新人教版七年级数学暑假自学课第五讲 有理数的加法（含解析）

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新人教版七年级数学暑假自学课
第五讲 有理数的加法
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 有理数加法的法则
（1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。
数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|；
若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)；
（2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。
数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|；
若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|；
一个数同0相加，仍得这个数。
例1-1.下列说法中正确的是（ ）
A．两数相加，其和大于任何一个加数
B．异号两数相加，其和小于任何一个加数
C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零
D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号
方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键
例1-2 .下列说法：①若某数的相反数的绝对值与其绝对值的相反数相等，则此数为零；②若，，则；③一个有理数的绝对值一定大于这个数；④已知，，则的值为2或4．其中正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 利用有理数加法的法则计算
在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
例2-1．计算（+2）+（-3）其结果是_____．
例2-2．计算：-（-3）+|-5|=_____．
例2-3.有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．

方法总结：：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值．
知识点3 有理数加法在生活中的应用
读懂题意列出加法算式，利用有理数加法法则进行计算，得出结论。
例3-1 .手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
例3-2 .筹算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二表示的算式是_____________．
方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答．
例3-3 .在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零．
(1)我认为m＝_______．
(2)按要求将这9个数填入如图的空格内．
方法总结：连续整数填三阶幻方步骤：（1）把9个数按从左到右顺次填入。（2）周围数字绕中心数字顺时针转一格，（3）把相对的四个角的数字调换。
例3-4 .对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号）
①；②；③若，则；④该运算满足交换律．
知识点4 有理数加法的运算律
1.（1）交换律：a+b=b+a；
（2）结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2.运用有理数加法的运算律进行运算
加法运算律是通过重新组合的方式简化运算，为了达到简化目的，通常选用
相反数结合法；互为相反的两个数结合在一起相加；
同分母结合法：同分母的数结合在一起相加；
凑整法:能凑成整数的几个数一起相加；
同号结合法：符号相同的数一起相加；
同形结合法：整数与整数、小数与小数先相加。
例4-1 .小红解题时，将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，则小红运用了（ ）
A．加法的交换律 B．加法的交换律和结合律
C．加法的结合律 D．无法判断
例4-2 .计算，比较合适的做法是（　　）
A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合
B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合
C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合
D．把第一、二、四这三个加数结合
例4-3 .计算时运算律用得恰当的是（　　）
A． B．
C． D．
例4-4 .某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下面是一周中每天的生产情况记录表（超过200辆记为正、不足200辆记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9
（1）根据记录可知前两天共生产 辆自行车；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆自行车；
（3）该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得80元．若超额完成任务，则超额部分每辆再奖20元；若没有完成计划工作量，则每少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加．
易错点剖析
易错1 法则搞混
例5-1.计算的正确过程是（　　）
A． B． C． D．
易错2 绝对值符号与括号搞混
例5-2 .计算2+│-3│
易错3 运算律应用符号出错
例5-3.计算：
(1) (2)
针对训练
1. 有理数加法的法则
1.若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（ ）
A．相等 B．都是零
C．互为相反数 D．有一个数是零
2.两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（ ）
A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负
2.利用有理数加法的法则计算
1.计算：
-1+3=_____；
-+=_____；
|-9|-5=_____．
2．绝对值大于1而不大于3的所有整数的和是_____．
3．定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]=2，[-1.5]=-2，据此规定，[-3.73]+[1.4]=_____．
3.有理数加法在生活中的应用
1.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L
2.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）
小虫最后是否回到出发地O？为什么？
小虫离开O点最远时是多少？
在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？
3.如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　 　．
4.有理数加法运算律
1.计算，所得的结果是(　　)
A．－3 B．3 C．－5 D．5
2.计算：
(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；
(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)．
3.阅读下面文字：
对于()＋()＋17＋()，
可以按如下方法计算：
原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]
＝0＋()
＝－1.
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.
4.拆项法计算：
5.某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）.
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 －3 +5 +2 －10 －6 +17 +3
（1）根据记录可知前四天共生产______辆.
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆.
（3）该工厂实行计件工资制，生产一辆车给工人50元，超额完成任务每多生产一辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
能力提升
提升1 有理数加法的法则
1．如果两个数的和是正数，那么（　　）
A. 这两个加数都是正数
B. 一个加数为正数，另一个加数为0
C. 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D. 以上皆有可能
2．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a+b的值为（　　）
A. ±3 B. -3 C. 3 D. ±5
提升2 利用有理数加法的法则计算
1.计算：
（1）（+21）+（-31）；
（2）（-3.125）+（+）；
（3）（-）+（+）；
（4）（-）+0.3．
2.，，且，则的值为______．
提升3.有理数加法在生活中的应用
1.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，．
(1)问收工时距A地多远？在哪个方向？
(2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？
2.学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）．
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？
(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？
(3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？
3.小明的爸爸买了一种股票，每股10元，如表记录了在一周内该股票的涨跌的情况（用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数），该股票这五天中的最高价是（　　）
星期 一 二 三 四 五
股票跌涨（元） 0.2 0.35 ﹣0.15 0.2 ﹣0.3
A．10.6元 B．10.55元 C．10.4元 D．10.35元
幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．

（1）若，则A处的数值为 ；
（2）①用含m的代数式表示 ；
②x的值为
5.数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题：
(1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______；
(2)计算______；
(3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可）
提升4 有理数加法运算律
1．计算：.
2．阅读下题的计算方法：
计算：.
解：原式
.
上面这种解算方法叫做折项法，请按此方法计算：.
3．计算题：
（1）.
（2）.
4．定义一种新运算“”满足：，，，求.
.
5.爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
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第五讲 有理数的加法（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 有理数加法的法则
（1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。
数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|；
若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)；
（2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。
数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|；
若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|；
一个数同0相加，仍得这个数。
例1-1.下列说法中正确的是（ ）
A．两数相加，其和大于任何一个加数
B．异号两数相加，其和小于任何一个加数
C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零
D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号
【答案】C
【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可．
【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意；
B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意；
C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意；
D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键．
方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键
例1-2 .下列说法：①若某数的相反数的绝对值与其绝对值的相反数相等，则此数为零；②若，，则；③一个有理数的绝对值一定大于这个数；④已知，，则的值为2或4．其中正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义、有理数的加减等知识逐项判断即可．
【解析】①若某数的相反数的绝对值大于或等于0，它的绝对值的相反数小于或等于0，根据二者相等，可得此数为零，故原说法正确；
②若当，时，有，故原说法不正确；
③0的绝对值等于0，故原说法不正确；
④根据，，可得，，则的值为或或2或4，
则的值为2或4，故原说法正确．
即正确的个数为2个．
故选：．
知识点2 利用有理数加法的法则计算
在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
例2-1．计算（+2）+（-3）其结果是_____．
【答案】-1
【解析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，依此即可求解．
解：（+2）+（-3）=-1．
故答案为：-1．
例2-2．计算：-（-3）+|-5|=_____．
【答案】8
【解析】根据有理数的加法法则以及绝对值的定义计算即可．
解：-（-3）+|-5|=3+5=8．
故答案为：8．
例2-3.有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．

【答案】小于
【分析】
本题考查数轴，涉及绝对值的性质，以及有理数的加法性质，掌握有理数的加法性质是解题的关键．
根据数轴，利用有理数加法性质比较和的大小．
【详解】
解：由图可得，且，，
根据有理数加法性质，正数加负数，符号取绝对值大的数，数字用较大数的绝对值减去较小数的绝对值．
．
故答案为：小于．
方法总结：：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值．
知识点3 有理数加法在生活中的应用
读懂题意列出加法算式，利用有理数加法法则进行计算，得出结论。
例3-1 .手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
【答案】B
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解：（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
【点评】本题考查正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．
例3-2 .筹算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二表示的算式是_____________．
【答案】
【分析】运用有理数的加减法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可得出．
【详解】解：图中算式二表示的是，
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的加减，在做题时要注意，异号两数相加先判断符号，确定符号之后再进行运算．
方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答．
例3-3 .在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零．
(1)我认为m＝_______．
(2)按要求将这9个数填入如图的空格内．
【答案】(1)0
(2)见解析
【详解】（1）﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数的和为0，则，
故答案为：0
（2）填写如下：
方法总结：连续整数填三阶幻方步骤：（1）把9个数按从左到右顺次填入。（2）周围数字绕中心数字顺时针转一格，（3）把相对的四个角的数字调换。
例3-4 .对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号）
①；②；③若，则；④该运算满足交换律．
【答案】②③
【分析】根据新定义逐项进行分析即可．
【详解】解：①∵，
∴，
故①错误；
∵，；
∴，
故②正确；
∵，，，
∴；
故③正确；
，，
只有当时，，
∴该运算满足交换律不成立．
故④错误，
故答案为：②③
【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键．
知识点4 有理数加法的运算律
1.（1）交换律：a+b=b+a；
（2）结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2.运用有理数加法的运算律进行运算
加法运算律是通过重新组合的方式简化运算，为了达到简化目的，通常选用
相反数结合法；互为相反的两个数结合在一起相加；
同分母结合法：同分母的数结合在一起相加；
凑整法:能凑成整数的几个数一起相加；
同号结合法：符号相同的数一起相加；
同形结合法：整数与整数、小数与小数先相加。
例4-1 .小红解题时，将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，则小红运用了（ ）
A．加法的交换律 B．加法的交换律和结合律
C．加法的结合律 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据有理数混合运算律求解即可．
【详解】解：将式子（﹣8）＋（﹣3）＋8＋（﹣4）先变成[（﹣8）＋8]＋[（﹣3）＋（﹣4）]再计算结果，小红运用了加法的交换律和结合律，
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
例4-2 .计算，比较合适的做法是（　　）
A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合
B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合
C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合
D．把第一、二、四这三个加数结合
【答案】A
【分析】根据凑整法利用加法运算律把一、三两个加数结合，二、四两个加数结合，计算即可．
【详解】解：计算，比较合适的做法是把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合，
故选A．
【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法运算律是解题关键．
例4-3 .计算时运算律用得恰当的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用加法的运算律，将分母相同的数分别结合在一起，然后再进行计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点评】本题考查有理数的加减运算，合理运用运算律是解题的关键．
例4-4 .某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下面是一周中每天的生产情况记录表（超过200辆记为正、不足200辆记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9
（1）根据记录可知前两天共生产 辆自行车；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆自行车；
（3）该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得80元．若超额完成任务，则超额部分每辆再奖20元；若没有完成计划工作量，则每少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】（1）403；（2）26；（3）112900元
【分析】（1）计算出前两天超产或减产量，再根据有理数的加法计算即可得解；
（2）先计算出产量最多的一天与产量最少的一天，然后用产量最多的减去产量最少的即可；
（3）根据题意先算出总产量，判断是超额完成还是没有按照计划量完成，再计算最终的工资总额即可.
【详解】（1）辆，
故根据记录可知前两天共生产403辆自行车；
（2）根据题意生产最多的一天是星期六，产量为辆，
产量最少的一天是星期五，产量为辆，
辆，
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆自行车；
（3）辆，
元，
故该厂工人这一周的工资总额是112900元.
方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加．
易错点剖析
易错1 法则搞混
例5-1.计算的正确过程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点评】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则．
易错2 绝对值符号与括号搞混
例5-2 .计算2+│-3│
【答案】5
易将绝对值符号当括号计算2与-3的和
【详解】解2+│-3│=2+3=5
易错3 运算律应用符号出错
例5-3.计算：
(1) (2)
【答案】(1)0 ，(2)
【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案；
（2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）
=
=
=
=0；
（2）
=
=
=
=
【点睛】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键．
针对训练
1. 有理数加法的法则
1.若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（ ）
A．相等 B．都是零
C．互为相反数 D．有一个数是零
【答案】C
【分析】根据有理数的加法运算法则解答即可．
【详解】解：两个有理数之和等于零，那么这两个有理数一定互为相反数，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，相反数，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．
2.两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（ ）
A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负
【答案】D
【分析】通过举例说明每一选项正确或错误．
【详解】解：A、同号且为正，例如：，故不符合题意；
B、互为相反数相加得0，故不符合题意；
C、例如：，故不符合题意；
D、如：，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法、相反数，掌握有理数的加法运算法则，符号的确定是解题关键．
2.利用有理数加法的法则计算
1.计算：
-1+3=_____；
-+=_____；
|-9|-5=_____．
【答案】(1)2;(2)-1;(3)4;
【解析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果；原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果；原式先计算绝对值运算，再计算减法运算即可得到结果．
解：-1+3=2；-+=-1；|-9|-5=9-5=4，
故答案为：2；-1；4
2．绝对值大于1而不大于3的所有整数的和是_____．
【答案】0
【解析】找出绝对值大于1而不大于3的所有整数，求出之和即可．
解：绝对值大于1而不大于3的所有整数为-2，-3，2，3，之和为0．
故答案为：0．
3．定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]=2，[-1.5]=-2，据此规定，[-3.73]+[1.4]=_____．
【答案】-3
【解析】根据取整函数的知识，可得[-3.73]=-4，[1.4]=1，再相加即可求解．
解：[-3.73]+[1.4]=-4+1=-3．
故答案为：-3．
3.有理数加法在生活中的应用
1.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L
解析：(1)首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以a即可求解．
解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km)
故B地在A地正北，相距1千米；
(2)该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)．
答：该天耗油75aL.
2.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）
小虫最后是否回到出发地O？为什么？
小虫离开O点最远时是多少？
在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？
【答案与解析】
解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)
=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0
0表示最后小虫又回到了出发点O
答：小虫最后回到了出发地O.
（2） (+5)+(－3)＝+2；
(+5)+(－3)+(+10)＝+12；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.
因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;
(3) （cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm，
由 （粒）
答：小虫一共可以得到54粒芝麻.
3.如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　 　．
【分析】根据每一行、每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，可求出方格中间、右下以及右上的数，再由每一行、每一列所填的数字之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：6+1+2﹣1﹣5＝3，
6+1+2﹣6﹣3＝0，
6+1+2﹣0﹣5＝4．
根据题意得：6+1+2＝6+x+4，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数的加法和一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4.有理数加法运算律
1.计算，所得的结果是(　　)
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【答案】C
【分析】利用加法的运算律计算即可．
【详解】原式=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键．
2.计算：
(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；
(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)．
解析：(1)把互为相反数的两数相加；(2)可把符号相同的数相加；(3)可把相加得到整数的数相加．
解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；
(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；
(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)＝(6＋4)＋(－5)＋(2)＝11＋(－3)＝8.
3.阅读下面文字：
对于()＋()＋17＋()，
可以按如下方法计算：
原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]
＝0＋()
＝－1.
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.
【答案】-2.
【详解】解：原式＝[(-2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036
＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)]
＝0＋[(－)＋(－)＋(－)]
＝－2.
4.拆项法计算：
【答案】．
【分析】先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得．
【详解】原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键．
5.某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）.
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 －3 +5 +2 －10 －6 +17 +3
（1）根据记录可知前四天共生产______辆.
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆.
（3）该工厂实行计件工资制，生产一辆车给工人50元，超额完成任务每多生产一辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】（1）394；（2）27；（3）35480元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）周六最多，周四最少，根据有理数的减法，可得答案；
（3）先计算一周总产量，再根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：（1）100×4+（-3+5+2-10）=394（辆）；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产17-(-10)=27；
故答案为394，27；
（3）一周产是=700+（-3+5+2-10-6+17+3）=708（辆）
708×50+8×10=35480（元）．
答：该厂工人这一周的工资总额是35480元．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．
能力提升
提升1 有理数加法的法则
1．如果两个数的和是正数，那么（　　）
A. 这两个加数都是正数
B. 一个加数为正数，另一个加数为0
C. 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D. 以上皆有可能
【答案】D
【解析】根据有理数的计算得出结论即可．
解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如1+1=2，
可能一个数为正数，另一个加数为0，如0+2=2，
可能一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，如-1+3=2，
故选：D．
2．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a+b的值为（　　）
A. ±3 B. -3 C. 3 D. ±5
【答案】A
【解析】通过ab＜0可得a、b异号，再由|a|=1，|b|=4，可得a=1，b=-4或者a=-1，b=4；就可以得到a+b的值
解：∵|a|=1，|b|=4，
∴a=±1，b=±4，
∵ab＜0，
∴a+b=1-4=-3或a+b=-1+4=3，
故选：A．
提升2 利用有理数加法的法则计算
1.计算：
（1）（+21）+（-31）；
（2）（-3.125）+（+）；
（3）（-）+（+）；
（4）（-）+0.3．
【解析】（1）先判断两个加数的绝对值的大小，然后取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（2）互为相反数的两个数的和为0；
（3）先判断两个加数的绝对值的大小，然后取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（4）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
解：（1）原式=-（31-21）
=-10；
（2）原式=-3.125+3.125
=0；
（3）原式=+（-）
=；
（4）原式=-（-0.3）
=-3．
2.，，且，则的值为______．
【答案】或/或
【分析】根据绝对值的性质，可求出的值，再根据确定的值，由此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查绝对值的知识，掌握绝对值的性质，有理数的加减法运算法则是解题的关键．
提升3.有理数加法在生活中的应用
1.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，．
(1)问收工时距A地多远？在哪个方向？
(2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？
【答案】(1)在正东方向，距离A地2千米
(2)升
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）求出运动的总路程，然后根据每千米路程耗油m升，求出从A地出发到收工共耗油量即可．
【详解】（1）解：（千米）
答：收工时在正东方向，距离A地2千米．
（2）解：从A地出发到收工行驶的总路程为：
（千米），
∴从A地出发到收工共耗油升．
【点睛】本题主要考查了有理数加法在生活中的应用，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算．
2.学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）．
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？
(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？
(3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？
【答案】(1)是
(2)12米
(3)56
【分析】（1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可；
（2）求出每一次离开球门线的距离，即可得出结果；
（3）将所有数据的绝对值进行相加即可得出结论．
【详解】（1）解：，
∴守门员回到了球门线的位置；
（2）解：守门员每次离开球门的距离为：7米，米，米，米，米，米，米，
∴离开球门的最远距离为米；
答：守门员离开球门的位置最远是12米；
（3）解：（米），
答：守门员一共跑了56米．
【点评】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解并掌握正负数的意义，熟练掌握有理数的加法法则，是解题的关键．
3.小明的爸爸买了一种股票，每股10元，如表记录了在一周内该股票的涨跌的情况（用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数），该股票这五天中的最高价是（　　）
星期 一 二 三 四 五
股票跌涨（元） 0.2 0.35 ﹣0.15 0.2 ﹣0.3
A．10.6元 B．10.55元 C．10.4元 D．10.35元
【分析】根据有理数的加法法则，可得每天的价格，根据有理数的大小比较法则，可得答案．
【解析】解：一10+0.2＝10.2元，二10.2+0.35＝10.55元，三10.55﹣0.15＝10.4元，四10.4+0.2＝10.6元，五10.6﹣0.3＝10.3元，
10.6＞10.55＞10.4＞10.3＞10.2，
最高价格是10.6元，
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法，有理数的大小比较．
幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．

（1）若，则A处的数值为 ；
（2）①用含m的代数式表示 ；
②x的值为
【答案】 1
【分析】（1）由题意得，再将代入，即可得答案；
（2）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案．
【详解】（1）由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2）①
；
②
．
故答案为：①，②．
【点评】本题考查有理数的加法，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题．
5.数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题：
(1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______；
(2)计算______；
(3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键；
（1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可；
（2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可；
（3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值；
（2）；
（3）当同号时，，，
∴，
当异号时，，
∴，
当有1个为0，或两个都为0也满足，
∴新运算“”具有交换律；
如，．
提升4 有理数加法运算律
1．计算：.
答案：
解析：观察分数，，，，，，
.
2．阅读下题的计算方法：
计算：.
解：原式
.
上面这种解算方法叫做折项法，请按此方法计算：.
答案：-1
解析：原式,
,
,
.
3．计算题：
（1）.
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）原式
；
（2）原式
.
4．定义一种新运算“”满足：，，，求.
答案：
解析：由，，，可得：
.
5.爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查有理数的加法，根据,且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，得出，，，，进而分情况得出a的值，然后计算即可.
【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
∵，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是，
则，得，
，得，
，，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或.
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