新人教版七年级数学暑假自学课第二讲 有理数（含解析）

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新人教版七年级数学暑假自学课
第二讲 有理数
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 有理数的概念
正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；
整数和分数统称有理数
名师点拨
1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示.
2无限不循环小数不能用分数的形式表示。
典例剖析1 有理数的概念
例1-1． 是（　　）
A．无理数 B．有理数 C．整数 D．有限小数
例1-2．下列说法正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数
例1-3．下列说法中正确的是（ ）
A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数
C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数
知识点2 有理数的分类
①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．
按有理数的定义分类
按有理数的性质符号分类
3.几个常用数学名词的含义
（1）正整数:既是正数，又是整数的数.
（2）负整数:既是负数，又是整数的数.
（3）正分数:既是正数，又是分数的数.
（4）负分数:既是负数，又是分数的数.
（5）非负数:正数和0.
（6）非正数:负数和0.
（7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0.
（8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0.
（9）正有理数:正整数和正分数.
（10）负有理数:负整数和负分数.
（11）非正有理数:0、负整数和负分数.
（12）非负有理数:0、正整数和正分数.
（13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数.
名师点拨
0的再认识
要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数.
2不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0.
典例剖析2 有理数的分类
例2-1．把下面的有理数填在相应的大括号里：（友情提示：将各数用逗号分开）
，，，，，．
正数集合 …；
负数集合 …；
非负整数集合 …．
例2-2．把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，，
正数集合{　　　　　　　　　　　…}；
负数集合{　　　　　　　　　　　…}；
整数集合{　　　　　　　　　　　…}；
分数集合{　　　　　　　　　　　…}．
例2-3．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置．
典例剖析3 易错点剖析
易错点1 对“0”的含义理解不准确
小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界
例3-1.下列说法正确的是( )
A．0是最小的有理数 B．整数和分数统称有理数
C．所有的整数都是正数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数
易错点2 对负数表示的意义理解不清
具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示
例3-2.已知有A，B，C三个数的“家族”：
A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}．
(1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分．
(2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________.
(3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出．
易错点3 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位
例3-3.（1）如果零上记作，那么零下记作什么？
（2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？
（3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？
易错点4 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数
正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是正数,带有“-”号的数不一定是负数.
例3-4. 下列各数是正数的是（ ）
A +(-3) B -(+2) C-(-4) D -(+1)
易错点5 不能正确理解有理数的分类而出错
有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起
例3-5．下列是数的分类，正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3-6．把下列各数的序号填到相应的括号中：
①；②3.1415；③；④0.28；⑤；⑥18；⑦0；⑧；⑨.
(1)整数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)非正数集合：{ …}；
(4)分数集合：{ …}；
(5)非负整数集合：{ …}.
针对训练
针对训练1 有理数概念
1．下列说法正确的是（　）
A．有理数可分为正数，负数
B．正数没有最大的数，有最小的数
C．零既不是正数也不是负数
D．带“号”和带“”号的数互为相反数
2．下列有关“”的叙述中，错误的是( )
A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数
C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数
3．下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数也不是负数
B．0是自然数，也是整数，也是有理数
C．若一个有理数不是正数，则它一定是负数
D．如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作
针对训练2 有理数的分类
1.把下列各数分别填入相应的集合里．
，，0，，，2006，，
(1)负数集合：｛ …｝；
(2)分数集合：｛ …｝；
(3)整数巢合：｛ …｝．
2．把下列各数按要求填入相应的集合中：
，0，2，，，，，．
正整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
非负数集合：{ …}．
3．把下列各数填在相应的集合里∶1，，0.5，，，，0，．
(1)整数集合∶{ …}；
(2)正分数集合∶{ …}；
(3)非负数集合∶{ …}；
(4)负有理数集合∶{ …}．
针对训练3 易错知识专训
易错点1 对“0”的含义理解不准确
1．下列关于“0”的说法正确的有（ ）
①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下面关于0的说法，说法正确的是（ ）
A．0是最小的正数 B．0是最大的负数
C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔
易错点2 对负数表示的意义理解不清
3.把下列各数填入相应的横线上：
-2.5，10，0.22，0，，-20，+9.78，+68，0.45，+.
负整数： ；
负分数： ；
非负有理数： .
易错点3 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位
4．粮库某月前天进出粮食的记录如下：
日期
进出粮食吨
其中以运进为正，说出各天记录的实际意义．
易错点4 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数
下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？
, -(-2.1), -(+3.4), 0 , +(+2.4), +(-2.8)
易错点5 不能正确理解有理数的分类而出错
6.把下列各数填在相应的大括号内：－5，，－12，0，，－3.14，＋1.99，＋6，．
（1）正数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）分数集合：{ …}；
（4）非负整数集合：{ …}．
6．有理数中，非负数的个数有 个．
7．请把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，，，
正整数集合：{__________…}；
负分数集合：{__________…}；
自然数集合：{__________…}；
非负有理数集合：{__________…}．
能力提升
提升1 有理数概念
1.下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？
，，，，，，，．
2．把下列各数分别填在相应的横线上：
1，，325，，0，，0.618，．
正数有：__________________________________________________；
负数有：__________________________________________________；
整数有：__________________________________________________；
分数有：__________________________________________________．
3．在表中符合条件的空格里画上“√”.
提升2 有理数的分类
1 .请你仔细分类，将下列各数填在相应的表示集合的圈中：
，-36，2007，-（-2008），-|-2|，0，|-0.25|，3的倒数的相反数，50021994.
2．把下列各数填入相应的数集中：
+1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3
（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________
（3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________
3．(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
4．把下列各数填在相应的集合里．
，，，，，，，，，，．
（1）正整数集合：{ ……}．
（2）负整数集合：{ ……}．
（3）整数集合：{ ……}．
（4）正数集合：{ ……}．
（5）负分数集合：{ ……}．
（6）非负有理数集合：{ ……}．
提升3 易错知识专训
1.关于“0”的说法，正确的是（ ）
A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数
C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数
2.一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动各应记作什么？运动了6m，运动了，运动了0m各表示什么意义？
3．（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？
（3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？
4.把下列各数分别填入相应的集合：，，，，，，，，．
自然数集{ ……}；
正有理数集{ ……}；
负有理数集{ ……}；
非负数集{ ……}；
整数集{ ……}；
分数集{ ……}．
5．把下列各数分别填入相应的集合里：
（1）正数集合：{ }
（2）负数集合：{ }
（3）非正整数集合：{ }
6．把下列各数填入相应的大括号里：
正分数集合｛ …｝；
整数集合｛ …｝；
非正数集合｛ …｝；
有理数集合｛ …｝
7．把下列各数填在相应的大括号里．
，0.275，，0，，，0.1，，，，．
正整数集合｛ ……｝
非负整数集合｛ ……｝
负数集合｛ ……｝
分数集合｛ ……｝
非负数集合｛ ……｝
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第二讲 有理数（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 有理数的概念
正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；
整数和分数统称有理数
名师点拨
1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示.
2无限不循环小数不能用分数的形式表示。
典例剖析1 有理数的概念
例1-1． 是（　　）
A．无理数 B．有理数 C．整数 D．有限小数
【答案】B
【分析】本题考查有理数的概念．根据整数和分数统称为有理数即可．
【详解】解：是分数
为有理数，且为无限循环小数．
故选：B．
例1-2．下列说法正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数
【答案】A
【分析】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是熟记概念，注意0的划分范围．按照正负，有理数分为正有理数、0、负有理数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；逐一分析选项作答即可．
【详解】解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；
B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．一个有理数不是整数就是分数，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
例1-3．下列说法中正确的是（ ）
A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数
C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数
【答案】A
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键．
【详解】解：、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意；
、既不是正数也不是负数，该选项错误，不合题意；
、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意；
、是最大的负整数，该选项错误，不合题意；
故选：．
知识点2 有理数的分类
①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．
按有理数的定义分类
按有理数的性质符号分类
3.几个常用数学名词的含义
（1）正整数:既是正数，又是整数的数.
（2）负整数:既是负数，又是整数的数.
（3）正分数:既是正数，又是分数的数.
（4）负分数:既是负数，又是分数的数.
（5）非负数:正数和0.
（6）非正数:负数和0.
（7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0.
（8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0.
（9）正有理数:正整数和正分数.
（10）负有理数:负整数和负分数.
（11）非正有理数:0、负整数和负分数.
（12）非负有理数:0、正整数和正分数.
（13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数.
名师点拨
0的再认识
要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数.
2不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0.
典例剖析2 有理数的分类
例2-1．把下面的有理数填在相应的大括号里：（友情提示：将各数用逗号分开）
，，，，，．
正数集合 …；
负数集合 …；
非负整数集合 …．
【答案】 ， ，，
【分析】本题考查了正数，负数以及有理数，根据正数和负数以及非负整数的定义即可求解，熟练掌握相关定义是解题的关键．
【详解】解：正数集合，，；
负数集合，，，；
非负整数集合，；
故答案为：，；，，；．
例2-2．把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，，
正数集合{　　　　　　　　　　　…}；
负数集合{　　　　　　　　　　　…}；
整数集合{　　　　　　　　　　　…}；
分数集合{　　　　　　　　　　　…}．
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类：有理数分为整数和分数；有理数分为正有理数、0、负有理数；整数分为正整数、0、负整数．根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、负数、整数、分数．
【详解】正数集合{8，，，2，，，，　…}；
负数集合{，，，， …}；
整数集合{，8，2，0，， …}；
分数集合{，，，，，， …}．
例2-3．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置．
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字0，它不属于正数和负数，是整数．根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的数就是符合条件的数．
【详解】解：，9，0，，，，1300中，
属于正数的有：9，3.14，，1300；
属于整数的有：，9，0，1300．
所以既是正数也是整数的是9，1300．
填入数字如下图所示：
典例剖析3 易错点剖析
易错点1 对“0”的含义理解不准确
小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界
例3-1.下列说法正确的是( )
A．0是最小的有理数 B．整数和分数统称有理数
C．所有的整数都是正数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类解答即可，掌握有理数的分类是解答本题的关键．
【详解】解：A、0不是最小的有理数，是最小的非负数，原说法错误，故本项错误；
B、整数和分数统称为有理数，原说法正确，故本项正确；
C、正整数、0、负分数统称为整数，原说法错误，故本项错误；
D、零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本项错误；
故选：B．
易错点2 对负数表示的意义理解不清
具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示
例3-2.已知有A，B，C三个数的“家族”：
A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}．
(1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分．
(2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________.
(3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出．
【答案】(1)见解析;(2) －1，－4，－4.2，;(3)见解析.
【分析】（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得.
【详解】解：(1)如图所示．
(2)－1，－4，－4.2，
(3)有，是2.1.
故答案为(2)－1，－4，－4;2，;(3)有，是2.1.
【点睛】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系.
易错点3 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位
例3-3.（1）如果零上记作，那么零下记作什么？
（2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？
（3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？
【答案】（1）零下记作；（2）表示向东运动，物体原地不动记为；（3）运出记作
【分析】根据正数和负数的意义解答：
（1）零上记为正，则零下记为负；
（2）向西为负，则向东为正，原地不动记作零；
（3）运进记为正，则运出记为负．
【详解】解：（1）零上记作，那么零下记作；
（2）表示一个物体向西运动，
则表示向东运动，物体原地不动记为；
（3）仓库运进面粉记作，那么运出记作．
【点睛】本题考查了正数和负数，明确正数和负数表示的相反意义的两个量是解题的关键．
易错点4 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数
正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是正数,带有“-”号的数不一定是负数.
例3-4. 下列各数是正数的是（ ）
A +(-3) B -(+2) C-(-4) D -(+1)
【答案】C
【分析】本题考查了正负数，注意带负号的数不一定是负数；根据正负数的定义判断。
【详解】解：A+(-3) =-3. 负数 不符合题意
B -(+2)=-2 负数 不符合题意
C -(-4)=4 正数 符合题意
-(+1）=-1 负数 不符合题意
故选C
易错点5 不能正确理解有理数的分类而出错
有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起
例3-5．下列是数的分类，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识．按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案．
【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意；
整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意；
分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意；
有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
例3-6．把下列各数的序号填到相应的括号中：
①；②3.1415；③；④0.28；⑤；⑥18；⑦0；⑧；⑨.
(1)整数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)非正数集合：{ …}；
(4)分数集合：{ …}；
(5)非负整数集合：{ …}.
【答案】(1)③⑥⑦
(2)①③⑤⑧
(3)①③⑤⑦⑧
(4)①②④⑤⑧⑨
(5)⑥⑦
【分析】(1)根据有理数的分类进行判断即可；
(2)根据有理数的分类进行判断即可；
(3)根据有理数的分类进行判断即可；
(4)根据有理数的分类进行判断即可；
(5)根据有理数的分类进行判断即可．
【详解】（1）解：整数集合：{，18，0，…}；
故答案为：③⑥⑦；
（2）解：负数集合：{，，，，…}；
故答案为：①③⑤⑧；
（3）解：非正数集合：{，，，0，，…}；
故答案为：①③⑤⑦⑧；
（4）解：分数集合：{，3.1415，0.28，，，，…}；
故答案为：①②④⑤⑧⑨；
（5）解：非负整数集合：{18，0，…}.
故答案为：⑥⑦．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．
针对训练
针对训练1 有理数概念
1．下列说法正确的是（　）
A．有理数可分为正数，负数
B．正数没有最大的数，有最小的数
C．零既不是正数也不是负数
D．带“号”和带“”号的数互为相反数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数，注意带负号的数不一定是负数；根据有理数的性质，正数，零的意义，以及小于零的数是负数进行判断即可．
【详解】解：A、有理数分为正数、零、负数，故错误，不符合题意；
B、正数没有最大的，也没有最小的，故错误，不符合题意；
C、零既不是正数也不是负数，故正确，符合题意；
D、大于零的数是正数，小于零的数是负数，故错误，不符合题意；
故选：C．
2．下列有关“”的叙述中，错误的是( )
A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数
C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字“0”的意义，0既不是正数，也不是负数，0是整数，也是有理数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、0不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意；
B、0是有理数，是整数，原说法错误，符合题意；
C、0是整数，也是有理数，原说法正确，不符合题意；
D、0不是负数，是有理数，原说法正确，不符合题意；
故选B．
3．下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数也不是负数
B．0是自然数，也是整数，也是有理数
C．若一个有理数不是正数，则它一定是负数
D．如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的定义和分类，解题的关键是：
【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，故正确，不合题意；
B、0是自然数，也是整数，也是有理数，故正确，不合题意；
C、若一个有理数不是正数，则有可能为0或负数，故错误，符合题意；
D、如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作，故正确，不合题意；
故选：C．
针对训练2 有理数的分类
1.把下列各数分别填入相应的集合里．
，，0，，，2006，，
(1)负数集合：｛ …｝；
(2)分数集合：｛ …｝；
(3)整数巢合：｛ …｝．
【答案】(1)，，
(2)，，，
(3)，0，2006，
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．
（1）根据负数包括负整数和负分数解答即可；
（2）根据分数包括正分数和负分数解答即可；
（3）根据整数包括正整数，零和负整数解答即可．
【详解】（1）负数集合：｛，，，…｝．
故答案为：，，；
（2）分数集合：｛，，，，…｝．
故答案为：，，，；
（3）整数集合：｛，0，2006，，…｝．
故答案为：，0，2006，．
2．把下列各数按要求填入相应的集合中：
，0，2，，，，，．
正整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
非负数集合：{ …}．
【答案】；，，；；
【分析】本题考查了有理数的分类，按照要求填入对应的有理数即可，注意非负数为正数和0，是解题的关键．
【详解】解：正整数集合：{}；
负分数集合：{，，}；
整数集合：{}；
非负数集合：{}，
故答案为：；，，；；．
3．把下列各数填在相应的集合里∶1，，0.5，，，，0，．
(1)整数集合∶{ …}；
(2)正分数集合∶{ …}；
(3)非负数集合∶{ …}；
(4)负有理数集合∶{ …}．
【答案】(1)1，，0
(2)0.5，，
(3)1，0.5，，0，
(4)，，
【分析】本题考查了有理数的分类，按有理数的分类结合相关数的集合的概念进行分析解答即可．熟悉“有理数的分类和相关数的集合的概念”是解答本题的关键．
【详解】（1）整数集合∶{1，，0}；
（2）正分数集合∶{0.5，，}；
（3）非负数集合∶{1，0.5，，0，}；
（4）负有理数集合∶{，，}．
针对训练3 易错知识专训
易错点1 对“0”的含义理解不准确
1．下列关于“0”的说法正确的有（ ）
①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】此题考查0的意义，正确理解0的意义是解题的关键．
【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确；
0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确；
0是自然数，故③正确；
存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误；
0既是整数也是偶数，故⑤正确；
故选：C．
2．下面关于0的说法，说法正确的是（ ）
A．0是最小的正数 B．0是最大的负数
C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔
【答案】C
【分析】0既不是正数也不是负数，正确认识海拔0m的意义即可．
【详解】A、0是最小的正数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意；
B、0是最大的负数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意；
C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意；
D、海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查0的意义及其应用，明确海拔0m是与海平面高度相同，0是正负数的分界是解题的关键．
易错点2 对负数表示的意义理解不清
3.把下列各数填入相应的横线上：
-2.5，10，0.22，0，，-20，+9.78，+68，0.45，+.
负整数： ；
负分数： ；
非负有理数： .
【答案】负整数：-20；负分数：-2.5，；非负有理数： 10，0.22，0，+9.78，+68，0.45，+.
【详解】试题分析：根据有理数的分类进行解答即可.
试题解析：负整数：-20；
负分数：-2.5，；
非负有理数： 10，0.22，0，+9.78，+68，0.45，+.
易错点3 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位
4．粮库某月前天进出粮食的记录如下：
日期
进出粮食吨
其中以运进为正，说出各天记录的实际意义．
【答案】日运出吨粮食，日运进吨粮食，日运出吨粮食，日运出吨粮食，日运进吨粮食
【分析】根据正负数的实际意义进行解答即可．
【详解】解：∵运进为正，
∴运出为负，
∴各天记录的实际意义为：日运出吨粮食，日运进吨粮食，日运出吨粮食，日运出吨粮食，日运进吨粮食．
【点睛】本题主要考查了正负数的实际意义，解题的关键是熟练掌握具有相反意义的量．
易错点4 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数
下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？
, -(-2.1), -(+3.4), 0 , +(+2.4), +(-2.8)
【答案】正数有: -(-2.1), +(+2.4) 负数有：， -(+3.4) ，+(-2.8)
【分析】根据正数和负数的定义判断即可．
【详解】解：正数有：正数有: -(-2.1), +(+2.4)
负数有：， -(+3.4) ，+(-2.8)
【点睛】本题考查对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握实数分类及先关概念是解决问题的关键．
易错点5 不能正确理解有理数的分类而出错
6.把下列各数填在相应的大括号内：－5，，－12，0，，－3.14，＋1.99，＋6，．
（1）正数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）分数集合：{ …}；
（4）非负整数集合：{ …}．
【答案】（1），＋1.99，＋6，；（2）－5，，－12，－3.14；（3） ，，－3.14，＋1.99，；（4）0，＋6
【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可．
【详解】解：（1）正数集合：{ ，＋1.99，＋6， …}；
（2）负数集合：{ －5，，－12，－3.14 …}；
（3）分数集合：{ ， ， －3.14，＋1.99， …}；
（4）非负整数集合：{ 0，＋6 …}.
【点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键．
6．有理数中，非负数的个数有 个．
【答案】5
【详解】非负数指0和正数，则是非负数，共5个．
7．请把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，，，
正整数集合：{__________…}；
负分数集合：{__________…}；
自然数集合：{__________…}；
非负有理数集合：{__________…}．
【答案】；，；，；，，，．
【分析】本题考查了自然数、分数、非负有理数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉自然数、分数、非负有理数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【详解】根据有理数的分类及定义有：
正整数集合：{ ，…}；
负分数集合：{ ，…}；
自然数集合：{ ，…}；
非负有理数集合：{ …}；
故答案为：；，；，；，，，．
能力提升
提升1 有理数概念
1.下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？
，，，，，，，．
【答案】正数有： ，，，；负数有：，，
【分析】根据正数和负数的定义判断即可．
【详解】解：正数有： ，，，；负数有：，，．
【点睛】本题考查对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握实数分类及先关概念是解决问题的关键．
2．把下列各数分别填在相应的横线上：
1，，325，，0，，0.618，．
正数有：__________________________________________________；
负数有：__________________________________________________；
整数有：__________________________________________________；
分数有：__________________________________________________．
【答案】见解析
【分析】根据正数，负数，整数，分数的定义逐空解答，正数是大于0的数，负数是正数前带负号的数，正整数、0、负整数统称为整数，正分数与负分数统称为分数．
【详解】解：正数：1，，325，0.618；
负数：，，；
整数：1，，325，0，；
分数：，，0.618．
【点睛】本题主要考查了正数，负数，整数，分数，解决问题的关键是熟练掌握正数，负数，整数，分数的定义．
3．在表中符合条件的空格里画上“√”.
【答案】
【分析】根据有理数的分类，分别对：-8，-2.25，，0进行分类判断即可.
【详解】解：-8属于有理数、整数；-2.25属于有理数、分数、负分数；属于有理数、分数；0属于有理数、整数、自然数.
【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.
提升2 有理数的分类
1 .请你仔细分类，将下列各数填在相应的表示集合的圈中：
，-36，2007，-（-2008），-|-2|，0，|-0.25|，3的倒数的相反数，50021994.
【答案】详见解析.
【分析】根据整数、负整数、负分数、正负数及有理数的定义分类填入即可．
【详解】整数集合：-36、2007、-（-2008）、-|-2|、0、50021994；
正整数集合：2007、-（-2008）、 50021994；
正分数集合：、|-0.25|；
负分数集合：3的倒数的相反数；
有理数集合：，-36，2007，-（-2008），-|-2|，0，|-0.25|，3的倒数的相反数，50021994.
【点睛】本题考查了有理数，要认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
2．把下列各数填入相应的数集中：
+1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3
（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________
（3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________
【答案】（1）+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；
（2）-5％、-3、－、-43.555、-3；
（3）200、1；
（4）-5％、－、-43.555、-3.
【分析】根据有理数的分类，可得答案
【详解】解：（1）非负数集合：+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；
（2）负有理数集合：-5％、-3、－、-43.555、-3；
（3）正整数集合：200、1；
（4）负分数集合：-5％、－、-43.555、-3.
【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．
3．(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
【答案】(1)见详解；
(2) 正整数， 负整数；
【分析】本题考查有理数的分类，根据几个定义直接逐个判断即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
（2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集，
故答案为：正整数，负整数．
4．把下列各数填在相应的集合里．
，，，，，，，，，，．
（1）正整数集合：{ ……}．
（2）负整数集合：{ ……}．
（3）整数集合：{ ……}．
（4）正数集合：{ ……}．
（5）负分数集合：{ ……}．
（6）非负有理数集合：{ ……}．
【答案】（1），；（2）；（3），，，；（4），，，，；（5），，，；（6），，，，，
【分析】根据有理数的分类逐个数字进行分类即可．
【详解】解：正整数集合：，
负整数集合：，
整数集合：，
正数集合：，
负分数集合：，
非负有理数集合：．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各个数集的定义是解答本题的关键．
提升3 易错知识专训
1.关于“0”的说法，正确的是（ ）
A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数
C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数
【答案】B
【分析】根据0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数，据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A．0是整数，不是正数，则A选项错误，故A选项不符合题意；
B．0是整数，不是正数，则B选项正确，故B选项符合题意；
C．0是整数，不是正数，则C选项错误，故C选项不符合题意；
D．0是整数，也是有理数，则D选项错误，故D选项不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数的概念，0的特殊规定：0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数．熟练记忆是解决本题的关键．
2.一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动各应记作什么？运动了6m，运动了，运动了0m各表示什么意义？
【答案】向西运动米怎样表示米；运动0m米表示物体没有运动．
【详解】分析：利用向东前进记为“＋”，向西前进记为“ ”，再根据正负数表示相反意义的量，可得结果．
详解：一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向东运动5米记作＋5米，那么向西运动6.8米怎样表示 6.8米；
如果运动6m米表示物体向东运动6米，运动 15m米表示物体向西运动15米，运动0m米表示物体没有运动．
点睛：本题考查了正数与负数，正确理解正负数表示相反意义的量是解题关键．
3．（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？
（3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？
【答案】（1）圈；（2）乒乓球的质量低于标准质量；（3）最多超出标准质量，最少少于标准质量
【分析】（1）根据正负数表示相反意义的两种量可知：逆时针记为正，则顺时针记为负，解答即可；
（2）超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，直接得出结论即可；
（3）明确正和负表示的意义，根据题意作答即可．
【详解】解：（1）如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，
则沿顺时针方向转了12圈记作圈；
（2）超出标准质量记作，
则表示乒乓球的质量低于标准质量；
（3）每袋大米的标准质量应为，但实际每袋大米可能有的误差，即最多超出标准质量，最少少于标准质量．
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对相反意义的量，先规定其中一个为正，则另一个用负表示．
4.把下列各数分别填入相应的集合：，，，，，，，，．
自然数集{ ……}；
正有理数集{ ……}；
负有理数集{ ……}；
非负数集{ ……}；
整数集{ ……}；
分数集{ ……}．
【答案】见解析
【分析】根据有理数的分类：整数和分数统称为有理数；有理数分为：正有理数、零、负有理数，把对应的数填入空中即可．
【详解】解：自然数集{、、……}，
正有理数集{、、、……}，
负有理数集{、、、、……}，
非负数集{、、、、、……}，
整数集{、、、、……}，
分数集{、、、、……}．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，正确理解相关知识点是解题关键．
5．把下列各数分别填入相应的集合里：
（1）正数集合：{ }
（2）负数集合：{ }
（3）非正整数集合：{ }
【答案】见详解.
【分析】根据有理数的分类，由正数、负数、及非正整数的定义，进行分类即可．
【详解】解：（1）正数集合：{，，}；
（2）负数集合：{，，，}；
（3）非正整数集合：{，0，}；
【点睛】本题考查了有理数的分类，解答本题的关键是掌握正数、负数、非正整数的定义.
6．把下列各数填入相应的大括号里：
正分数集合｛ …｝；
整数集合｛ …｝；
非正数集合｛ …｝；
有理数集合｛ …｝
【答案】见解析.
【分析】分别根据正分数、整数、有理数、非正数的定义进行判断填写即可．
【详解】解：正分数集合｛ 0.618，，0. …｝；
整数集合｛ 0，260，－2015，-|-2|，-｛+[-（-2）]} …｝；
非正数集合｛0，-，-3.14，-2015，-|-2|，-｛+[-（-2）]} …｝；
有理数集合｛　…｝
【点睛】本题主要考查实数的分类，注意无限不循环小数是无理数，分数中包括小数是解答此题的关键．
7．把下列各数填在相应的大括号里．
，0.275，，0，，，0.1，，，，．
正整数集合｛ ……｝
非负整数集合｛ ……｝
负数集合｛ ……｝
分数集合｛ ……｝
非负数集合｛ ……｝
【答案】；；；；
【分析】根据正整数、非负整数、负数、分数、非负数等概念，将相应的数填入大括号里即可．
【详解】解：，
正整数集合为：；
非负整数集合为：；
负数集合为：；
分数集合为：；
非负数集合为：；
故答案为：；；；；
【点睛】此题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的相关概念以及有理数的分类是解答此题的关键．
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