新人教版七年级数学暑假自学课第六讲 有理数的减法（含解析）

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新人教版七年级数学暑假自学课
第六讲 有理数的减法
一、专题导航
知识点梳理
知识点1有理数减法法则及运算
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数
步骤：（1）变减为加，把减数的相反数变成加数；
（2）按照加法运算的步骤去做。
注意：
（1）被减数和减数可以为任意有理数，当两个数都是正数且被减数大于减数，直接运算，必须要转化.
（2）注意减法运算2个要素发生变化：减号变成加号；减数变成它的相反数
例1-1 .计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
例1-2．下面说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大；
B．两个有理数的差一定小于被减数；
C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数；
D．绝对值相等的两数之差为零．
知识点2 有理数减法法则的实际应用
根据问题中提供的信息数据建立有理数减法模型，进而解决实际问题。
例2-1．某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是( )
A. B. C. D.
例2-2．光盘的质量标准中规定：厚度为的光盘是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是( )
A. B. C. D.
知识点3 有理数加减混合运算
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算.
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.
把加减混合运算的算式转化为加法运算后，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。
省略括号和加号的算式有两种读法，（1）将所有数都看成加数，即相邻两个加数的加号省掉，直接读成所有数的和。（2）将两个数之间的符号看成运算符号来读，读成加或减的形式。
例3-1.不改变原式的值，把7-（+6）-（-3）+（-5）写成省略括号的和的形式为（　　）
A. 7-6+3-5 B. 7-6-3+5 C. -7-6+3-5 D. -7+6+3-5
例3-2. 数轴上某一个点表示的数为a，若将这个点先向右移动4个单位，再向左移动5个单位，此时这个点表示的数为，则a的值为( )
A． B． C．1 D．2
知识点4 有理数加减混合运算的简便运算方法
相反数结合法 互为相反数的两个数先相加
同号结合法 符号相同的数先相加
同分母结合法 分母相同(或易化成同分母)的数先相加
凑整法 几个数相加得到整数的数先相加
同形结合法 整数与整数、小数与小数先相加
拆分法 带分数相加时,可先将其拆成数与分数的和,再分别相加
例4-1．用简便方法计算：
例4-2．计算．
(1)
(2)
例4-3．阅读下面的解题方法．
计算：．
解：原式
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
知识点5有理数加减混合运算的应用
例5-1．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
例5-2．每箱苹果标准重量为25kg,检查8箱苹果，记录如下数据，正数为超过标准的数量，负数为不足标准的数量：0.35，0.47，-0.52，-0.17，-1.20，0.32，-0.32，0.23．求这8箱苹果的总重量．
易错点点拨
易错点1 运算法则不清 异号两数相加，较大的加数绝对值减去较小加数的绝对值，往往相加出错。
例1．计算（-13）+6的结果等于（　　）
A. -19 B. -7 C. -5 D. 19
错解：A
正解 B
易错点2 有理数减法变成加法时加上原数，出错
例2 计算（-8）-8的值是（　　）
A. -16 B. 0 C. 16 D. 64
错解：B
正解A：
易错点3 有理数加减混合运算统一为加法运算符号出错
例3 .甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　）
甲：11+（-14）+19-（-6）=11+19+[（-14）+（-6）]=10
乙：
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
错解：A
正解 D
易错点4 有理数加减混合运算时不能选择简便运算出错
明明同学计算（-4）-1-（-18）+（-13）时，他是这样做的：
（1）明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果：
（2）仿照明明的解法，请你计算：（-102）-（-96）+54+（-48）．
四、针对训练
1.有理数减法法则及运算
1.（1）计算________；
（2）_________.
2．与的和是的数是_________.
2.有理数减法法则的实际应用
1．数轴上点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是______.
2．在计算时两个数减法■时，由于不小心，减数被墨水污染；
（1）嘉淇误将后面的“﹣”看成了“+”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数；
（2）请你正确计算此道题.
3．矿井下A,B,C三处的高度分别是m,m,m,A处比B处高多少米 C处比B处高多少米 A处比C处高多少米
3.有理数加减混合运算
1.把（+1）-（-2）+（-）-（+）+（+1）写成省略加号和的形式为_____．
2.计算：
（1）8+（-10）+（-2）-（-5）
（2 ）-7+13-6+20．
3．计算题：
（1）8+（-11）-|-5|；
（2）12+（-）-（-8）-；
（3）0.125+3-+5-0.25；
（4）（-5）-（-12）-（+3）+（+6）．
4.有理数加减混合运算的简便运算
1.计算：
；
2．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
(1)；
(2)．
3．计算：．
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（要求用运算律计算）．
5.有理数加减混合运算的应用
1.“疫情无情人有情”．在抗击新冠病毒疫情期间，一志愿小组某天早晨从A地出发沿南北方向运送抗疫物资，晚上最后到达B地．约定向北为正方向，当天志愿小组行驶记录如下（单位：千米）：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8，-27．
（1）试问B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油多少升？
2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） +3 -5 -2 +11 -7 +13 +5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
3．2020年“双十一”期间某淘宝商家提前搞促销活动，计划平均每天销售某品牌学习机100台，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．如表是双十一的一周销售倩况（超额记为正、不足记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +2 -3 +25 +8 -4 +2 -6
（1）根据记录的数据，计算该店一周日销量最多比最少多多少台？
（2）本周实际销售总量达到了计划数量吗，通过计算说明理由．
（3）该店实行每日按销售台数计算工资，每销售一台学习机可得10元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖20元；少销售一台扣30元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？
五、能力提升
提升1 .有理数减法法则及运算
已知，求的值.
2．若，且，求的值.
提升2有理数减法法则的应用
1.水库在汛期来临之际加强了对水位的观测，若以警戒水位33 m作为0点，用正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，7月3号的水位刚好在警戒水位，其后5天的观察记录如下：（单位：m）
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
+1.2 -1 +3.4 -2.5 +4.1
（1）这5天中，求哪天的水位最高，最高的水位为多少米？
（2）第5天与7月3日相比，水位是上升了还是下降了？为什么？
2．若规定用表示不超过x的最大的整数，如，.
计算：（1）；（2）..
8．某中学抽查了某次月考中某班10名同学的成绩，以100分为基准，超过的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：.
（1）这10名同学中最高分是多少 最低分是多少 最高分与最低分相差多少
（2）小明在这次考试中考了116分，按这种计分方法，应记作什么
提升3 有理数加减混合运算
1.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
2.兴华粮食中转站仓库在9月1日至9月10日的时间内运进、运出粮食情况如下（运进记作“+”，运出记作“-”）：+1050吨，-500吨，+2300吨，-80吨，-150吨，-320吨，+600吨，-360吨，+500吨，-210吨，在9月1日前仓库内没有粮食．
（1）求9月3日仓库内共有粮食多少吨．
（2）求哪一天仓库内的粮食最多，最多是多少．
（3）若每吨粮食的运费（包括运进、运出）10元，从9月1日到9月10日仓库共需付运费多少元．
3．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
-2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？
（2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？
提升4.有理数混合运算简便运算
1.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
试题：计算：．小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：解：原式．老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1)．
(2)．
2．阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值．
（1）﹣+（﹣9）+17+（﹣3）
解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]
=[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1
上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算：
（2）（﹣2008）+（﹣2007）+4017+（﹣1）
3．符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：，…，求的结果．
提升5 有理数混合运算的应用
1.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
-2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？
（2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？
2．某水果商店经销一种苹果，共有20筐，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负数来表示，记录如下表：（单位：千克）
与标准质量的差值 -3 -2 -1.5 0 +1 +2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
（1）与标准质量比较，这20筐苹果总计超过或不足多少千克？
（2）若苹果每千克售价2元，则出售这20筐苹果可卖多少元？
3．某股民上星期五买进某公司股票1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（“+”号表示与前一天相比涨，“一”号表示与前一天相比跌）．
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌（元） +1.2 +0.4 -1 -0.5 +0.9
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高收盘价是每股多少元？收盘价最低是每股多少元？
（3）已知此股民买进和卖出股票时都要付0.15%的手续费和卖出时0.1%的交易税，如果他在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？
4．七名学生的体重，以48.0kg为标准，把超过标准体重的千克计记为正数，不足的千克记为负数，将其体重记录如下表：
学生 1 2 3 4 5 6 7
与标准体重之差 -3.0 +1.5 +0.8 -0.5 +0.2 +1.2 +0.5
（1）最接近标准体重的学生体重是多少？
（2）求七名学生的平均体重；
（3）按体重的轻重排列时，恰好居中的是哪个学生？
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第六讲 有理数的减法
一、专题导航
知识点梳理
知识点1有理数减法法则及运算
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数
步骤：（1）变减为加，把减数的相反数变成加数；
（2）按照加法运算的步骤去做。
注意：
（1）被减数和减数可以为任意有理数，当两个数都是正数且被减数大于减数，直接运算，必须要转化.
（2）注意减法运算2个要素发生变化：减号变成加号；减数变成它的相反数
例1-1 .计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此计算即可求解．
考查了有理数的减法，方法指引：在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号减号变加号；二是减数的性质符号减数变相反数．
【详解】解：．
故选：B．
例1-2．下面说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大；
B．两个有理数的差一定小于被减数；
C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数；
D．绝对值相等的两数之差为零．
【答案】C
【分析】根据有理数的加法法则可判断A项，根据有理数的减法法则可判断B、C两项，根据相反数的性质举出反例可判断D项，进而可得答案．
【详解】解：A、两个有理数的和不一定比这两个有理数的差大，故本选项说法错误，不符合题意；
B、两个有理数的差一定不小于被减数，故本选项说法错误，不符合题意；
C、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数，故本选项说法正确，符合题意；
D、绝对值相等的两数之差不一定为零，如3与﹣3的绝对值相等，但3－（﹣3）=6，故本选项说法错误，不符合题意 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加法与减法以及相反数的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握有理数的基本知识是解题关键．
知识点2 有理数减法法则的实际应用
根据问题中提供的信息数据建立有理数减法模型，进而解决实际问题。
例2-1．某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，
当天18时的气温是.
故选B.
例2-2．光盘的质量标准中规定：厚度为的光盘是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，，
当光盘厚度时，是合格品，
，
的光盘不合格.
故选：D.
知识点3 有理数加减混合运算
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算.
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.
把加减混合运算的算式转化为加法运算后，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。
省略括号和加号的算式有两种读法，（1）将所有数都看成加数，即相邻两个加数的加号省掉，直接读成所有数的和。（2）将两个数之间的符号看成运算符号来读，读成加或减的形式。
例3-1.不改变原式的值，把7-（+6）-（-3）+（-5）写成省略括号的和的形式为（　　）
A. 7-6+3-5 B. 7-6-3+5 C. -7-6+3-5 D. -7+6+3-5
【答案】A
【解析】根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式
解：原式=7-6+3-5，
故选：A．
例3-2. 数轴上某一个点表示的数为a，若将这个点先向右移动4个单位，再向左移动5个单位，此时这个点表示的数为，则a的值为( )
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据数轴上点的坐标左减右加的原则进行计算即可．
【详解】解：依题意，，故点表示的数是．
故选：A．
【点睛】此题考查了数轴，以及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的坐标左减右加的原则是解本题的关键．
知识点4 有理数加减混合运算的简便运算方法
相反数结合法 互为相反数的两个数先相加
同号结合法 符号相同的数先相加
同分母结合法 分母相同(或易化成同分母)的数先相加
凑整法 几个数相加得到整数的数先相加
同形结合法 整数与整数、小数与小数先相加
拆分法 带分数相加时,可先将其拆成数与分数的和,再分别相加
例4-1．用简便方法计算：
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解．
【详解】解：原式
例4-2．计算．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可．
（2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可．
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）
每两个数为一组，结果是3；
则
即一共有337组；
原式．
例4-3．阅读下面的解题方法．
计算：．
解：原式
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
【答案】11
【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：原式
知识点5有理数加减混合运算的应用
例5-1．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【解析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14-9=5千米；
14-9+8=13千米；
14-9+8-7=6千米；
14-9+8-7+13=19千米；
14-9+8-7+13-6=13千米；
14-9+8-7+13-6+12=25千米；
14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37-28=9（升）
例5-2．每箱苹果标准重量为25kg,检查8箱苹果，记录如下数据，正数为超过标准的数量，负数为不足标准的数量：0.35，0.47，-0.52，-0.17，-1.20，0.32，-0.32，0.23．求这8箱苹果的总重量．
【解析】先计算出8箱苹果的总质量比标准质量少0.84千克，进而求出这8箱苹果的总重量．
解：0.35+0.47+（-0.52）+（-0.17）+（-1.2）+0.32+（-0.32）+0.23=-0.84（千克），
25×8+（-0.84）=199.16（千克），
答：这8箱苹果的总质量是199.16千克．
易错点点拨
易错点1 运算法则不清 异号两数相加，较大的加数绝对值减去较小加数的绝对值，往往相加出错。
例1．计算（-13）+6的结果等于（　　）
A. -19 B. -7 C. -5 D. 19
错解：A
正解 B
【解析】根据有理数的加法计算法则求解即可．
解：（-13）+6=-（13-6）=-7，
故选：B．
易错点2 有理数减法变成加法时加上原数，出错
例2 计算（-8）-8的值是（　　）
A. -16 B. 0 C. 16 D. 64
错解：B
正解A：
【解析】根据有理数的减法法则计算即可．
解：（-8）-8=-16，
故选：A．
易错点3 有理数加减混合运算统一为加法运算符号出错
例3 .甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　）
甲：11+（-14）+19-（-6）=11+19+[（-14）+（-6）]=10
乙：
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
错解：A
正解 D
【解析】先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解．
解：甲：11+（-14）+19-（-6）
=11+19+[（-14）+6]
=30-8
=22，
乙：原式=（-）+（-）+（-）
=[（-）+（-）]+（-）
=（-1）+（-）
=-，
故选：D．
易错点4 有理数加减混合运算时不能选择简便运算出错
明明同学计算（-4）-1-（-18）+（-13）时，他是这样做的：
（1）明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果：
（2）仿照明明的解法，请你计算：（-102）-（-96）+54+（-48）．
【解析】（1）根据明明的计算过程可以看出在第几步出现问题，然后根据有理数的加减进行计算即可解答本题；
（2）根据明明的计算方法可以解答本题．
解：（1）明明的解法从第三步开始出现错误，
改正：原式=
=+18+
=[（-4）+（-1）+18+（-13）]+[]
=0+（-）
=-；
（2）（-102）-（-96）+54+（-48）
=（-102）+96+54+（-48）
=
=[（-102）+96+54+（-48）]+[]
=0+
=．
四、针对训练
1.有理数减法法则及运算
1.（1）计算________；
（2）_________.
答案：（1）
（2）10
解析：（1）；
故答案为：；
（2）.
故答案为：10.
2．与的和是的数是_________.
答案：
解析：，
故答案为：.
2.有理数减法法则的实际应用
1．数轴上点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是______.
答案：1或-7
解析：当B点在A的左边，则B表示的数为：；
若B点在A的右边，则B表示的数为.
故答案为：1或-7.
2．在计算时两个数减法■时，由于不小心，减数被墨水污染；
（1）嘉淇误将后面的“﹣”看成了“+”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数；
（2）请你正确计算此道题.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得：
被墨水污染的减数为.
（2）.
3．矿井下A,B,C三处的高度分别是m,m,m,A处比B处高多少米 C处比B处高多少米 A处比C处高多少米
答案：见解析
解析:A处比B处高:(m),
C处比B处高:(m),
A处比C处高:(m).
3.有理数加减混合运算
1.把（+1）-（-2）+（-）-（+）+（+1）写成省略加号和的形式为_____．
【答案】+2--+1
【解析】原式利用减法法则变形即可．
解：原式=+2--+1．
故答案为：+2--+1．
2.计算：
（1）8+（-10）+（-2）-（-5）
（2 ）-7+13-6+20．
【解析】（1）将减法转化为加法后，利用加法交换律和结合律，依据加法的运算法则计算可得；
（2）利用加法交换律和结合律，依据加法的运算法则计算可得．
解：（1）原式=8+5+（-10）+（-2）=13-12=1；
（2）原式=（-7-6）+（13+20）=-13+33=20．
3．计算题：
（1）8+（-11）-|-5|；
（2）12+（-）-（-8）-；
（3）0.125+3-+5-0.25；
（4）（-5）-（-12）-（+3）+（+6）．
【解析】（1）去括号，去绝对值，再加减运算；
（2）分数和分数相加减，整数和整数相加减；
（3）把前两个分数化为小数，相加减，再和分母为3的分数相加减；
（4）分母相同的分数相加减，最后再加减．
解：（1）8+（-11）-|-5|
=8-11-5
=-3-5
=-8；
（2）12+（-）-（-8）-
=--+12+8
=-3+12+8
=17；
（3）0.125+3-+5-0.25
=0.125+3.25-0.125+5-0.25
=0.125-0.125+3.25-0.25+5
=3+5
=8；
（4）（-5）-（-12）-（+3）+（+6）
=-5+12-3+6
=-5-3+6+12
=-9+19
=10．
4.有理数加减混合运算的简便运算
1.计算：
；
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解．
【详解】解：
；
2．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1.9
【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．
（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果；
（2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果．
【详解】（1）
；
（2）
．
3．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（要求用运算律计算）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键；
（1）利用交换律与结合律化为，再计算即可；
（2）先求解绝对值，再计算即可；
（3）先化为省略加号的和的形式，再计算即可；
（4）利用交换律与结合律化为，再计算即可；
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
5.有理数加减混合运算的应用
1.“疫情无情人有情”．在抗击新冠病毒疫情期间，一志愿小组某天早晨从A地出发沿南北方向运送抗疫物资，晚上最后到达B地．约定向北为正方向，当天志愿小组行驶记录如下（单位：千米）：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8，-27．
（1）试问B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油多少升？
【解析】（1）首先根据有理数的加减混合运算，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可．
（2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，再用汽车汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可．
解：（1）+18-9+7-14-6+13-6-8-27
=18+7+13-9-14-6-6-8-27
=38-70
=-32，
∴B地在A地的南方，它们相距32千米．
（2）（|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|+|-27|）×0.07
=（18+9+7+14+6+13+6+8+27）×0.07
=108×0.07
=7.56（升），
∴汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油7.56升．
2．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） +3 -5 -2 +11 -7 +13 +5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【解析】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
解：（1）13-（-7）=13+7=20（千克）．
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
（2）3-5-2+11-7+13+5+100×7
=18+700
=718（千克）．
答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克．
（3）718×（8-3）
=718×5
=3590（元）．
答：小王第一周销售柚子一共收入3590元．
3．2020年“双十一”期间某淘宝商家提前搞促销活动，计划平均每天销售某品牌学习机100台，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．如表是双十一的一周销售倩况（超额记为正、不足记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +2 -3 +25 +8 -4 +2 -6
（1）根据记录的数据，计算该店一周日销量最多比最少多多少台？
（2）本周实际销售总量达到了计划数量吗，通过计算说明理由．
（3）该店实行每日按销售台数计算工资，每销售一台学习机可得10元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖20元；少销售一台扣30元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？
【解析】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）求出这7天的实际销售量的和即可；
（3）根据题意，列式计算．
解：（1）25-（-6）=25+6=31（台），
答：该店一周日销量最多比最少多31台；
（2）2-3+25+8-4+2-6=24＞0，
∴本周实际销量达到了计划数量；
（3）（100×7+24）×10+（2+25+8+2）×20+（-3-4-6）×30=7590（元）．
答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是7590元．
五、能力提升
提升1 .有理数减法法则及运算
已知，求的值.
答案：解：
2．若，且，求的值.
答案：－2或－6.
解析 ：由|a|=4,|b|=2,得：a=, b=,
因为a所以a-b=-4-2=-6 ,或a-b=-4-(-2)=-2
提升2有理数减法法则的应用
1.水库在汛期来临之际加强了对水位的观测，若以警戒水位33 m作为0点，用正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，7月3号的水位刚好在警戒水位，其后5天的观察记录如下：（单位：m）
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
+1.2 -1 +3.4 -2.5 +4.1
（1）这5天中，求哪天的水位最高，最高的水位为多少米？
（2）第5天与7月3日相比，水位是上升了还是下降了？为什么？
答案：（1）第5天的水位最高，最高的水位为米
（2）上升了，见解析
解析：（1）第1天水位为米，
第2天的水位为米，
第3天的水位为米，
第4天水位为米，
第5天的水位为米，
则第5天的水位最高，最高水位是米；
（2）上升了，理由：
第5天的水位为米，7月3号的水位刚好在警戒水位，警戒水位33 m，
，
第5天与7月3日相比，水位是上升了.
2．若规定用表示不超过x的最大的整数，如，.
计算：（1）；（2）.
答案：（1）.
（2）.
8．某中学抽查了某次月考中某班10名同学的成绩，以100分为基准，超过的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：.
（1）这10名同学中最高分是多少 最低分是多少 最高分与最低分相差多少
（2）小明在这次考试中考了116分，按这种计分方法，应记作什么
答案：（1）解：由题意，知这10名同学中最高分为（分），
最低分为（分），（分）
（2）若小明在这次考试中考了116分，则小明的分数可记作.
提升3 有理数加减混合运算
1.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【解析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14-9=5千米；
14-9+8=13千米；
14-9+8-7=6千米；
14-9+8-7+13=19千米；
14-9+8-7+13-6=13千米；
14-9+8-7+13-6+12=25千米；
14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37-28=9（升）
2.兴华粮食中转站仓库在9月1日至9月10日的时间内运进、运出粮食情况如下（运进记作“+”，运出记作“-”）：+1050吨，-500吨，+2300吨，-80吨，-150吨，-320吨，+600吨，-360吨，+500吨，-210吨，在9月1日前仓库内没有粮食．
（1）求9月3日仓库内共有粮食多少吨．
（2）求哪一天仓库内的粮食最多，最多是多少．
（3）若每吨粮食的运费（包括运进、运出）10元，从9月1日到9月10日仓库共需付运费多少元．
【解析】（1）将记录的数字相加即可得到结果；
（2）求出1日到9日的粮食数，得出仓库内的粮食最多的天数，求出最多的数量即可；
（3）求出记录数字的绝对值之和，乘以10即可得到结果．
解：（1）1050-500+2300=2850（吨），
答：9月3日仓库内共有粮食2850吨；
（2）9月9日仓库内的粮食最多，
最多是2850-80-150-320+600-360+500=3040（吨），
答：9月9日仓库内的粮食最多，最多是3040吨；
（3）运进1050+2300+600+500=4450（吨），运出|-500-80-150-320-210|=1 620（吨），
10×（4450+1620）=10×6070=60700（元），
答：从9月1日到9月10日仓库共需付运费60700元．
3．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
-2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？
（2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？
【解析】（1）求出这些有理数的和即可判断．
（2）求出这些有理数的绝对值的和，乘以0.4，可得结论．
（3）根据收费标准，一一计算即可．
解：（1）-2+10+1-3+2-12=-4（千米）．
所以小王在下午出车的出发地的正西方向，距下午出车的出发地4千米．
（2）（2+10+1+3+2+12）×0.4=12（元），
答：小王这天下午共需要12元油费．
（3）10×4+10+2（10-3）+10+2（12-3）=92（元）．
所以小王这天下午收到乘客所给车费共92元．
提升4.有理数混合运算简便运算
1.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
试题：计算：．小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：解：原式．老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键．
2．阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值．
（1）﹣+（﹣9）+17+（﹣3）
解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]
=[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1
上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算：
（2）（﹣2008）+（﹣2007）+4017+（﹣1）
【答案】-
【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值．
【详解】解：原式=（﹣2008）+（﹣）+（﹣2007）+（﹣）+4017++（﹣1）+（﹣），
=（﹣2008﹣2007+4017﹣1）+（﹣﹣+﹣），
=1﹣，
=﹣．
【点睛】此题是一个阅读理解题，要求学生首先阅读（1），结合有理数运算的法则，理解拆项法的原理及应用，然后仿照（1）的方法，进行计算．
3．符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：，…，求的结果．
【答案】．
【分析】根据符号“H”表示一种运算，对正奇数结果都是负的，数的绝对值比奇数大1；对偶数符号不变结果比偶数大1，得到新定义后的有理数，利用结合律进行连续两数相加，再计算结果即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
=
．
．
【点睛】本题考查有理数的新定义，掌握有理数的新定义实质，利用定义转化为有理数加减混合运算，适当利用运算律巧算是解题关键．
提升5 有理数混合运算的应用
1.出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
-2，+10，+1，-3，+2，-12，请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？
（2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？
【解析】（1）求出这些有理数的和即可判断．
（2）求出这些有理数的绝对值的和，乘以0.4，可得结论．
（3）根据收费标准，一一计算即可．
解：（1）-2+10+1-3+2-12=-4（千米）．
所以小王在下午出车的出发地的正西方向，距下午出车的出发地4千米．
（2）（2+10+1+3+2+12）×0.4=12（元），
答：小王这天下午共需要12元油费．
（3）10×4+10+2（10-3）+10+2（12-3）=92（元）．
所以小王这天下午收到乘客所给车费共92元．
2．某水果商店经销一种苹果，共有20筐，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负数来表示，记录如下表：（单位：千克）
与标准质量的差值 -3 -2 -1.5 0 +1 +2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
（1）与标准质量比较，这20筐苹果总计超过或不足多少千克？
（2）若苹果每千克售价2元，则出售这20筐苹果可卖多少元？
【解析】（1）根据表格中的数据可以求得20筐苹果总计超过或不足多少千克；
（2）根据（1）中的答案和题意，可以求得出售这20筐苹果的钱数．
解：（1）由表格可得，
（-3）×1+（-2）×4+（-1.5）×2+0×3+2×1+2.5×8
=（-3）+（-8）+（-3）+0+2+20
=8（千克），
答：与标准重量比较，20筐苹果总计超过8千克；
（2）由题意可得，（20×25+8）×2=1016（元）．
答：出售这20筐苹果可卖1016元．
3．某股民上星期五买进某公司股票1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（“+”号表示与前一天相比涨，“一”号表示与前一天相比跌）．
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌（元） +1.2 +0.4 -1 -0.5 +0.9
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高收盘价是每股多少元？收盘价最低是每股多少元？
（3）已知此股民买进和卖出股票时都要付0.15%的手续费和卖出时0.1%的交易税，如果他在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？
【解析】（1）星期三收盘时，每股的价格=20+1.2+0.4-1．
（2）由表格可知，本周内最高收盘价是星期二的收盘价；收盘价最低价是星期四的收盘价，再直接进行计算即可；
（3）先计算星期五以收盘价将股票全部卖出的价格，再减去手续费和交易税，最后与买进的价格进行比较即可．
解：（1）周三收盘时，股价为20+1.2+0.4-1=20.6（元）；
（2）本周内最高收盘价是每股20+1.2+0.4=21.6元；最低20+1.2+0.4-1-0.5=20.1（元）；
（3）星期五以收盘价将股票全部卖出的价格是1000×（20+1.2+0.4-1-0.5+0.9）=21000（元），
手续费和交易税为1000×20×0.15%+21000×0.15%+21000×0.1%=82.5（元）．
他的最后收益是21000-20000-82.5=917.5（元）．
4．七名学生的体重，以48.0kg为标准，把超过标准体重的千克计记为正数，不足的千克记为负数，将其体重记录如下表：
学生 1 2 3 4 5 6 7
与标准体重之差 -3.0 +1.5 +0.8 -0.5 +0.2 +1.2 +0.5
（1）最接近标准体重的学生体重是多少？
（2）求七名学生的平均体重；
（3）按体重的轻重排列时，恰好居中的是哪个学生？
【解析】（1）与标准体重之差的绝对值越小，就最接近标准体重，直接观察绝对值最小的数即可；
（2）用标准体重加上七名学生与标准体重之差的平均数，即为七名学生的平均体重；
（3）把与标准体重之差从小到大排序即可．
解：（1）因为与标准体重相差最小的是第五名学生，他与标准体重之差为+0.2kg,所以最接近标准体重的学生体重是48.2kg；
（2）七名学生的平均体重为：48.0+（-3.0+1.5+0.8-0.5+0.2+1.2+0.5）÷7=48.1（kg）；
（3）恰好居中的是第七名学生．
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