2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一下学期期末联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一下学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.设，是直线上两点，则“，到平面的距离相等”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知某正六棱柱的所有棱长均为，则该正六棱柱的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.用，，这个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 若复数，满足，则
D. 若复数满足，则的最大值为
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列对的个数的判断正确的是( )
A. 当时，有两解
B. 当，，时，有一解
C. 当时，无解
D. 当，，时，有两解
11.如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点，，作截面交于点，则( )
A.
B. 平面平面
C. 平面
D. 点到截面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若事件与互斥，且，，则 ______．
13.如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底即小山的最高处的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ．
14.已知中，为上一点，且，，垂足为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知向量．
若，，三点共线，求的值；
若四边形为矩形，求的值．
16.（15分）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点．
若平面，试确定在上的位置，并说明理由；
若，证明：．
17.（15分）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，点是线段上的一点，且，，求的周长．
18.（17分）为了估计一批产品的质量状况，现对个产品的相关数据进行综合评分满分分，并制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为分及以上的产品为一等品．
求图中的值，并求综合评分的平均数；
用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取个产品，再从这个产品中随机抽取个产品记录有关数据，求这个产品中最多有个一等品的概率；
已知落在的平均综合评分是，方差是，落在的平均综合评分为，方差是，求落在的总平均综合评分和总方差．
19.（17分）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点，点是线段的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的余弦值．
参考答案
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15.解：因为，
所以，．
又，，三点共线，所以，所以，
解得．
由，
，
若四边形为矩形，则即，
解得．
由，得
解得所以．
16.解：是的中点，理由如下：
若平面，由平面，平面平面，
得，又是的中点，在上，
所以是的中点；
证明：取的中点，连接，，
因为，为中点，
所以，，
因为，所以平面，
因为平面，
所以．
17.解：依据题干条件，
根据正弦定理可得
，
又因为，
所以
，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以．
由题意可知，又因为三角形包括三角形和三角形，
即，
所以，
即．
在中，，
即，
因此，
解得舍去或，
所以的周长为．
18.解：由频率分布直方图可得：，
解得，
则综合评分的平均数为；
由题意，抽取个产品，其中一等品有个，非一等品有个，
一等品记为、、，非一等品记为、，
从这个产品中随机抽取个，试验的样本空间、、、、、、、、、，共个样本点，
记事件“抽取的这个产品中最多有个一等品”，则、、、、、、，共个样本点，
所以所求的概率为；
，
．
19.解：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
在矩形中，，，点是棱的中点，
所以，所以是等边三角形，
又点是线段的中点，所以，
又，，平面，
所以平面．
在平面内，过点作的垂线，垂足为，
由知平面，又平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
所以是直线与平面所成角，
在中，，，
所以，
又点为棱的中点，所以，
因为平面，又平面，
所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
在平面内，过点作的垂线，垂足为，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，
因为平面，又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又，平面，所以，，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，又，
所以为二面角的平面角，
在中，，
因为平面，平面，所以，
又易得，，
所以，
由等面积法可知，
在中，，，，
所以，
所以，
即二面角的余弦值为．
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