2023-2024学年山东省济南市高二下学期7月期末学习质量检测数学试题（含答案）

2023-2024学年山东省济南市高二下学期7月期末学习质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自年月日起全面向社会免费开放．景区有东南西北个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为
A. B. C. D.
2.函数在点处的切线斜率为
A. B. C. D.
3.观察下面四幅残差图，残差满足一元线性回归模型中对随机误差假定的是
A. B.
C. D.
4.济南市某高中组织全部学生参加公益活动，其中高一、高二、高三年级人数之比为，这三个年级分别又有，，的学生参加公益活动中的环保活动．从三个年级中任选一名学生，该学生参加环保活动的概率是
A. B. C. D.
5.随机变量的分布列为，，若，则
A. B. C. D.
6.某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布如果按照，，，的比例将考试成绩由高到低分为，，，四个等级，那么等级的最高分数线约为( )参考数据：若，则．
A. B. C. D.
7.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．对于方程，如果用二分法求近似解，给定初始区间，若精确度，则至少需要经过次迭代才能求出其近似解．牛顿在流数法一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解．从函数的观点看，给定一个初始值，在横坐标为的点处作函数的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到，一直继续下去得到，，，它们越来越逼近函数的零点，当时，或即为方程的近似解．现给定初始值，利用牛顿法求的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度
A. B. C. D.
8.函数有两个极值点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的展开式，下列说法正确的是
A. 展开式共有项
B. 展开式的二项式系数的和为
C. 展开式中的系数为
D. 展开式中第项或者第项的二项式系数最大
10.下列函数中，有两个零点的是( )
A. B.
C. D.
11.设，是两个随机事件，，，下列说法正确的是
A. 若，相互独立，，，则
B. 若，互斥，，，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，，，中任取个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数是 用数字作答
13.袋子中有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中任取个球，个白球得分，个黑球得分．记为取出的个球的得分总和，则 ．
14.以半径为，圆心角为的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器．当扇形的圆心角为__________时，容器的容积最大．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个质点从数轴上的原点开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动．若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位．抛掷硬币次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量，求：
质点位于的位置的概率；
随机变量的分布列和期望．
16.本小题分
函数．
当时，求的单调区间；
当时，记在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围．
17.本小题分
长时间近距离看电子产品会影响视力．泉泉调查了某校名学生，发现的学生近视；而该校的学生每天近距离看电子产品时间超过，这些人的近视率为．
请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过是否有关联；
近视 每天近距离看电子产品时间超过 合计
是 否
是
否
合计
研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力．高度近视者的眼轴长度一般大于下图是每天近距离看电子产品时间超过近视儿童和非近视儿童岁的眼轴生长发育散点图．
根据散点图判断，和哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过的近视儿童的眼轴生长发育情况？给出判断即可，不必说明理由
根据中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度单位：关于年龄，且的经验回归方程；
根据中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄．结果保留整数
参考公式及数据：
，，
(ⅱ)回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
(ⅲ)散点图中，；散点图中，．
18.本小题分
将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有个交点，则称函数具有“旋转不变性”．
证明：函数，具有“旋转不变性”；
若函数具有“旋转不变性”，求的取值范围．
19.本小题分
某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第行各数平方和等于第行中间的数，即：”，证明如下．
证明：考虑多项式中的系数，
一方面：代数式中，的系数为．
另一方面：代数式中，的系数为．
因为，所以．
所以．
如果证明过程中考虑中的系数，能得到的组合恒等式为__________请先填空，再构造一个实际背景，对所得恒等式的意义作出解释；
证明：
；
．
注：组合数，若，则．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知可知：质点位于的位置的概率．
随机变量可能取值为：，，，，．
，，
，，
．
所以随机变量的分布列为：
．
16.解：时，，
令，得或，
则当时，；当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减；
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
在区间的最大值为，
最小值为或，
因为，所以，
于是，．
，
当时，设，
则，故在上单调递增，
又，
的取值范围是．
17.解：列联表如下：
近视 每天近距离看电子产品时间超过 合计
是 否
是
否
合计
零假设为：近视与每天近距离看电子产品时间超过无关．
根据列联表中的数据，并计算得到，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为近视与每天近距离看电子产品时间超过有关联，此推断犯错误的概率不大于．
适宜每天近距离看电子产品时间超过的近视儿童的眼轴生长发育情况．
由题意可得，，，，
因此，
所以，
从而该类近视儿童眼轴长度单位：关于年龄，且的经验回归方程为
．
令，解得，
所以该类近视儿童开始高度近视时大约岁．
18.解：证明：由题意可知，当时，，
令，，则，，
在上单调递减故F，与，至多有个交点，
即，与，至多有个交点，
故函数，具有“旋转不变性”．
由题意得：当时，，
函数与函数的图象至多有个交点，
即方程至多有一个根，
即函数与函数的图象至多个交点，
因此函数在上为单调函数，
，而当时，，所以在上恒成立．
故令，
则．
因为在上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，，使．
所以，，，，单调递增，
，，，单调递减，，即．
19.解：．
构造实际背景，对所得恒等式的意义做出解释：从个男士与个女士中选取人小组，
一共有种方式另一方面，这样的人小组可分为个类：
第类由个男士和个女士组成，显然由乘法原理第类中有个小组，
因此人小组共有个
由加法原理可知：．
证明：方法一等式两边都是两个数相乘，可以联想到分步乘法原理．
于是构造组合的实际问题：从名学生中选出人组成代表队，其中名作为主力队员，
名替补队员，根据分步乘法原理共有种方法．
也可以直接从名学生中选出名主力队员，再从剩下的名学生中选出名替补队员，
根据分步乘法原理共有种方法由上面的两种方法可知：．
方法二
．．
方法一
．
因为，
所以：上式．
方法二
由，考虑中的系数，
一方面
，
的系数为，因为，所以的系数为
另外一方面，
所以的系数为．
因为，所以
所以．
方法三
现从位男士及位女士中选出人组成专业委员会，再从选出的人中选出
若干位女士人数不限可以不选组成领导小组：
第一种计数方法：对，从女士中选位女士组成领导小组的方法有，
剩下的人中选人补成人委员会的方法有，故有位女士组成领导小组的人委员会共有
，根据加法原理可知，所有的选法总数共有种
第二种计数方法：对，从女士中选，男士中选的方法各有和，故有位女士
组成的人专业委员会共有种每个这样的委员会中，从位女士中选取领导
小组的方式有种因此具有位女士且选取了领导小组的人委员会共有，所有的选法
总数共有种
综合上述两种计数的结果，便得出求证的不等式．
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