＝EF.（2）将△ACF绕C点逆时针旋转至AC与BC重合，根据全等三角形的性质可求证PB+AF＝PF.
【详解】解：（1）①如解图（1）：G为点A关于直线CF的对称点；
②连接FG、CG、EG，
∵G为点A关于直线CF的对称点；
∴△ACF≌△GCF，
∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．
又∵AC＝BC，
∴CG＝CB，
∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，
∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，
∴∠ECG＝∠ECB，
在△GCE和△BCE中
∴△GCE≌△BCE（SAS），
∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，
∵∠ACB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠EGC+∠FGC＝60°，
又∵AF＝EF＝FG，
∴△FEG为等边三角形，
∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．
（2）证明：由AC＝BC，∠ACB＝120°，故可将△ACF绕C点逆时针旋转120°到△BCF′位置，如解图2，
∵△ACF≌△BCF′，
∴∠A＝∠CBA＝∠CBF′＝30°，AF＝BF’，∠ACF＝∠BCF′
又∵∠FBP＝120°，
∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′＝180°，
∴B、P、F′在同一直线上，
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCF′+∠BCE＝60°，即∠PCF’＝60°．
在△CFP和△CF′P中，
，
∴△CFP≌△CF′P（SAS）
∴FP＝F′P，
∵PB+BF′＝BP+AF，
∴PB+AF＝PF
【点睛】本题综合考查图形对称、图形旋转和全等三角形的性质和判定.
3．如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足
（1）求A、B两点的坐标；
（2）C为OA的中点，作点C关于y轴的对称点D，以BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，过点E作EF⊥x轴于点F．若直线y=kx－4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，求k的值；
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．
【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）k值为或-或；（3）见解析
【详解】（1）首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B的坐标；
（2）先判段出△DEF≌△BDO，得出EF、OF，即可求出四边形OBEF的面积为18，再分析两种情况可讨论计算即可.
（3）过M作x轴的垂线，通过证明△PBO≌△MPN得出MN=AN，转化到等腰直角三角形中即可得出结论．
解：（1）∵，
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）由（1）知，B（0，4）；
∴OB=4，
∵C为OA的中点，
∴C（2，0）,
∵点C关于y轴的对称点D，
∴D（-2，0）
∴OD=2，
∵BD为直角边在第二象限作等腰Rt△BDE，
①如图，
当BD=BE，∠DBE=90°时，过点E作EH⊥OB于H，
∴∠BHE=90°，
∴∠BEH+∠HBE=90°，
∵∠DBE=90°，
∴∠HBE+∠OBD=90°，
∴∠BEH=∠OBD，
在△OBD和△HEB中，∠BOD=∠EHB=90°，∠0BD=∠BEH，BD=BE，
∴△OBD≌△HEB，
∴BH=OD，EH=OB，
∵D（-2，0），B（0，4），
∴OB=4，OD=2，
∴BH=2，EH=4，
∴OH=OB+BH=6，∴E（-4，6），
∴EF=OH=6，OEH=4，
∴S四边形OBEF=（OB+EF）×OF=20，
∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，
∴S四边形OBGF=S四边形OBEF=10，
∴S四边形OBFE=(FG+OB×OF=×（FG+4）×4=2（FG+4）=10，
∴FG=1，∴G（-4，1）
将G（-4，1）代入直线y=kx-4k，得，1=-4k-4k，
∴k=.
②如图1，
当DE=BD，∠BDE=90°时，
∴∠EDF+∠BDO=90°，
∴∠DEF=∠BDO，
在△DEF和△BDO中，∠DEF= ∠BOD=90°，∠DEF=∠BDO，DBD，
∴△DEF≌△BDO，
∴EF=OD=2，DF=OB=4，
∴OF=6，
∴F（-6，2）
∴S四边形OBEF=（EF+OB）×OF=×（2-4）×6=18，
∵直线y=kx-4k将四边形OBEF分为面积相等的两部分，
所以直线y=kx-4k分成的两部分的面积为9，
∵直线y=kx-4k恒过A（4，0），
∴I、当直线y=kx-4k和线段EF相交，
∴S四边形OHGF=9，
∵H（0，-4k），
∴OH=-4k，
∵G点的横坐标为-6，
∴G（-6，-10k），
∴FG=-10k，
∴S四边形OHGF=（-4k=10k）×6=9.
∴k=-，
II、当直线y=kx-4k①和线段EB相交，
∴S△MBN=9，
∵N（0，-4k）
∴BN=4（k+1）,
∵B（0，4），E（-6，2），
∴直线BE的解析式为y=x+4②
联立①②得，点M的横坐标为，
∴S△MBN=×4（k+1）×=9，
∴k=（舍）或k=.
即：满足条件的k值为或-或.
（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．
∵∠BPM=90°，∴∠BPO+MPN=90°．
∵∠AOB=∠MNP=90°，∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．
∵BP=MP，∴△PBO≌△MPN，
∴ MN=OP，PN=AO=BO，
∴OP=OA+AP=PN+AP=AN，
∴MN=AN，∠MAN=45°．
∵∠BAO=45°，
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴无论P点怎么动，OQ的长不变．
“点睛”此题是一次函数综合题，主要考查了非负性，全等三角形的判定和性质，梯形的面积公式，三角形面积公式，等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是求出k的值．
4．在 ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC=　 　．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）4或8．
【详解】（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；
（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；
图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，
∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；
（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，
∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，∴△ABP≌△CDQ，
∴BP=DQ，∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；
图③：BP﹣BQ=BC，理由是：同理得：△ADP≌△CBQ，∴PD=BQ，
∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；
（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=2+6=8，图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=6﹣2=4，∴BC=4或8．
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