新人教版七年级数学暑假自学课第四讲 绝对值（含解析）

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新人教版七年级数学暑假自学课
第四讲 绝对值
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作
读作“a的绝对值”.
名师点拨
a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。
例1-1.的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
例1-2．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
2.绝对值几何意义
（1）绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
（2）.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
（3）互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
名师点拨
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数).
（3）对于任意有理数都有≥0，即：
互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）.
例2-1.下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（ ）
A． B． C．3 D．0
例2-2．如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
例2-3．设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 绝对值的非负性
根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若，则=0且=0．
名师点拨
（1）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.
（2）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥.
例3-1．若，则 ， ．
例3-2．若与互为相反数，则 ．
知识点4绝对值的应用
求一个数的绝对值
例4-1．的值为（ ）
A． B． C． D．
利用绝对值化简求值
例4-2 .在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，．
(1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；
(2)化简：；
(3)化简：．
利用绝对值的非负性求值
例4-3 .若，求，的值．
利用绝对值定义判断正误
例4-4 .判断下列说法是否正确：
（1）符号相反的数互为相反数( )；
（2）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右( )；
（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远( )；
（4）当时，总是大于0( )．
利用绝对值的意义求字母取值范围
例4-5 .数a在数轴上的对应点在原点的左侧，且，则 ．
有理数大小比较
①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；
②两个负数，绝对值大的反而小
例4-6 .比较下列各组数的大小：
(1)与1
(2)与
(3)与
(4)与
易错点点拨
1.对绝对值的意义理解错误
例5-1.判断正误：│-a│=2则a=-2
2.一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数
例5-2.绝对值等于本身的数是________
3.一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
例5-3 .绝对值等于它的相反数的数是________
4.如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等
例5-4 判断│a│=2, │b│=2 ,则a=b
例5-5 判断│a│>0
6.没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数
例5-6 绝对值最小的数是__________
针对训练
训练1 绝对值的定义
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和2 B．2和 C．3和 D．3和
2．下列化简结果为的是( )
A． B． C． D．
3．在有理数，，，中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
训练2 绝对值的性质
1 .绝对值是的数是（ ）
A． B． C． D．
2．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
试探索：
(1)求______．
(2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由．
训练3 绝对值的非负性
1.已知为有理数，则的最小值为 ．
2．若，则的立方根是 ．
3．若a、b、c是整数，且，则 ．
训练4 绝对值的应用
1．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
3．实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
4．在食盐质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是( )
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数
B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
C．若，则a与 b一定互为相反数
D．若，则是非正数
6.比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；
(2)－3和－5；
(3)－2.5和－|－2.25|；
(4)－和－.
能力提升
提升1 绝对值的定义
1．有下列说法：①两个有理数比较大小，绝对值大的反而小：②用一个平面去截正方体，面的形状可能是五边形；③数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；④若a是3的相反数，则a的倒数是；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数．其中正确的说法有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．数在数轴上所对应点如图所示：化简 ．
3．有理数在数轴上的位置如图所示，化简．
提升2 绝对值的性质
1 .人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当，时，A，B之间的距离；
②当，时，A，B之间的距离______；
③当，时，A，B之间的距离______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若，则______．
②若，则______．
③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______．
提升3 绝对值的非负性
1.已知，求的值．
2．已知，求的值．
3．阅读下面的材料：
点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为．
当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，；
当两点都不在原点时，
．如图所示，点都在原点的右边，
；
．如图所示，点都在原点的左边，
；
．如图所示，点在原点的两边，
．
综上，数轴上两点之间的距离．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ；
(3)当取最小值时， ， ．
提升4 绝对值的应用
1.求的最小值是 ．
2．已知，，代数式的最小值为 ．
3．若 ，则的立方根是 ．
4．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此
5．若，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
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第四讲 绝对值（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作
读作“a的绝对值”.
名师点拨
a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。
例1-1.的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当是负有理数时，的绝对值是它的相反数，据此求出的绝对值是多少即可．此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．
【详解】解：的绝对值是7．
故选：B．
例1-2．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它本身是解题的关键．根据绝对值的意义解答即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
知识点2 绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
2.绝对值几何意义
（1）绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
（2）.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
（3）互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
名师点拨
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数).
（3）对于任意有理数都有≥0，即：
互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）.
例2-1.下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（ ）
A． B． C．3 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远， 即可作答．
【详解】解：∵，，，
∵，
∴距离原点最远的是3．
故选：C．
例2-2．如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可．
【详解】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数，
所以原点的位置在线段的中点处，
∵离原点越近的点表示的数绝对值越小，
∴表示绝对值最小的数的点是C点．
故选：C．
例2-3．设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数中的相关概念，掌握绝对值，负整数，正整数的概念是解题的关键．
【详解】解：绝对值最小的数是，即，
最大的负整数为，即，
最小的正整数为，即，
故选：A ．
知识点3 绝对值的非负性
根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若，则=0且=0．
名师点拨
（1）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.
（2）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥.
例3-1．若，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解．
【详解】因为，且，，
所以，所以．
故答案为：，．
例3-2．若与互为相反数，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握非负数和平方的非负性，以及只有符合不同的数互为相反数．先根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，与互为相反数，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：2．
知识点4绝对值的应用
1.求一个数的绝对值
例4-1．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的定义．根据绝对值定义，正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数即可解答．
【详解】解：，
的值为，
故选：C．
2.利用绝对值化简求值
例4-2 .在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，．
(1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；
(2)化简：；
(3)化简：．
【答案】(1)；；；；
(2)
(3)
【分析】
本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题．
（1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果；
（2）通过字母的正负化简绝对值即可；
（3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；．
【详解】（1）
解：（1）由数轴知，，
故答案为：；；；；；
（2）
；
（3）
．
3.利用绝对值的非负性求值
例4-3 .若，求，的值．
【答案】，
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值．
【详解】解：由绝对值的性质得，，
，
，，
，．
4.利用绝对值定义判断正误
例4-4 .判断下列说法是否正确：
（1）符号相反的数互为相反数( )；
（2）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右( )；
（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远( )；
（4）当时，总是大于0( )．
【答案】 × × √ √
【分析】（1）根据相反数的定义，只有符号相反的数互为相反数，即可判断；
（2）根据绝对值的意义，绝对值是数轴上的点到原点的距离，即可判断；
（3）根据绝对值的意义，绝对值是数轴上的点到原点的距离，即可判断；
（4）根据绝对值的性质， ，即可判断．
【详解】（1）应该是只有符号相反的数互为相反数，例如：3 和 不是相反数，故不正确；
（2）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，也有可能在数轴的左侧，故不正确；
（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，正确；
（4）因为且 时， ，所以当时，总是大于0，正确．
故答案为：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√．
【点睛】本题主要考查了相反数、绝对值的意义和性质，熟练掌握相反数的定义，绝对值的定义和性质是解题的关键．
5.利用绝对值的意义求字母取值范围
例4-5 .数a在数轴上的对应点在原点的左侧，且，则 ．
【答案】
【分析】先根据绝对值的意义得到，再根据数a在数轴上的对应点在原点的左侧，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵数a在数轴上的对应点在原点的左侧，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，灵活运用所学知识是解题的关键．
6.有理数大小比较
①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；
②两个负数，绝对值大的反而小
例4-6 .比较下列各组数的大小：
(1)与1
(2)与
(3)与
(4)与
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据正数与负数的特点即可得出结论；
（2）先去括号与绝对值符号，再比较大小即可；
（3）根据负数比较大小的法则进行比较即可；
（4）先去绝对值符号，再比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：，，且，
∴；
（4）解：，，且，
∴．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．
易错点点拨
1.对绝对值的意义理解错误
例5-1.判断正误：│-a│=2则a=-2
【答案】错 ，绝对值等于2的数有两个，2
【点评】根据绝对值的定义，一个数的绝对值是指这个数与原点的距离。
2.一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数
例5-2.绝对值等于本身的数是________
【答案】非负数
【点评】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，也是它本身。
3.一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
例5-3 .绝对值等于它的相反数的数是________
【答案】非正数
【点评】负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数是0,0的绝对值也是它的相反数。
4.如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等
例5-4 判断│a│=2, │b│=2 ,则a=b
【答案】错
【点评】│a│=2 ，则a= │b│=2则b=不一定相等。
5.有理数的绝对值一定是正数。
例5-5 判断│a│>0
【答案】错
【点评】有理数的绝对值一定是非负数。
6.没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数
例5-6 绝对值最小的数是__________
【答案】0
【点评】有理数的绝对值是非负数,最小的有理数是0
针对训练
训练1 绝对值的定义
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和2 B．2和 C．3和 D．3和
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、，和2互为相反数，故本选项符合题意；
B、，2和不是互为相反数，故本选项不符合题意；
C、3和不互为相反数，故本选项不符合题意；
D、，所以3和不是互为相反数，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．下列化简结果为的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，根据相反数的定义，绝对值的定义化简，即可求解．
【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．在有理数，，，中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据绝对值大的负数，其值反而小，判断出最大的负数是哪个即可．
【详解】解：，
∴
∴最大，
故选：B．
训练2 绝对值的性质
1 .绝对值是的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．理解绝对值的定义是解题的关键．
【详解】根据绝对值的定义可知，和的绝对值都是．
故选择：C
2．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
试探索：
(1)求______．
(2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)有最小值，最小值是．
【分析】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键．
（）根据绝对值的性质即可求解；
（）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解；
（）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解；
【详解】（1）解：，
故答案为:；
（2）解：∵，
∴表示到的距离与到的距离之和，
∵，
∴一定在到之间，
∴符合条件的整数有，
故答案为：；
（3）解：有最小值，最小值是．
理由如下：
∵，
∴表示的是到的距离与到的距离之和，
当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，
∴ 有最小值为．
训练3 绝对值的非负性
1.已知为有理数，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
2．若，则的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，立方根的含义，掌握以上知识是解题的关键．
由，则，解方程组求得a、b，再求解的立方根即可．
【详解】解：∵
∴，解得：．
∴，
∴的立方根是．
故答案为：．
3．若a、b、c是整数，且，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可．
【详解】解：a、b、c是整数，
，是整数，
，
又，
时，则或时，则，
当时，
则，
；
当时，
则，
；
当时，
则，
当时，
则，
，
综上可得：，
故答案为：1．
训练4 绝对值的应用
1．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋．
【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．
∴
∴最接近标准质量的是
故选：C．
2．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答．
【详解】解： ，，
∵
∴最接近标准质量的是．
故选：C．
3．实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴最接近标准的是选项D中的零件．
故选：D．
4．在食盐质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正数和负数．根据绝对值最小的最接近标准，可得答案．
【详解】解：，，，，
∵，
∴则最接近标准的是，故C正确．
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数
B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
C．若，则a与 b一定互为相反数
D．若，则是非正数
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的相关概念，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
故一定是非正数，故A错误，不符合题意；
两个数相等或互为相反数时，它们的绝对值相等，
故B错误，不符合题意；
若，则a与 b互为相反数或，
故C错误，不符合题意；
若，则，则是非正数，
故D正确，符合题意；
故选：D
6.比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；
(2)－3和－5；
(3)－2.5和－|－2.25|；
(4)－和－.
解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；
(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；
(3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；
(4)因为|－|＝，|－|＝，＜，所以－<－.
点评：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小．
能力提升
提升1 绝对值的定义
1．有下列说法：①两个有理数比较大小，绝对值大的反而小：②用一个平面去截正方体，面的形状可能是五边形；③数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；④若a是3的相反数，则a的倒数是；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数．其中正确的说法有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据有理数的概念，数轴的概念，正方体的知识，逐一判断即可．
【详解】两个负数比较大小，绝对值的的反而小，故①错误；
如下图所示，可以获得五边形，故②正确；
在数轴正半轴上，较大的数表示的点离原点较远，故③错误；
3的相反数为-3，-3的倒数为，故④正确；
0的相反数等于0，0的绝对值等于0，故⑤错误；
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的基础知识，有理数的比较大小，求一个是的相反数、绝对值等知识，是有理数部分的基础考题，要求学生熟练掌握本部分的知识点，并能够辨析．
2．数在数轴上所对应点如图所示：化简 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的意义，利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号是解题的关键．
利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号，再利用绝对值的意义化简求值即可．
【详解】解：由题意得：，，
，，
．
故答案为：．
3．有理数在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】
【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可得：，，
，，，
．
提升2 绝对值的性质
1 .人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当，时，A，B之间的距离；
②当，时，A，B之间的距离______；
③当，时，A，B之间的距离______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若，则______．
②若，则______．
③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______．
【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③7，0
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离；
（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题．
【详解】（1）②；
③；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为，
故答案为：．
（3）∵
∴，
解得： 或；
（4）①，
即，
解得：；
故答案为：4．
②若，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
当时，，解得；
故答案为：8或0．
③由题可知，，
又∵，
∴，，
即，，
∴代数式的最大值是，最小值是，
故答案为：7，0．
提升3 绝对值的非负性
1.已知，求的值．
【答案】2
【分析】
本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．
由绝对值的非负性结合与的和为0可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，
解得：，
∴．
2．已知，求的值．
【答案】，，．
【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，．
3．阅读下面的材料：
点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为．
当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，；
当两点都不在原点时，
．如图所示，点都在原点的右边，
；
．如图所示，点都在原点的左边，
；
．如图所示，点在原点的两边，
．
综上，数轴上两点之间的距离．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ；
(3)当取最小值时， ， ．
【答案】(1)，，；
(2)，或；
(3)，．
【分析】（）根据两点间距离公式计算即可；
（）根据两点间距离公式可得点和之间的距离是，进而由可得，解方程即可求解；
（）由绝对值的性质可得当，时，取最小值，据此即可求解；
本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的性质，掌握数轴上两点间的距离计算方法及绝对值的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是，
数轴上表示和的两点之间的距离是，
数轴上表示和的两点之间的距离是，
故答案为：，，；
（2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是，
当时，，
∴或，
∴或，
故答案为：，或；
（3）解：∵，，
∴当，时，取最小值，
∴，，
故答案为：，．
提升4 绝对值的应用
1.求的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键．
根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值．
【详解】解：当时，原代数式①；
当时，原代数式②；
当时，原代数式③；
据以上可得，且；
所以当时，原代数式取得最小值为，
故答案为：．
2．已知，，代数式的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键．
根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值．
【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，
∵，，
∴当时，的最小是，
故答案为：5．
3．若 ，则的立方根是 ．
【答案】
【分析】此题考查非负数的性质，立方根和绝对值，解题关键在于掌握非负数的性质．根据非负数的性质，求出，的值，代入即可得出结果．
【详解】解：，
，，
解得：，，
，
的立方根是，
故答案为：．
4．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此
【答案】 大 2021 3
【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，的最小值为0，
∴的最大值为2021，此时．
故答案为：大；2021；3．
5．若，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)或；
(2)4或8．
【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键．
（1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可；
（2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴；
①当时，；
②当时，．
综上，的值为或．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
①当时，；
②当时，．
综上，的值为8或4．
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