2023-2024学年福建省泉州、漳州市部分中学高二下学期7月期末联合检测数学试题（含答案）

2023-2024学年福建省泉州、漳州市部分中学高二下学期期末联合检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在研究线性回归模型时，样本数据，，，，，所对应的点均在直线上，用表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则( )
A. B. C. D.
4.随机变量的分布列如下：
若，则( )
A. B. C. D.
5.某班联欢会原定个节目，已排成节目单，开演前又增加了个互动节目，现将这个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为( )
A. B. C. D.
6.某学校有，两家餐厅，王同学第天选择餐厅就餐的概率是，若第天选择餐厅，则第天选择餐厅的概率为；若第天选择餐厅就餐，则第天选择餐厅的概率为；已知王同学第天是去餐厅就餐，则第天去餐厅就餐的概率为( )
A. B. C. D.
7.某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则( )
A. 当时，取得最小值
B. 若，，则的取值范围是
C. 若，，当取最大值时，则
D. 当时，随着的增大而减小
8.已知函数，若，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. 二项式系数和为 D.
10.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.设函数，则( )
A. 当时，直线不是曲线的切线
B. 若有三个不同的零点，，，则
C. 当时，存在等差数列，满足
D. 若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：
人
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为__________．
13.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第__________行会出现三个相邻的数，其比为．
14.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列设，数列的前项积为若对任意的，恒成立，则整数的最小值为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示：
第天
高度
由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
求关于的回归直线方程，并预测第天这株幼苗的高度．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
16.本小题分
定义：若函数与的图象在区间上有且仅有一个公共点，则称函数与在区间上单交，此交点被称为“单交点”已知函数，．
当，判断函数在点处的切线与函数是否在上单交，若是，并求出“单交点”的坐标；若不是，说明理由？
若函数与在上存在“单交点”，求的值．
17.本小题分
是技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查．整理如下列联表：
年龄因素 对该程序的态度 合计
不喜欢该程序 喜欢该程序
青少年
中老年
合计
注：本研究定义年龄不小于周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”．
请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系；
在抽取的名居民中有人经常使用该程序辅助工作．以样本频率估计概率．若在全市范围内抽取位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差；
在抽取的名居民中有名高中生，其中有名男生，名女生．为进一步了解他们的对于的认知和看法，在名高中生中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
18.本小题分
已知，
当时，求函数的极值；
讨论函数的单调性；
设，，当时，证明：．
19.本小题分
近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉，每款数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的．
现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为，证明：；
设首次出现连续次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为，
(ⅰ)求；
(ⅱ)求，．
提示：求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为．
参考公式：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，，
所以，
因为与非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系；
，，
所以关于的回归直线方程为，
当时，，
由此预测第天这株幼苗的高度为．
16.【解答】解：由，得，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，代入，得，当时，，此时，函数在点处的切线与函数是在上单交，“单交点”坐标为；
令，，又与在上存在“单交点”，则在只有一个零点，，由，得，令，，则，因为时，，时，，所以在上递减，在上递增，
因此，，又时，，时，，所以．
17.【解答】解：（1）根据题意可得22列联表如下：，零假设为：年龄因素与是否喜欢该程序独立，即年龄因素与是否喜欢该程序无关，根据列联表的数据计算可得===3.590>2.706=，根据小概率值=0.1的独立性检验，推断不成立，即年龄因素与是否喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1；
（2）因全市的居民数数远大于所抽取的居民数，以样本频率估计概率，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作的人“的概率P==，即可得X~B(20,)，故E(X)=20=，D(X)=20=；
（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0,1,2,3，且Y服从超几何分布，P(Y=0)==，P(Y=1)===，P(Y=2)===，P(Y=3)===，故所求分布列为：
，可得E(Y)=0+1+2+3==2.1.
18.解：当时，，
由，
由得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值；
由，定义域为，
所以，
对的单调性讨论如下，
当时，由，则恒成立，所以在上单调递增；
当时，由且得：，
由且得：，
所以在上单调递减，
在上单调递增，
令，
所以恒成立，
所以在上单调递减，取，
则，即，
所以 ，
由于
．
19.解：证明：
，
同理可得，，
，
所以
，
，
，
两式相减，得
所以，
，解得：，
期待在次试验后，首次出现连续次成功，
若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为
若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为，
即，
整理得：，即，
所以是首项为公比为的等比数列，
所以．
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