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21.4 二次函数的应用
课程标准
会利用二次函数解决简单的实际问题
学习目标
课时1：①会分析面积、利润等实际问题中的数量关系，建立二次函数模型；②会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题． 课时2：①会根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标；②会用简便的方法求出二次函数解析式，从而用二次函数的知识解决实际问题． 课时3：①掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；②利用二次函数知识解决运动中的有关问题；③能运用二次函数的图象与性质进行决策．
知识点01 面积问题中的二次函数模型
·已知正方形的边长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=a2
·已知矩形的周长为c，长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=(c-a)a=-a2+ca
·已知圆的半径为r，面积为S，S关于r的二次函数：S=πr2
·已知扇形的圆心角为n，对应的圆的半径为r，扇形的面积为S，S关于r的二次函数：
【即学即练1】已知一个直角三角形两直角边长之和为10 cm，则这个直角三角形的最大面积为（ ）
A．6．25 cm2 B．12．5 cm2 C．25 cm2 D．31．25 cm2
【即学即练2】（（2024 吉林二模）如图，学校要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形ABCD的面积为150平方米，求矩形的边BC的长．
（2）要想使花圃的面积最大，BC边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
知识点02 数学建模——二次函数
①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题；
②表示出相关点的坐标；
③建立二次函数模型：求二次函数关系式
④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等）
【即学即练3】陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息．如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝3米，AB＝2米，窑洞的最高点M（抛物线的顶点）离地面OA的距离为米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点D、E在矩形OABC的边BC上，点F、G在抛物线上，那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米？
【即学即练4】（2024·河南洛阳·一模）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为d米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；
(3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
知识点03 销售等实际问题中的二次函数模型
·根据实际问题中的信息确定二次函数关系式：
①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式．
·根据题意解决问题并做出决策
·增长率问题：第三次的值=第一次的值×(1+增长率)
特别注意：
在实际问题中，将二次函数模型化为顶点式后，求取得最值时的自变量的值时：不要忽视实际情况下自变量x的取值范围．
【题型一：图形问题——求最大面积或最大周长】
例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设．
(1)若矩形的面积为，求的长；
(2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
变式1．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
【技巧方法与总结】①根据条件确定二次函数关系式；②将二次函数关系式化为顶点式；③利用二次函数的最值求值
【题型二：图形上的动点运动问题】
例2．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为
(1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)求的面积的最大值．
变式2．如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？
（2）设梯形ABQP的面积为y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求当x等于多少时，梯形ABQP的面积是梯形ABCD的一半？
【方法技巧与总结】
①确定二次函数的函数的关系式（关键是：找到三角形的边与高，用未知数表示）；②注意分情况讨论
【题型三：拱桥&隧道问题】
例3．如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由；
(3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由．
变式3．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标．
【技巧方法与总结】（1）待定系数法求出抛物线的解析式．（2）构造一元二次方程解题：①设动点的横坐标，利用已知解析式表示纵坐标；②表示线段长和线段间的等量关系——建立方程；
【题型四：投球问题】
例4．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；
(3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．
变式4-1． 如图，已知排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2．24米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方1．8米的点向正前方飞出，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点．建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当球上升的最大高度为3．3米时，对方距球网0．3米的点处有一队员，他起跳后能拦截的最大高度为2．9米，这次他是否可以拦网成功？请通过计算说明．
(2)若该队员发球既要过球网，又不出边界，求排球飞行的最大高度的取值范围．（排球压线属于没出界）
变式4-2．乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）当乒乓球到达最高点时，与球台之间的竖直高度是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
（3）求满足条件的抛物线解析式．
【方法技巧与总结】①待定系数法确定函数关系式；②求范围的问题：利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
【题型五：喷水问题】
例5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为 ，，，水嘴高 ．
(1)以 为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)求水柱落点与水嘴底部的距离 ．
变式5．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）求喷水管OA的长度．
【方法技巧与总结】喷泉问题：喷泉的纵截面是轴对称的，根据轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点
【题型六：销售问题——最大利润】
例6．（2024 娄底模拟）2023年12月18日，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式开园，吸引大量游客前去游玩，带火了东北美食“万物皆可冰糖”．冰糖皮皮虾的进价比冰糖青椒的进价每根贵9元，容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同．
（1）求冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价；
（2）容融在销售中发现冰糖皮皮虾每根售价15元时，每天可售出40根，每根售价提高1元时，每天少售出3根．当售价为多少时，容融获得的利润最大，利润最大为多少？（冰糖皮皮虾售价为整数）
变式6．（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大 最大值是多少
【方法总结】根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得总利润与单价（数量）之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值．
【题型七：增长率问题】
例7．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由．
变式7．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
1．如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
2．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2
C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2
3．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（ ）
A． B． C． D．
4．有12米长的木料，要做成一个窗框（如图）．如果假设窗框横档的长度为x米，那么窗框的面积是（ ）
A．x（6﹣x）米2 B．x（12﹣x）米2
C．x（6﹣3x）米2 D．x（6﹣x）米2
5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不能确定
二、解答题
6．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式．
7．2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m．
（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
8．（2023·山东菏泽·三模）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1．5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）；
(2)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
(3)求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大．
9．（2024 兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：
水平距离x（m） 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度y（m） 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
10．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为．
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？
11．（2024 贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
12．（2023·安徽合肥·一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
13．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点．请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．
1．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？
2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）为贯彻落实国家关于全面推进城镇老旧小区改造提升和城市更新工作，以人民为中心，努力提高保障和改善民生水平，切实解决老旧小区的配套设施，提升居民的幸福指数．合肥某小区计划在的中央广场种植景观树和花卉．
市场调查发现：花卉的种植费用y（元/）与花卉的种植面积x（）之间的函数关系如图所示，景观树的种植费用为15元/．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)花卉的种植面积不少于，且景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，当x为何值时，种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的坐标可能为（ ）
A．（，） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，3）中小学教育资源及组卷应用平台
21．4 二次函数的应用
课程标准
会利用二次函数解决简单的实际问题
学习目标
课时1：①会分析面积、利润等实际问题中的数量关系，建立二次函数模型；②会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题． 课时2：①会根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标；②会用简便的方法求出二次函数解析式，从而用二次函数的知识解决实际问题． 课时3：①掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；②利用二次函数知识解决运动中的有关问题；③能运用二次函数的图象与性质进行决策．
知识点01 面积问题中的二次函数模型
·已知正方形的边长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=a2
·已知矩形的周长为c，长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=(c-a)a=-a2+ca
·已知圆的半径为r，面积为S，S关于r的二次函数：S=πr2
·已知扇形的圆心角为n，对应的圆的半径为r，扇形的面积为S，S关于r的二次函数：
【即学即练1】已知一个直角三角形两直角边长之和为10 cm，则这个直角三角形的最大面积为（ ）
A．6．25 cm2 B．12．5 cm2 C．25 cm2 D．31．25 cm2
【答案】B
【详解】解：设一条直角边长为，则另一条直角边长为，
∴，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
故选：B．
【即学即练2】（2024 吉林二模）如图，学校要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形ABCD的面积为150平方米，求矩形的边BC的长．
（2）要想使花圃的面积最大，BC边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【思路点拔】（1）根据题意：矩形的面积＝AB BC，设未知数列方程可解答；
（2）设BC为x米，矩形的面积为y平方米，则AB＝（40﹣x）米，可得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可．
【解答】解：（1）设BC为x米，则AB＝（40﹣x）米，
由题意得：x（40﹣x）＝150，
解得：x1＝30，x2＝10，
∵墙长为16米，
∴0＜x≤16，
∴x＝10，
∴BC＝12米，
答：矩形的边BC的长为10米；
（2）设BC为x米，矩形的面积为y平方米，则AB＝（40﹣x）米，
∴y＝x（40﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200，
∵0＜x≤16，且﹣＜0，故抛物线开口向下，
∴当x＝16时，y有最大值是192，
答：BC边的长应为16米时，有最大面积，且最大面积为192平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
知识点02 数学建模——二次函数
①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题；
②表示出相关点的坐标；
③建立二次函数模型：求二次函数关系式
④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等）
【即学即练3】陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息．如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝3米，AB＝2米，窑洞的最高点M（抛物线的顶点）离地面OA的距离为米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点D、E在矩形OABC的边BC上，点F、G在抛物线上，那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米？
解：（1）由题意得，点M、B的坐标分别为：（，）、（3，2），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣）2+，
将点B的坐标代入上式得：2＝a（3﹣）2+，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2+；
（2）设正方形的边长为2m，
由题意得，点G（﹣m，2+2m），
将点G的坐标代入二次函数表达式得：2+2m＝﹣（﹣m﹣）2+，
解得：m＝（米），
故正方形窗户DEFG的边长为1米．
【即学即练4】（2024·河南洛阳·一模）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为d米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；
(3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，理由见解析
【详解】（1）解：由题意得：是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得(舍去)，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（3）∵米，米，米，
∴点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
知识点03 销售等实际问题中的二次函数模型
·根据实际问题中的信息确定二次函数关系式：
①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式．
·根据题意解决问题并做出决策
·增长率问题：第三次的值=第一次的值×(1+增长率)
特别注意：
在实际问题中，将二次函数模型化为顶点式后，求取得最值时的自变量的值时：不要忽视实际情况下自变量x的取值范围．
【题型一：图形问题——求最大面积或最大周长】
例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设．
(1)若矩形的面积为，求的长；
(2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)当的长时，矩形的面积最大，最大面积是．
【详解】（1）解：，，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
当时，，
即当的长时，矩形的面积最大，最大面积是．
变式1．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
【思路点拔】设AB的长为x米，则AD的长为米，根据矩形的面积公式列出面积S关系x的函数解析式，再根据函数的性质求最值时x的值．
解：设AB的长为x米，则AD的长为米，
由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵48﹣4x＞0，
∴x＜12，
∴0＜x＜12，
∵﹣2＜0，
∴当x＝6时，矩形的面积有最大值，
故选：A．
【技巧方法与总结】①根据条件确定二次函数关系式；②将二次函数关系式化为顶点式；③利用二次函数的最值求值
【题型二：图形上的动点运动问题】
例2．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为
(1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)求的面积的最大值．
【详解】（1）∵，，，
，
即；
（2）由知，，
，
当时，随的增大而增大，
而，
当时，，
即的最大面积是．
变式2．如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？
（2）设梯形ABQP的面积为y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求当x等于多少时，梯形ABQP的面积是梯形ABCD的一半？
【思路点拔】（1）四边形PQCD成为平行四边形，即PD＝CQ，而PD和CQ都可以用含有时间t的代数式表示，即列方程进行解答．
（2）因为S梯形ABQP＝，而AB为已知，BQ、AP都可用x表示，所以y与x之间的关系式即可表示出来．
（3）梯形ABCD的面积可根据题中数值进行求解，而梯形ABQP的面积公式由（2）以求得，所以此问只需解方程即可．
解：（1）因为PD∥CQ，所以PD＝CQ时，四边形PDCQ为平行四边形．
若设t秒后为平行四边形，此时PD＝24﹣t，CQ＝3t，所以
24﹣t＝3t
∴t＝6
（2）∵S梯形ABQP＝
BQ＝26﹣3x，AP＝x，AB＝8，
∴y＝
即y＝﹣8x+104（）．
（3）S梯形ABCD＝，
由题可知＝×200＝100，
解之得x＝，
即x＝时梯形ABQP的面积是梯形ABCD的一半．
【方法技巧与总结】
①确定二次函数的函数的关系式（关键是：找到三角形的边与高，用未知数表示）；②注意分情况讨论
【题型三：拱桥&隧道问题】
例3．如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由；
(3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
(3)现有钢拱架支护材料够用，见解析
【详解】（1）解：由题意，∵，
∴设抛物线的表达式为，
由得，
，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵货车宽，
∴当货车从门中间进入时，把代入，
得，
∴货车不能正常驶入；
（3）解：由题意，设点，则点，
由题意得，
∵点G在点A的下方，
∴，
∴或，
∵令，
∴或，
∴或（舍去）；
∵，
∴当时，有最大值，
∴的最大值为：
，
∴现有钢拱架支护材料够用．
变式3．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）∵米，
∴设抛物线的函数表达式为
将点，代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是；
（2）由题意，设点，则点，，
由题意，得
解得，，
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，
∴点的坐标为．
【技巧方法与总结】（1）待定系数法求出抛物线的解析式．（2）构造一元二次方程解题：①设动点的横坐标，利用已知解析式表示纵坐标；②表示线段长和线段间的等量关系——建立方程；
【题型四：投球问题】
例4．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；
(3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．
【答案】(1)
(2)坐标为
(3)符合条件的的整数值为7，8
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：直线与轴的交点就是所求的点，如图所示：
的顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，即直线与轴的交点为，
点坐标为；
（3）解：小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球，
设接球点为点，点坐标为，如图所示：
则，
把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
，
符合条件的的整数值为7，8．
变式4-1． 如图，已知排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2．24米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方1．8米的点向正前方飞出，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点．建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当球上升的最大高度为3．3米时，对方距球网0．3米的点处有一队员，他起跳后能拦截的最大高度为2．9米，这次他是否可以拦网成功？请通过计算说明．
(2)若该队员发球既要过球网，又不出边界，求排球飞行的最大高度的取值范围．（排球压线属于没出界）
【答案】(1)能成功，见解析
(2)
【详解】（1）解：根据题意知此时抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
排球飞行的高度与水平距离的函数关系式为，
由题意当时，，
故这次他可以拦网成功；
（2）设抛物线解析式为，
将点代入，得：，即，
此时抛物线解析式为，
根据题意，得：，
解得：．
答：排球飞行的最大高度的取值范围是．
变式4-2． 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）当乒乓球到达最高点时，与球台之间的竖直高度是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
（3）求满足条件的抛物线解析式．
【思路点拔】（1）依据题意，根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）依据题意，根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y＝0 时，x＝230；
（3）依据题意，待定系数法求解析式即可求解．
【解答】解：（1）描出各点，画出图象如下：
（2）观察表格数据，可知当x＝50和x＝130 时，函数值相等，
∴对称轴为直线x＝90，顶点坐标为（90，49）．
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，
当y＝0时，x＝230．
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230．
（3）由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣90）2+49，
将（230，0）代入得，0＝a（230﹣90）2+49，
∴解得：a＝﹣0.0025．
∴抛物线解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49．
【方法技巧与总结】①待定系数法确定函数关系式；②求范围的问题：利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
【题型五：喷水问题】
例5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为 ，，，水嘴高 ．
(1)以 为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)求水柱落点与水嘴底部的距离 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
∵，，
∴
∵．
∴
把代入得：
∴
∴
∴
（2）解：令
∴
∴
解得：，
∴点
∴
变式5．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）求喷水管OA的长度．
【思路点拔】（1）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；
（2）求出x＝0时y的值即可．
【解答】解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）当x＝0时，
y＝﹣×（0﹣1）2+3＝，
∴喷水管OA的长度为m．
【方法技巧与总结】喷泉问题：喷泉的纵截面是轴对称的，根据轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点
【题型六：销售问题——最大利润】
例6．（2024 娄底模拟）2023年12月18日，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式开园，吸引大量游客前去游玩，带火了东北美食“万物皆可冰糖”．冰糖皮皮虾的进价比冰糖青椒的进价每根贵9元，容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同．
（1）求冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价；
（2）容融在销售中发现冰糖皮皮虾每根售价15元时，每天可售出40根，每根售价提高1元时，每天少售出3根．当售价为多少时，容融获得的利润最大，利润最大为多少？（冰糖皮皮虾售价为整数）
【思路点拔】（1）设冰糖皮皮虾每根的进价是x元，则冰糖青椒每根的进价是（x﹣9）元，根据容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设每根售价为m元，每天的销售利润为y元，根据题意列出y关于m的二次函数关系式，即可解决问题．
【解答】解：（1）设冰糖皮皮虾每根的进价是x元，则冰糖青椒每根的进价是（x﹣9）元，
由题意得：＝，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣9＝3，
答：冰糖皮皮虾每根的进价是12元，冰糖青椒每根的进价是3元；
（2）设每根售价为m元，每天的销售利润为y元，
由题意可知，当m＝15时，每天可售出40根，
当每根售价为m元时，每天可售[40﹣3（m﹣15）]根，每根的利润为（m﹣12），
∴y＝（m﹣12） [40﹣3（m﹣15）]＝﹣3m2+121m﹣1020＝﹣3（m﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当m＝时，y有最大值，
∵冰糖皮皮虾售价为整数，
∴当m＝20时，y＝8×25＝200；
当m＝21时，y＝9×22＝198；
∵200＞198，
∴当售价为20元时，容融获得的利润最大，利润最大为200元．
变式6．（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大 最大值是多少
【答案】(1)
(2)，当时，w取最大值，最大值为320
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表中数据知，当时，，当时，，
，
解得，
y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意知， ，
即w与x之间的函数关系式为；
，
当时，w取最大值，最大值为320．
【方法总结】根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得总利润与单价（数量）之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值．
【题型七：增长率问题】
例7．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由．
【答案】(1)5%
(2)能突破，理由见解析
【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得
，
解得，（不合题意，舍去），
答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%；
（2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元，
理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元），
∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式7．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
【思路点拔】（1）设每次降价的百分率是m%，可得：20（1﹣m%）2＝14.45，解方程并检验可得答案；
（2）设每个应降价x元，
①根据每个售价×销售量＝销售额列方程，即可解得答案；
②设甲商品每天的销售利润为W元，可得W＝（20﹣x﹣12）（40+10x）＝﹣10（x﹣2）2+360，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率是m%，
根据题意得：20（1﹣m%）2＝14.45，
解得m%＝15%或m%＝185%（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率是15%；
（2）设每个应降价x元，
①根据题意得：（20﹣x）（40+10x）＝1190，
解得x＝3或x＝13，
∵售价不低于进价，
∴x＝13舍去，
∴x＝3，
∴每个应降价3元；
②设甲商品每天的销售利润为W元，
根据题意得W＝（20﹣x﹣12）（40+10x）＝﹣10x2+40x+320＝﹣10（x﹣2）2+360，
∵﹣10＜0，
∴当x＝2时，W取最大值，最大值为360，
∴每个应该降价2元，此时最大利润为360元．
1．如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，
∴，
∵，
∴该函数图象的开口向下，
∴当时，面积最大，为，
故选D．
2．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2
C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2
【思路点拔】根据两次降价后的价格等于原价乘以（1﹣每次降价的百分率）2，列出函数关系式，即可求解．
【解答】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y＝4000（1﹣x）2．
故选：B．
3．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意，设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则，
则，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，且为，
则能建成的饲养室最大总占地面积为，
故选：B．
4．有12米长的木料，要做成一个窗框（如图）．如果假设窗框横档的长度为x米，那么窗框的面积是（ ）
A．x（6﹣x）米2 B．x（12﹣x）米2
C．x（6﹣3x）米2 D．x（6﹣x）米2
【解答】解：竖档的长度＝（12﹣3x）÷2＝6﹣1.5x，
∴窗框的面积＝长×宽
＝x（6﹣1.5x）
＝x（6﹣x）米2．
故选：D．
5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：设窗框的长为，
，
根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，
即，
；
故选A．
二、解答题
6．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式．
【答案】
【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
7．2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m．
（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）设AB的长为x m，根据篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长，利用矩形的面积公式，可列出关于x的一元二次方程，解之即可求出结论；
（2）假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为y m，则BC的长为m，利用矩形的面积公式，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣700＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．
【解答】解：（1）设AB的长为x m，则矩形的宽BC＝（30﹣x）m，
由题意得：x+（30﹣x）＝100，
解得 x1＝10．x2＝20，
∵墙的最大可用长度为15米，
∴0＜x≤15，
∴x＝10，
即BC的长为10m；
（2）养殖园的面积不能达到100m2，理由如下：
假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为y m，则BC的长为m，
根据题意得：y ＝100，
整理得：y2﹣30y+400＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．
8．（2023·山东菏泽·三模）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1．5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）；
(2)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
(3)求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大．
【答案】(1)每盒产品的成本为30元；
(2)
(3)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元
【详解】（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，
，
每盒产品的成本是：（元，
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得，
关于的函数解析式为：；
（3）由（2）知，
∵，
∴抛物线开口向下，
当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元．
9．（2024 兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：
水平距离x（m） 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度y（m） 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
【思路点拔】（1）依据题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝15，故抛物线的顶点为（15，9），从而可设抛物线为y＝a（x﹣15）2+9，又抛物线过（10，8），求出a即可得解；
（2）依据题意，结合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，令x＝5，则y＝﹣（5﹣15）2+9＝5，计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝15，
∴抛物线的顶点为（15，9）．
∴可设抛物线为y＝a（x﹣15）2+9．
又抛物线过（10，8），
∴25a＝﹣1．
∴a＝﹣．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣15）2+9．
（2）由题意，结合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，
∴令x＝5，则y＝﹣（5﹣15）2+9＝5．
∴水火箭距离地面的竖直高度为5m．
10．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为．
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？
【答案】(1)2．25m
(2)1．25m
(3)半径至少为2．5m
【详解】（1）解：水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，
喷出的水流离地面的最大高度为：2．25m；
（2）解：当，则m，
答：喷嘴离地面的高度为1．25m；
（3）解：由题意可得；时，，
解得：，（不合题意，舍去），
答：水池半径至少为2．5m时，才能使喷出的水流不落在水池外．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出以及的意义是解题关键．
11．（2024 贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【思路点拔】（1）设y与x的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），把表格中的两组数值代入可得k和b的值，即可求出y与x的函数关系式；
（2）设日销售利润为w元，w＝每盒糖果的利润×销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少；
（3）得到新的日销售利润的关系式，根据二次函数的性质，最大利润为392元，那么＝392．求得相应的m的值后，取合适的解即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．
∴．
解得：．
∴y＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元．
w＝（x﹣10）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+100x﹣800
＝﹣2（x2﹣50x+625）﹣800+1250
＝﹣2（x﹣25）2+450．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）w＝（x﹣10﹣m）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+（100+2m）x﹣800﹣80m．
∵最大利润为392元，
∴＝392．
整理得：m2﹣60m+116＝0．
（m﹣2）（m﹣58）＝0．
解得：m1＝2，m2＝58．
当m＝58时，x＝﹣＝54，
∴每盒糖果的利润＝54﹣10﹣58＝﹣14（元）．
∴舍去．
答：m＝2．
12．（2023·安徽合肥·一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【答案】(1)
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【详解】（1）解：根据题意，顶点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：；
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：时，
，
∴不能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车不能安全通过隧道．
13．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点．请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意，，，，，
设抛物线的解析式为，
将、、代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：根据题意，设，则，，
将L坐标代入中，得，
解得或（舍去），
∴，
答：两个正方形装置的间距的长为．
1．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？
【答案】(1)
(2)1米
【详解】（1）解：∵在矩形中，米，米，
∴米，米，
∴，，，
∴抛物线的对称轴是直线，
又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米，
∴，
设抛物线的解析式是：，
将点C代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）设这个正方形窗户 的边长为米，
即，
∴点G的纵坐标是：(米)，
由抛物线和正方形的对称性可知：，
∴(米)，
∴点G的横坐标是：(米)，
∴，
将点G代入抛物线解析式得：，
解得：(舍去)
∴这个正方形窗户的边长为1米．
2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）为贯彻落实国家关于全面推进城镇老旧小区改造提升和城市更新工作，以人民为中心，努力提高保障和改善民生水平，切实解决老旧小区的配套设施，提升居民的幸福指数．合肥某小区计划在的中央广场种植景观树和花卉．
市场调查发现：花卉的种植费用y（元/）与花卉的种植面积x（）之间的函数关系如图所示，景观树的种植费用为15元/．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)花卉的种植面积不少于，且景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，当x为何值时，种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【答案】(1)
(2)当时，种植的总费用最少，最少为2700元；
【详解】（1）解：当时，；
当时，
设函数关系式为，
∵线段过点，，
，
解得：，
，
当时，，
即：；
（2）解：花卉的种植面积不少于，
，
又景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，
解得：，
，
当时，
由（1）知，，
景观树的种植费用为15元/．
，
当时，；
当时，
由（1）知， ，
，
∴当时， ，
，
当时，种植的总费用最少，最少为2700元；
如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的坐标可能为（ ）
A．（，） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，3）
【思路点拔】连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB＝PD，推出PB+PE＝PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BE＝a，AD＝AB＝2a，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题．
【解答】解：如图，连接PD，设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BE＝a．
∴AE＝EB＝a，AD＝AB＝2a，
∵B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，如图：
在Rt△AED中，DE＝a，
∴PB+PE的最小值为a，
∴点Q的纵坐标为a，
∵AE∥CD，
∴＝2，
∵AC＝2a，
∴PC＝2×＝a，
∴点Q的横坐标为a，
∴Q（a，a）．
结合选项可知，当a＝3时，点Q的坐标为（4，3）．
故选：D．
