6.3反比例函数的应用同步练习（培优版）（含解析）北师大版数学九年级上册

6.3反比例函数的应用（培优版）
一、选择题
1．如图是反比例函数和（为常数）在第一象限内的图象，点M在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点M在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不变；③当点A是的中点时，则点B是的中点.其中错误结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图像经过点，则的值是（　　）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
3．如图，直线 与双曲线 交于 ， ，直线AB交x轴于 ，下列命题：① ；②当 时， ；③若 为线段AB的中点，则 ，其中正确的命题有（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 ，点 ，以线段 为边作正方形 ，且点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（　　）
A． B． C． D．20
5．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点， ，两边分别交 轴， 轴于点 ， ，四边形 的面积为 ， 轴于点 .有下列结论：① ；②三角形 的面积为 ；③线段 的长为 ；④不等式 的解集是 或 .其中正确结论的个数是（　　）.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点A、B，与 的图象交于点C、D．若CD = AB，则k的值为（　　）
A． ． B． ． C． ． D． ．
7．如图，平行于x轴的直线与函数y＝ （k1＞0，x＞0），y＝ （k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
8．如图，矩形ABC0的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为(- ，5)，D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，则过点E的反比例函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m.若S△OAF＋S四边形EFBC＝6，则m的值是（　　）
A．1 B． C． D．
10．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于 ，其中正确的个数有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为　 　．
12．函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 　 　．
13．已知，一次函数与反比例函数的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是　 　．
14．如图，已知直线y=k1x与双曲线y= 交于A B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y= 经过点C，则 的值是　 　。
15．如图，直线 分别交x轴，y轴于点A和点B，点C是反比例函数 的图象上位于直线下方的一点，CD∥y轴交AB于点D，CE∥x轴交AB于点E， ，则k的值为　 　
三、综合题
16．反比例函数的图象与直线交点为、，点在点的左侧.
（1）如图1，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）如图2，点是反比例函数（）上一点，点是平面内一点，连接，、，若四边形是矩形，求点的坐标；
（3）如图3，点是轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点在第四象限且到轴的距离是，求点的坐标.
17．新冠疫情期间，口罩的需求量增大，某口罩加工厂承揽生产1600万个口罩的任务，每天生产的口罩数量相同，计划用x天（x＞4）完成．
（1）求每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式；
（2）由于疫情形势严峻，卫生管理部门要求厂家提前4天交货，那么加工厂每天要多做20万个口罩才能完成任务，求实际生产时间．
18．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
19．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；
（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．
20．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式
（2）若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务
1．【答案】A
【解析】【解答】∵点A、B在同一反比例函数的图像上，
∴．
故①符合题意；
∵点M在反比例函数的图象上，
∴．
∵，
∴．
故②符合题意；
连接，可知．
∵点A是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴点B是的中点．
故③符合题意．
所以错误的个数是0．
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数图象上的点坐标的特征和反比例函数k的几何意义逐项判断即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，，
平分，平分，
，
，
，
四边形是正方形
，，
故答案为：B
【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理，结合函数图象求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线 上，
∴x1y1=x2y2=m2+1，
∴ ，①符合题意；
∵当x1＜x＜x2时，直线y=kx+b在双曲线 上方，
∴当 时， ，②符合题意；
∵M（t，s）为线段AB的中点，
∴ ，
当 时，
即 ，
此时， ，
∴ ，
把C（x0，0）代入y=kx+b得kx0+b=0，
解得 ，
∴x1+x2=x0，
∴ ，所以③符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数上的点横纵坐标之积相等，可得x1y1=x2y2，整理即可判断①；
结合函数图象一次函数在反比例函数上的的部分可对②进行判断；
根据线段的中点公式可得 ，联立反比例函数和一次函数整理后得一元二次方程 ，根据根与系数关系可得 ，由此可得 ，由一次函数与x轴的交点可得 ，由此可判断③．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，当x＝0时，y＝0＋3＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3；
∵当y＝0时，0＝ ，
∴x＝ 2，
∴B（ 2，0），
∴OB＝2；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO.
在△AOB和△BEC中， ，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，
∴OE＝2＋3＝5，
∴C点坐标为（-5，2），
∵点C在反比例函数 （x＜0）图象上，
∴k＝ 5×2＝ 10.
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点
∴
∴
∴
结合题意，得 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
设点C坐标为 ，设点D坐标为 ，结合题意， 且
∴ ，
∵四边形 的面积为
∴四边形 的面积
∴
结合题意， ，
又∵ ，且
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ， ， ，故③错误；
∵
∴ ，
∴
∴ ，故②正确；
当 时， 即
∴
∴ 或 （舍去）
当 时， 即
∴
∴
∴不等式 的解集是 或 ，故④错误；
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数 的图象与反比例函数 的图象的性质，结合题意，可计算得 ；根据 和四边形 的面积为 ，设点C坐标为 ，设点D坐标为 ，通过勾股定理和四边形面积解方程，即可得到k的值，从而计算得 和三角形 的面积，以及不等式 的解集.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：对直线y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，令y＝0，则x＝6，
∴点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），
∴OB＝OA＝6，
∴AB＝6 ＝3CD，∠BAO=45°，
∴ ，
联立y＝﹣x+6和y＝ 并整理得：x2﹣6x+k＝0，
设点C、D的横坐标分别为a，b，则a+b＝6，ab＝k，
∵∠BAO=45°，
∴CD= ，
∴CD2＝2（a﹣b）2＝2[(a+b)2﹣4ab]＝2（36﹣4k）＝（2 ）2，解得：k＝8．
故答案为：C．
【分析】先求出点A、B的坐标，于是可得AB的长，进而可得CD的长，设C、D的横坐标分别为a，b，则a，b是联立y＝﹣x+6和y＝ 并整理后的方程的解，由CD= 并结合根与系数的关系可得关于k的方程，解方程即可求出k，从而可得答案．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：设：A、B点的坐标分别是A（ ，m）、B（ ，m），
则：△ABC的面积＝ AB yA＝ （ ﹣ ） m＝6，
则k1﹣k2＝12．
故答案为：A．
【分析】△ABC的面积＝ AB yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：过E作EF⊥OC交OC于点F，如图：
∵矩形ABCO中，
∴BC⊥OC，
∵EF⊥OC，
∴EF∥BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴，
∵B（-，5），
∴BC=5，OC=-，
即=，
∴令EF=3x，OF=4x，
根据翻折的性质可知OA=OE=BC=5，
在Rt△OEF中，
∴（3x）2+（4x）2=52，
解得：x=1，
∴EF=3，OF=4，
∴E（-4，3），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=，
又∵点E（-4，3）在反比例函数上，
∴k=-4×3=-12，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=.
故答案为：C.
【分析】解：过E作EF⊥OC交OC于点F，如图：
∵矩形ABCO中，
∴BC⊥OC，
∵EF⊥OC，
∴EF∥BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴，
∵B（-，5），
∴BC=5，OC=-，
即=，
∴令EF=3x，OF=4x，
根据翻折的性质可知OA=OE=BC=5，
在Rt△OEF中，
∴（3x）2+（4x）2=52，
解得：x=1，
∴EF=3，OF=4，
∴E（-4，3），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=，
又∵点E（-4，3）在反比例函数上，
∴k=-4×3=-12，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=.
故答案为：C.
【分析】过E作EF⊥OC交OC于点F，根据矩形的性质和相似三角形的判定得△OEF∽△OBC，由相似三角形的性质得=，从而令EF=3x，OF=4x，几何翻折的性质可知OE=5，在Rt△OEF中，根据勾股定理列出方程，解之得出x值，从而可得E点坐标，根据待定系数法即可求得经过点E的反比例函数解析式.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵A点在反比例函数y=（x＞0），且A点横坐标为m，
∴A（m，），
又∵A点在一次函数y=-x+b上，
∴A（m，-m+b），
∴=-m+b，
即b=m+，
作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N，如图：
∵反比例函数y=与一次函数y=-x+b均关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，
设S△AOF=s，
则S△OEF=3-s，S四边形EFBC=6-s，S△OBC=S△OAD=9-2s，S△ADM=6-2s=2（3-s），
∴S△ADM=2S△OEF，
由对称性可知：AD=BC，OD，∠ODC=∠OCD=45°，
∴△AOM≌△BON，
∵AM=BN=DM=CN，
∴EF=AM=BN，
∴EF是△BON的中位线，
∴N（2m，0），
∴B（2m，），
又∵点B在一次函数y=-x+b上，
∴=-2m+m+，
整理得：m2=3，
∵m＞0，
∴m=.
故答案为：C.
【分析】由A是反比例函数与一次函数的交点得 =-m+b，即b=m+，作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N，设S△AOF=s，则S△OEF=2-s，S四边形EFBC=4-s，S△OBC=S△OAD=6-2s，S△ADM=4-2s=2（2-s）， 从而得S△ADM=2S△OEF，根据对称性和全等三角形的性质可得 EF是△BON的中位线，由此得B（2m，），将点B坐标代入一次函数解析式即可求得m值.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设点D的坐标为（x，kx），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0． ∴S△DFE= DF OF= |xD| | |= k，
同理可得S△CEF= k，故⑤正确； 故S△DEF=S△CEF．故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S△DEF=S△BED， 同理可得S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF． 又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，故④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：C．
【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD| |yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．
11．【答案】4
【解析】【解答】解：∵AM∥y轴，NB∥x轴，
∴四边形ONCM为矩形，
∵点A、B为反比例函数图象上的两点，A（m，n），N（0，2n），
∴S△BNO=S△AMO=k，S矩形ONCM=2mn=2k，
又∵S四边形OACB=4，
∴k+k+4=2mn=2k，
∴k=4.
故答案为：4.
【分析】由AM∥y轴，NB∥x轴，易得四边形ONCM为矩形，再根据反比例函数k的几何意义及图象上点的坐标特征可得S△BNO=S△AMO=k，S矩形ONCM=2mn=2k，又有S四边形OACB=4，从而可得到k+k+4=2mn=2k，解之即可求得k值.
12．【答案】①③④
【解析】【解答】解：①∵两个函数图象的交点为A，令y1＝y2，
∴x＝，
∴x＝2，代入y1＝x（x≥0），得：y＝2，
∴A（2，2），故本选项正确；
②当x＞2时，y1＞2，y2＜2，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝1，y2＝4，
∴BC＝y2﹣y1＝4﹣1＝3，故本选项正确；
④根据图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项正确．
所以①③④正确.
故答案为：①③④.
【分析】令y1＝y2求出x、y的值，得到点A的坐标，据此判断①；根据图象以及点A的坐标可判断②；令x=1，求出y1、y2的值，进而判断③；根据图象可直接判断④.
13．【答案】（3，0）或（-3，0）或或
【解析】【解答】解：∵一次函数y= x+1与反比例函数y= 的图象交于点A、B，
∴的解是点A、B的坐标，
解这个方程组得：，，
∴A（-1，2），B（2，-1），
设P（n，0），
∵A（-1，2），B（2，-1），P（n，0），
∴AB2=（2+1）2+（1+2）2=18，BP2=（n-2）2+1，AP2=（n+1）2+4，
∵△ABP为直角三角形，
∴①当∠ABP=90°
AB2+BP2=AP2
∴18+(n-2)2+1=(n+1)2 +4，
∴n= 3，
∴ P(3， 0)，
②当∠BAP= 90°时，
AB2+ AP2= BP2，
∴18+(n+1)2 +4=(n-2)2+1，
∴n= -3，
∴P(-3，0)，
③当∠APB= 90°时，
AP2+ BP2= AB2，
∴(n+1)2+4+(n-2)2+1= 18，
∴
∴P(，0)或P(，0)，
故答案为：P点的坐标(3，0)、 (-3，0)、(，0)或(，0)．
【分析】根据一次函数y= x+1与反比例函数y= 的图象交于点A、B，得出点A、B的坐标，设P（n，0），根据A（-1，2），B（2，-1），P（n，0），得出△ABP为直角三角形，①当∠ABP=90°，②当∠BAP= 90°，③当∠APB= 90°，分类讨论即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∴∠BDO=∠OCE=90°，
∴∠BOD+∠OBD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵ 直线y=k1x与双曲线y= 交于A、B两点，
∴OA=OB，
∴OC⊥AB，∠BCO=30°，
∴，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∴∠OBD=∠COE，
∴△OBD∽△COE，
∴，
∵S△OBD=，S△OCE=，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据旋转的性质得出△ABC是等边三角形，根据反比例函数和一次函数的对称性得出OA=OB，得出OC⊥AB，∠BCO=30°，得出，再证出△OBD∽△COE，得出，利用反比例函数系数k的几何意义得出S△OBD=，S△OCE=，从而得出.
15．【答案】
【解析】【解答】解：过E作 于F，过D作 于G，
CD∥y轴，CE∥x轴，
直线 分别交x轴，y轴于点A和点B，点，
把 代入得：
同理：把 代入得：
，
同理：
故答案为； ．
【分析】过E作 于F，过D作 于G， 由CD∥ y 轴，CE∥x轴，得 利用三角形相似的性质求解 建立方程求解，结合k的几何意义可得答案．
16．【答案】（1）解：将点A（-4，-3）代入
得m=12，
∴反比例函数解析式为：；
将A（-4，-3）与B（2，6）分别代入y=kx+b
得，解得
∴一次函数解析式为：；
（2）解：延长BC交x轴于点H，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
设直线BC的解析式为，
将点B（2，6）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为：
设，点C在直线BC上，∴，解得n=9，
，
设点D（x，y），
根据中点坐标公式得
，
解得，
；
（3）解：如图，过点E作EM⊥BP于点M，过点M作RQ⊥x轴，过点B作BR⊥RQ于点R，过点E作EQ⊥RQ于点Q，
为等边三角形，
，
，
，
设，，
，
点M为BP的中点，
，
，
∴.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可分别求出两个函数的解析式；
（2）根据互相垂直的直线的比例系数的乘积等于-1可得直线BC的比例系数为，设直线BC的解析式为，将点B的坐标代入算出t的值，可得直线BC的解析式，设点，将其代入直线BC解析式可算出n的值，从而可得点C的坐标，设点D（x，y），根据中点坐标公式建立方程组，求解即可得出点D的坐标；
（3）如图，过点E作EM⊥BP于点M，过点M作RQ⊥x轴，过点B作BR⊥RQ于点R，过点E作EQ⊥RQ于点Q，根据等边三角形的性质得，设，，则，再由点M为BP的中点，可求解.
17．【答案】（1）解：每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式为：y＝ （x＞4）；
（2）解：由题意可得： ，
去分母整理得： ，
解得：x1＝20，x2＝﹣16，
经检验，x1＝20，x2＝﹣16是原分式方程的解，
但x＝﹣16不合题意舍去，
∴20﹣4＝16（天），
答：实际生产时间为16天．
【解析】【分析】（1）由生产总量=每天生产口罩 生产时间，即可求解；
（2）由题意列出方程，即可求解。
18．【答案】（1）解：当0≤x≤5时，
设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（0，15），（5，60）代入得 ，解得 ，
所以一次函数解析式为y＝9x+15；
当x＞5时，设反比例函数解析式为y＝ ，
把（5，60）代入得m＝5×60＝300，
所以反比例函数解析式为y＝
（2）解：当y＝15时， ＝15，解得x＝20，
所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟。
【解析】【分析】（1）根据题意，可得知x≤5时，材料温度与加热时间是一次函数的关系；x＞5时，温度与时间是反比例的关系，将点的坐标代入，可计算出解析式。
（2）将y值代入解析式，即可求得答案。
19．【答案】（1）解：由平均数，得x= ，即y= 是反比例函数；
（2）解：由单价乘以油量等于总价，得
y=4.75x，即y=4.75x是正比例函数；
（3）解：由路程与时间的关系，得
t= ，即t= 是反比例函数．
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，可得答案．
20．【答案】（1）解：设
∵点(24，50)在其图象上，
∴所求函数关系式为
（2）解：由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠30×4=120(米)，当x=120时
答：该工程队需要用10天才能完成此项任务.
【解析】【分析】（1）利用图象可知点（24，50）在反比例函数图象上，设 ，将此点坐标代入函数解析式，可求出k的值，即可得到函数解析式.
（2）利用已知条件可得到4台挖掘机每天能够开挖水渠的长度，再将x=120代入函数解析式，可求出对应的y的值.