人教版数学八年级上暑假预习课第六讲 全等三角形的判定（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第六讲 全等三角形的判定
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 全等三角形的判定定理1
全等三角形的判定1：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
注意：
（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
用尺规作一个角等于已知角:已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
典例剖析1
例1-1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
例1-2．在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．

例1-3．如图，已知，，．则可推出 全等．
知识点2 全等三角形的判定定理2
全等三角形的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
典例剖析2
例2-1．使的条件是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
例2-2．如图，已知，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；再以点O为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点E，F；连接，，则，其全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
例2-3．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2
知识点3 全等三角形的判定定理3
全等三角形的判定3：角边角（ASA）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
全等三角形的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
典例剖析3
例3-1．小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS
C．ASA或AAS D．ASA或SAS
例3-2．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（ ）
甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
例3-3．如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（ ）
A． B． C． D．
变式训练
变式1：边边边（SSS）
1.我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有 个．
2．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由．
．
3．问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？
_________（填“全等”或“不全等”），依据是_________；
(2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程．
4．如图，，，与相交于点．

(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
5．阅读材料：
已知，求作，使得．
作法：如图．
①作；
②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点；
③连接线段，则即为所求的三角形．
请你根据以上材料解答下列问题：
(1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）；
由作图可知，在和中，
所以______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）．
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
变式2： 边角边（SAS）
1．如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ．
2．如图所示的5个三角形中： ， ．
3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
4．如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ．
变式3：角边角（ASA）角角边（AAS）
1．如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________．
2．如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等．
3．如图，点D、E分别在、上，与相交于点O，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对．

4．如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．

能力提升
提升1：边边边（SSS）
1.阅读理解题：
直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？
两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？
已知：在和，，，
求：，
证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到
因为（已知）
所以（等边对等角）
在和中（完成以下说理的过程）
所以（ ）
能否模仿例题的解题思路，自己画图，
换一种方法证明这两个直角三角形全等？
2．如图，，，垂足分别为B、C．，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，则图中共有______________对全等三角形．
3．已知：如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，F是CD的中点．求证：∠BAF＝∠EAF．
提升2： 边角边（SAS）
1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：．
2．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
3．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．

（1）求出的度数；
（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）
（3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．
提升3：角边角（ASA）角角边（AAS）
1.如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ．
2．直角三角形中，，直线过点．
(1)当时，如图，分别过点，作于点，于点．
求证：．
(2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．
①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示）
②直接写出当与全等时的值．
3．（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分．
（2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
人教版数学八年级上暑假预习课
第六讲 全等三角形
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 全等三角形的判定定理1
全等三角形的判定1：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
注意：
（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
用尺规作一个角等于已知角:已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
典例剖析1
例1-1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，
，
由作图可得：，，，
，
，
能得出的依据是，
故选：B．
例1-2．在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．

【答案】4
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．

由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
例1-3．如图，已知，，．则可推出 全等．
【答案】和(答案不唯一)
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握利用“”判定三角形全等即可作答．
【详解】证明：在和中
∵，
∴，
故答案为：和．
知识点2 全等三角形的判定定理2
全等三角形的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
典例剖析2
例2-1．使的条件是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理．
【详解】解：、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，能判定，符合题意，
故选：．
例2-2．如图，已知，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；再以点O为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点E，F；连接，，则，其全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．利用证明即可．
【详解】解：由作图步骤可知，，，
在和中，
，
，
故选：B
例2-3．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可．
【详解】解：根据题意得，，，则，
，
当，时，，
即，，
解得：，；
当，时，，
即，，
解得：，，
综上所述，当与全等时，的值是2或3．
故选：C．
知识点3 全等三角形的判定定理3
全等三角形的判定3：角边角（ASA）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
全等三角形的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
典例剖析3
例3-1．小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS
C．ASA或AAS D．ASA或SAS
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】根据题意可知．
∵，
∴，．
方法一：
在和中
∴．
方法二：
在和中
∴．
故选：C
例3-2．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（ ）
甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【分析】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．
【详解】甲的作法如图一：
∵为等边三角形，是的角平分线
∴
由甲的作法可知，
在和中，
故甲的作法正确；
乙的作法如图二：
在和中，
故乙的作法正确；
故选：A．
例3-3．如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，．
【详解】∵为中点，
∴，
∵由点分别向、作垂线段、，
∴，
在与中，
，
∴，
故选：．
变式训练
变式1：边边边（SSS）
1.我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有 个．
【答案】15
【分析】利用判定三角形全等，在网格中画出与三角形全等的三角形，即可得解．
【详解】解：如图所示：
除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有15个．
故答案为：15．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
2．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由．
【答案】全等，理由见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．先证明，然后利用证明即可．
【详解】解：全等．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴．
3．问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？
_________（填“全等”或“不全等”），依据是_________；
(2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程．
【答案】(1)全等；
(2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定：
（1）利用即可证明；
（2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可．
【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时，
在和中，
，
∴，
故答案为：全等；；
（2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下：
在和中，
，
∴；
4．如图，，，与相交于点．

(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了判定两个三角形全等，三角形外角的定义：
（1）根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等；
（2）根据两个三角形全等得到对应角相等，再根据三角形外角的定义可求得结果；
找到角度之间的关系是解题的关键．
【详解】（1）证明：在中，
，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
5．阅读材料：
已知，求作，使得．
作法：如图．
①作；
②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点；
③连接线段，则即为所求的三角形．
请你根据以上材料解答下列问题：
(1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）；
由作图可知，在和中，
所以______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）．
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
【答案】(1)，，
(2)④
【解析】略
变式2： 边角边（SAS）
1．如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，角平分线的性质，灵活运用全等三角形的性质及判定是解题的关键．
利用全等三角形的判定方法证出，再通过角的等量代换求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图所示的5个三角形中： ， ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据证明，，即可求解．
【详解】解：在中，
∴
在中
∴，
故答案为：；．
3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：先根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合这五种判定方法，即可作答．
【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去；
标有2的玻璃与原三角形的玻璃有两个角相等，也有夹边相等，即，故带标有2的玻璃去；
标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去；
标有4的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有4的玻璃去；
故答案为：2
4．如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ．
【答案】4或
【分析】本题主要考查三角形全等的判定．
设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值．
【详解】设运动，则，，，
∵在长方形中，，
∴①当，，即，时，，
解得：，
或当，，即，时，，
解得：，．
综上所述，v的值为4或．
故答案为：4或
变式3：角边角（ASA）角角边（AAS）
1．如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________．
【答案】海岛在观测点B的正北方，理由见解析．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质等知识点，证明得出，即可得解，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】由题意得：，，
∵海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴海岛在观测点B的正北方，
故答案为：海岛在观测点B的正北方．
2．如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可．
【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为，
，
A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
，
；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：或．
3．如图，点D、E分别在、上，与相交于点O，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对．

【答案】4
【分析】先根据“”证明，则，，所以，再根据“”证明，继而利用“”证明和，从而可判断图中的全等三角形共有4对．
【详解】解：在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中的全等三角形共有4对．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
4．如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．

【答案】
【分析】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，故正确；
∵，，
∴，，
∴，故错误；
∵，
∴，，
∵，
∴，故正确；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．
能力提升
提升1：边边边（SSS）
1.阅读理解题：
直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？
两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？
已知：在和，，，
求：，
证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到
因为（已知）
所以（等边对等角）
在和中（完成以下说理的过程）
所以（ ）
能否模仿例题的解题思路，自己画图，
换一种方法证明这两个直角三角形全等？
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定和性质是关键．将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点，先证明，再证明即可．
【详解】解：如图，将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点，
在和中，
，
，
，，
，
在与中，
，
．
2．如图，，，垂足分别为B、C．，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，则图中共有______________对全等三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)5
【分析】（1）根据HL证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）利用HL证明与全等，进而得出，利用证明 与全等后解答即可；
（3）再证明，，结合前面（1） （2），从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
在与中
∴
∴；
（2）∵
∴，
在与中
∴，
∴， ∴，
在与中
∴，
∴；
（3）根据
可得，
由，
可得，
∴全等三角形有，，，，，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
3．已知：如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，F是CD的中点．求证：∠BAF＝∠EAF．
【答案】证明见解析
【分析】连接AC，AD，证明（SAS），可得AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，根据F是CD的中点，可证明，从而得到∠CAF＝∠DAF，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，AD，
在△ABC和△AED中，
，
∴（SAS），
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵F是CD的中点，
∴,
在△AFC和△AFD中，
，
∴（SSS），
∴∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAC+∠CAF＝∠EAD+∠DAF，
∴∠BAF＝∠EAF．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，得到△ABC≌△AED是解本题的关键．
提升2： 边角边（SAS）
1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
本题先直接证明得到，再根据“”可判断．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
2．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．
【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．
【详解】解：EF=AE+CF
理由：延长到G，使，连接，
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．
理由：延长到G，使，连接，
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．
理由：延长到G，使，连接，
∵，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．

（1）求出的度数；
（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）
（3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．
【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
提升3：角边角（ASA）角角边（AAS）
1.如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过，，可得，即可通过证明．
【详解】证明：，
，即，
，
，
即，
在与中，
．
2．直角三角形中，，直线过点．
(1)当时，如图，分别过点，作于点，于点．
求证：．
(2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．
①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示）
②直接写出当与全等时的值．
【答案】(1)见解析
(2)①， ②或5或．
【分析】
（1）利于同角的余角相等，得到，利用证明三角形全等即可；
（2）①利用，求出，利用对称性，得到，利用，求出即可；②分点分别在，四种情况讨论，利用全等三角形对应边相等进行求解即可．
【详解】（1）
证明：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：①由题意，得：，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴，
故答案为：，；
②当与全等时，和是对应边，
∴，
当点在时，
，即：， 解得，不符合题意；
当点在时，此时：，
则：，解得：；
当点在时，此时：，
则：，解得：；
当点在时，此时：，
则：，解得：；
综上：当与全等时，或5或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．注意，分类讨论．
3．（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分．
（2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）过E作于F，根据角平分线的性质可得，从而求出，然后根据角平分线的判定证明即可；
（2）过E作于F，根据平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，证得，根据全等三角形的性质得到A，同理，等量代换得到结论；
（3）成立，在上截取，根据角平分线定义得到，推出，根据角平分线的性质得到，求得，证得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过E作于F，
∵，平分，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）如图2，过E作于F，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴A，
同理，
∵，
∴；
（3）成立，如图3，在上截取，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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