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人教版九年级上册数学《第二十二章 二次函数》
章 末 检 测 卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．已知y＝（m﹣2）x+2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．0或2
2．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
3．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
D．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
4．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝36（1﹣x） B．y＝36（1+x）
C．y＝18（1﹣x）2 D．y＝18（1+x2）
4．（2024 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，且A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
5．（2024 沈阳模拟）函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．将抛物线y＝﹣x2+1向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x﹣2）2 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣x2+3
7．（2024 固始县二模）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
9．（2024 高新区校级三模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2024 永善县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11．已知抛物线的顶点为（3，﹣2）且与抛物线y＝﹣x2的形状、开口方向相同，则这条抛物线的表达式为 ．
12．（2024 梁溪区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 ．
13．请将函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
14．已知一次函数y＝kx+4的图象与y轴的交点为P，若二次函数y＝ax2﹣5ax+4a的图象经过点P，则二次函数的解析式为 ．
15．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P在抛物线上，连接PA，PB，则当△PAB的面积为1时，点P的坐标是 ．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0）．请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标．
18．（8分）用配方法把函数y＝﹣3x2﹣6x+10化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
19．（8分）求出符合下列条件的抛物线的解析式：
（1）顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5）；
（2）将抛物线y＝x2的图象先向下平移2个单位，再绕其顶点旋转180°；
（3）抛物线与x轴交于点M（﹣1，0）、N（2，0），且经过点（1，2）．
20．（8分）（2024 柘城县校级四模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为ydm，与射水鱼的水平距离为xdm，y与x的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+k，水柱的最大高度为6dm．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
21．（9分）（2024 沧州一模）设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且两图象开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”．
（1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+b﹣1（b为常数，且b≠0）．
（1）求证：抛物线与y轴必有交点；
（2）求抛物线顶点所在的函数解析式；
（3）直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点，且与抛物线交于另一个点A，当时，求k的值．
23．（10分）某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件x万件．所获总利润y万元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？
（3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量，求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？
24．（12分）（2024 市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
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章 末 检 测 卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．已知y＝（m﹣2）x+2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．0或2
【思路点拔】根据二次函数的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：依题意得：m2﹣2m+2＝2且m﹣2≠0，
解得m＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，注意二次函数二次项的系数不能为零．
2．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
【思路点拔】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．
【解答】解：由图表可知，ax2+bx+c＝0时，3.24＜x＜3.25．
故选：B．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．
3．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
D．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
【思路点拔】把a＝1，x＝﹣1代入y＝ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△＝8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x＝1判断二次函数的增减性．
【解答】A、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故A错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；
C、∵当a＝1，x＝﹣1时，y＝1+2﹣1＝2，
∴函数图象不经过点（﹣1，1），故C错误，不符合题意；
D、当a＝﹣2时，∵△＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝36（1﹣x） B．y＝36（1+x）
C．y＝18（1﹣x）2 D．y＝18（1+x2）
【思路点拔】原价为18，第一次降价后的价格是18×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1﹣x）×（1﹣x）＝18（1﹣x）2，则函数解析式即可求得．
【解答】解：原价为18，
第一次降价后的价格是18×（1﹣x）；
第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1﹣x）×（1﹣x）＝18（1﹣x）2．
则函数解析式是：y＝18（1﹣x）2．
故选：C．
【点评】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
4．（2024 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，且A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
【思路点拔】先根据二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，得出k＜﹣1，则抛物线开口向上，进而得出对称轴为直线，根据离对称轴越远的点的函数值越大，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，
∴﹣1﹣k＞0，
解得：k＜﹣1，则﹣k＞0，
∴抛物线开口向上，
由y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k可得抛物线的对称轴为直线，
∵A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，
∵，
∴y3＞y2＞y1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，此时函数有最大值．
5．（2024 沈阳模拟）函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，和x轴的负半轴相交，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+3x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6．将抛物线y＝﹣x2+1向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x﹣2）2 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣x2+3
【思路点拔】根据左加右减，上加下减可得函数解析式y＝﹣x2+1+2，再整理即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+1向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为y＝﹣x2+1+2＝﹣x2+3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．（2024 固始县二模）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0
【思路点拔】由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，
∵3﹣1＞1﹣0，
∴当x＝3时，y有最小值0，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【思路点拔】先把a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得x1+x22，再根据对称轴公式求出∴6，代入即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，
∴ax2+（b﹣2a）x+a+c﹣m2﹣b＝0，
∴x1+x22，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，
∴3，
∴6，
∴x1+x2＝6+2＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
9．（2024 高新区校级三模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【思路点拔】分别作出两条抛物线的对称轴PM，QN，交AD于点M，N，得四边形PMNQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QN，交AD于点M，N，
∴四边形PMNQ是矩形，
∴MN＝PQ，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
∴，，
∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝（AB+BC+CD）﹣AM﹣ND，，
∴PQ＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
10．（2024 永善县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据二次函数的图象得a＞0，c＜0；根据抛物线与x轴有两个交点得Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；根据当x＝1时，y＜0得a+b+c＜0，又因为c＜0则a+b+2c＜0；根据抛物线对称轴是直线得b＝﹣2a，根据当x＝﹣1时，y＞0，即可得a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，可得3a+c＞0；综上，即可得．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵c＜0，
∴a+b+2c＜0；
∵抛物线对称轴是直线，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
则a+2a+c＞0，3a+c＞0；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质．
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11．已知抛物线的顶点为（3，﹣2）且与抛物线y＝﹣x2的形状、开口方向相同，则这条抛物线的表达式为 ．
【思路点拔】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣3）2﹣2，然后利用二次项系数的意义得到a＝﹣，从而得到所求抛物线的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
因为抛物线y＝a（x﹣3）2﹣2与抛物线y＝﹣x2的形状、开口方向相同，
所以a＝﹣，
所以所求抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣2．
故答案为y＝﹣（x﹣3）2﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
12．（2024 梁溪区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 ．
【思路点拔】先把二次函数解析式化为一般式，然后利用对称轴方程得到2，于是解方程即可．
【解答】解：y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）＝x2+（a﹣1）x﹣2a2+a，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴2，
∴a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．请将函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
【思路点拔】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x2+4x+4）﹣2+1＝（x+2）2﹣1，
即y＝（x+2）2﹣1．
故答案为y＝（x+2）2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
14．（2023秋 黄埔区期末）已知一次函数y＝kx+4的图象与y轴的交点为P，若二次函数y＝ax2﹣5ax+4a的图象经过点P，则二次函数的解析式为 ．
【思路点拔】由一次函数的解析式求得P点的坐标，把P的坐标代入y＝ax2﹣5ax+4a，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+4的图象与y轴的交点为P，
∴P（0，4），
∵二次函数y＝ax2﹣5ax+4a的图象经过点P，
∴4a＝4，
解得a＝1，
∴二次函数为y＝x2﹣5x+4．
故答案为：y＝x2﹣5x+4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15．（2023 立山区一模）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．
【思路点拔】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1）的横坐标，即x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P在抛物线上，连接PA，PB，则当△PAB的面积为1时，点P的坐标是 ．
【思路点拔】求出点A、B的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线解析式，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，则|yP﹣yQ|＝1，即可求解．
【解答】解：y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，
∴点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，
∴，解得，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
连接PA、PB，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
±
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠PQH＝45°，
S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，
则PQ＝yP﹣yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，
故：|yP﹣yQ|＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），
即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，
解得：x＝﹣1或﹣1
故点P（﹣1，2）或（﹣1+，）或（﹣1﹣，﹣）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0）．请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标．
【思路点拔】先将点（3，0）代入（3，0），解得b的值，再将二次函数配方，写成顶点式即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0），
∴0＝9+3b+3，
∴b＝﹣4．
∴y＝x2﹣4x+3
＝（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质及配方法是解题的关键．
18．（8分）用配方法把函数y＝﹣3x2﹣6x+10化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
【思路点拔】（1）这个函数的二次项系数是﹣3，配方法变形成y＝（x+h）2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数﹣3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+10
＝﹣3（x+1）2+13，
∴开口向下，对称轴x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，13），最大值13．
【点评】本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题．
19．（8分）求出符合下列条件的抛物线的解析式：
（1）顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5）；
（2）将抛物线y＝x2的图象先向下平移2个单位，再绕其顶点旋转180°；
（3）抛物线与x轴交于点M（﹣1，0）、N（2，0），且经过点（1，2）．
【思路点拔】（1）设抛物线顶点式解析式为y＝a（x+1）2﹣3，然后把与y轴的交点坐标代入函数解析式求出a的值即可；
（2）根据向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转利用顶点式解析式写出函数解析式即可；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），把经过的点的坐标代入函数解析式求出a的值，整理即可得解．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式解析式为y＝a（x+1）2﹣3，
则a（0+1）2﹣3＝﹣5，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5，
即y＝﹣2x2﹣4x﹣5；
（2）∵抛物线y＝x2的图象先向下平移2个单位后的顶点坐标为（0，﹣2），
∴平移后再绕顶点旋转180°后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），
则a（1+1）（1﹣2）＝2，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，
即y＝﹣x2+x+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的顶点式解析式，交点式解析式的形式是可以使求解更加简便．
20．（8分）（2024 柘城县校级四模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为ydm，与射水鱼的水平距离为xdm，y与x的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+k，水柱的最大高度为6dm．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
【思路点拔】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动n dm才能击中昆虫，根据平移的性质得出平移后的解析式，再把A（3，）代入解析式求出m即可．
【解答】解：（1）∵水柱的最大高度为6dm，即k＝6，
∴y与x的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6，
∵抛物线经过原点，
∴4a+6＝0，
解得a，
∴y关于x的函数表达式为y（x﹣2）2+6；
（2）设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动n dm才能击中昆虫，
则此时y关于x的函数表达式为y（x﹣2﹣m）2+6，
把A（3，）代入解析式得：（3﹣2﹣m）2+6，
解得m1，m2，
∴射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动dm或dm才能击中昆虫．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是求出函数解析式．
21．（9分）（2024 沧州一模）设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且两图象开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”．
（1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值．
【思路点拔】（1）先求出y＝x2+x+1的顶点坐标，然后根据同倍项二次函数的定义求出答案；
（2）先求出y1和y1+y2的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a＝2c，b＝2d，且开口方向相同求出n的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+x+1，
∴y＝（x）2，
∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（，），
∴二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”的顶点坐标为（﹣1，），
∴同倍项二次函数的解析式为y＝（x+1）2；
（2）y1＝x2+nx＝（x）2，
顶点坐标为（，），
y1+y2＝x2+nx+x2+3nx+1＝2x2+4nx+1＝2（x+n）2+1﹣2n2，
顶点坐标为（﹣n，1﹣2n2），
∵y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，
∴1﹣2n2＝2×（），
解得：n＝±．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“同倍项二次函数”的定义，理解题意，按条件的要求求得答案即可．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+b﹣1（b为常数，且b≠0）．
（1）求证：抛物线与y轴必有交点；
（2）求抛物线顶点所在的函数解析式；
（3）直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点，且与抛物线交于另一个点A，当时，求k的值．
【思路点拔】（1）计算x＝0时，y＝b﹣1，因为b≠1，得到结论；
（2）利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（b，b2+b﹣1），设xb，yb2+b﹣1，然后消去b得到y与x的关系式即可；
（3）先把抛物线的顶点坐标代入y＝kx﹣1得到b2+b﹣1bk﹣1，则b＝2k+4，所以抛物线解析式为y＝x2+（2k+4）x+2k+3，再解方程kx﹣1＝x2+（2k+4）x+2k+3得A点坐标为（﹣2，﹣2k﹣1），接着利用两点间的距离公式得到22+（﹣2k﹣1）2＝5，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵令x＝0，
则y＝b﹣1，
∵b为常数，且b≠0，
∴抛物线与y轴必有交点；
（2）解：∵y＝x2+bx+b﹣1＝（xb）2b2+b﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（b，b2+b﹣1），
设xb，yb2+b﹣1，
∵b＝﹣2x，
∴y （﹣2x）2﹣2x﹣1，
即y＝﹣x2﹣2x﹣1，
∴抛物线顶点所在的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1；
（3）∵直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点，
∴b2+b﹣1bk﹣1，
∴b＝2k+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k﹣1），
抛物线解析式为y＝x2+（2k+4）x+2k+3，
解方程kx﹣1＝x2+（2k+4）x+2k+3得x1＝﹣2，x2＝﹣k﹣2，
∴A点坐标为（﹣2，﹣2k﹣1），
∵OA，
∴22+（﹣2k﹣1）2＝5，
解得k1＝0（舍去），k2＝﹣1，
即k的值为﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和待定系数法求函数解析式．
23．（10分）某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件x万件．所获总利润y万元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？
（3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量，求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？
【思路点拔】（1）根据题意即可得到结论；
（2）设安排甲零件的产量x万件，则安排乙零件的产量（80﹣x）万件，根据题意得到10x+8（80﹣x）≤740，解不等式即可得到结论；
（3）甲种零件售价提高m元时，可获总利润w元，根据题意得到合适解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（16﹣10）x+（12﹣8）（80﹣x），
即y与x的函数关系式是y＝2x+320；
（2）设安排甲零件的产量x万件，则安排乙零件的产量（80﹣x）万件，
根据题意得：10x+8（80﹣x）≤740，
解得：x≤50，
由（1）知y＝2x+320，
∵2＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y有最大值，y最大＝2×50+320＝420，
此时80﹣50＝30（万件）．
答：安排甲零件的产量50万件，则安排乙零件的产量30万件，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元；
（3）甲种零件售价提高m元时，可获总利润w元，
则w＝（16+m﹣10）（50﹣5m）+（12﹣8）[80﹣（50﹣5m）]，
∴w＝﹣5m2+40m+420＝﹣5（m﹣4）2+500，
∵﹣5＜0，开口向下，
∴w有最大值，
当m＝4时，w最大＝500．
答：甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元．
【点评】本题考查的是用二次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用二次函数求最值时，关键是应用二次函数的性质；即由函数w随m的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
24．（12分）（2024 市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决即可；
（2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，m2m+4）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）分三种情形分别解决问题即可；
【解答】解：（1）把A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）的坐标代入y＝ax2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x+4．
（2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，m2m+4）．
∵直线AC的解析式为yx+4，
∴E（m，m+4），
∴PEm2+2m，
∴S△PAC（m2+2m）×6＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，△PAC的面积最大，
∴P（3，5）．
（3）如图2中，
∵A（6，0），P（3，5），
∴直线PA的解析式为yx+10，
①当AQ1⊥PA时，直线AQ′的解析式为yx，
∴Q1（2，）
②当PQ2⊥PA时，直线PQ2的解析式为yx，
∴Q2（2，）．
③当PQ3⊥AQ3时，设Q3（2，m），设PA的中点K（，），
则KQ3PA，
∴ ，
解得m＝1或4，
∴Q3（2，1）或（2，4），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（2，）或（2，）或（2，1）或（2，4）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、两直线垂直的性质的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法全等函数解析式，学会构建一次函数，解决交点坐标问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．
