有理数及其运算
5．有理数的减法
一、学生起点分析
有理数的减法运算是一种基本的有理数运算，对今后正确熟练地进行有理数的混合运算，并对解决实际问题都有十分重要的作用。学生对减法运算并不陌生，但在小学阶段多是一种技能性的强化训练，学生对此缺乏理性的认识，很多时候减法仅作为加法的逆运算而存在．因此在教学中一方面要利用这些既有的知识储备作为知识生长的“最近发展区”来促进新课的学习，另一方面要通过具体情境中减法运算的学习，让学生体会减法的意义．
学生的知识技能基础：本节课是在学习了正负数、相反数、有理数的加法运算之后学习的新内容。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些数学活动，解决了一些简单的实际问题，感受到了有理数运算的必要性与作用，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、学习任务分析
“数的运算”是“数与代数”学习领域的重要内容，减法是其中的一种基本运算．本课的学习远接小学阶段关于整数、分数（包括小数）的减法运算，近承第四节有理数的加法运算．通过对有理数的减法运算的学习，学生将对减法运算有进一步的认识和理解，为后继诸如实数、复数的减法运算的学习奠定了坚实的基础。鉴于以上对教学内容在教材体系中的位置及地位的认识和理解，确定本节课的教学目标如下：
三、教学目标：
知识目标?
??1．理解掌握有理数的减法法则．?
??2．会进行有理数的减法运算．?
能力目标
通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想．?
2．通过有理数减法法则的推导，发展学生的逻辑思维能力．?
3．通过有理数的减法运算，培养学生的运算能力．?
（三）情感目标：
在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习．
为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：有理数的减法法则的理解和运用．教学难点是：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题．
四、学法引导?：
教学方法：教师尽量引导学生分析、归纳总结，以学生为主体，师生共同参与教学活动．?
学生学法：探索新知→归纳结论→练习巩固．?
3．教学重点、难点、疑点及解决办法?
重点：有理数减法法则和运算．?
?难点：有理数减法法则的推导．?
师生互动活动设计?
教师提出实际问题，学生积极参与探索新知，教师出示练习题，学生以多种方式讨论解决．?
五、教学过程设计：
（一）创设情境，引入新课?
1.计算（口答）
?(1)7＋（－3）；????????(2)－3＋（－7）；??
??(3)?－10＋（＋3）；????(4)?＋10＋（－3）．
2.用算式表示下列情境．
先请同学读出右图的第一支温度计所示温度．学生口答为?5℃，现上升15℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到20℃处停止．学生通过观察口答表示这一情境的算式：5＋15=20（此举进一步揭示加法在实际中的应用）．
第二支温度计上温度为15℃，现下降10℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到5℃处停止．学生通过观察回答用加法表示这一情境的算式：15＋（－10）=5．你能从图中观察出15℃比5℃高多少吗？你是怎样得出结论的？能用算式表示吗？得：15－5=10．这是一个小学里就已经学过的减法问题．
再观察第三支温度计，它显示的温度是－10℃，现上升15℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到5℃处停止．学生通过观察回答表示这一情境的算式：
（－10）＋15=5；温度又从5℃下降到－10℃（继续演示动画），你能从图中看出哪个温度更高些吗？高多少？你是怎样得出这个结论的？能用算式表示吗？
学生讨论后，尝试给出算式5－（－10）=？是15吗？这个算式该如何计算呢？这就是我们今天要学的内容．
这是一个具体实例，教师创设问题情境，激发学生的认知兴趣，渗透了数形结合的思想，把具体实例抽象成数学问题，从而点明本节课的课题――有理数的减法．
【教法说明：1题既复习巩固有理数加法法则，同时为进行有理数减法运算打基础．2题是一个具体实例，创设问题情境，激发学生的认知兴趣，把具体实例抽象成数学问题，从而点明本节课课题—有理数的减法．】?
（二）师生共同探索新知?
活动内容：通过对温度计的观察，计算温差，感知有理数减法法则。
问题1：你能从温度计上看出4℃比－3℃高多少摄氏度吗？
先请同桌两位同学相互讨论交流，然后请2~3个学生发言．
问题2：如何计算4－（－3）呢？
先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数－减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差＋减数=被减数·
如：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4.
即X+（－3） =4，因为7+（－3） =4，所以4－（－3） =7
减法????????????????????????? 加法 （+4）-（-3）=+7?????????? (+4)+(+3)=+7 ?让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：
（+4）-（-3）=(+4)+(+3)??
再给出以下算式：
?减法??????? 加法
?(+5)-（+2）=+3?????? （+5）+（-2）=+3 ?继续让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：
?(+5)-（+2）=（+5）+（-2）
问题3：请同学们想一想，4十？=7?
请学生回答，教师板书：4＋（＋3) = 7，用彩色粉笔在4－（－3）与4十（＋3)处画出着重号．引导学生观察4＋（＋3)=7与4－（－3)=7，从而提出猜想“减去一个数与加上这个数的相反数是相等的”：
4-（－3）=4＋（＋3）．
这时教师问：你发现这个等式有什么特点？
学生回答后，示意再换几个数试一试，并请学生分组合作计算、交流：
（1）把4换成0，－1，－5，得0－（－3），（－5）－（－3），（－5）一（－3），这些数减（－3）的结果与它们加（＋3）的结果相同吗？
（2）计算9－8，9＋（一8），15一7，15＋（一7），你发现了什么？
请小组代表全班汇报，教师在此基础上归纳：
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
问题4：你能够用字母把法则表示出来吗？
a－b=a＋（－b）?(说明：简明的表示方法，体现字母表示数的优越性实际运算时会更加方便）
强调运用法则时：被减数不变，减号变加号，减数变成其相反数 ? 减数变号（减法============加法）
活动目的：《标准》中明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．基于以上理念，结合本节课内容及学生情况，教学设计中采用“引导——发现法”组织教学．其基本程序设计为：创设情境——提出猜想——探索验证——总结归纳——反馈运用．
上述教学程序的实施很大程度上有赖于学生的学习，因此对学生学习方式的指导是十分重要的．本节课应鼓励和引导学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习，让学生亲历从列举特例到归纳（不完全归纳）出一般的减法法则的全过程，体验知识产生和发展的全过程．
教学要求与效果：通过学生的合作探讨，培养学生与他人合作交流的习惯与意识，改变他们的学习方式，争取让他们的学习方式，争取让每个学生都在同伴的交流中获益。此处也是让学生验证前面所提的猜想的正确性，用字母把减法法则表示出来，有利于学生的理解和记忆。
应用举例，变式练习
活动内容：?让学生完成课本P63的练习1，巩固有理数减法法则的运用，强化学生对这节课的掌握。例1，例2口答，例3题请2个学生上黑板板演。对回答好的同学给予表扬肯定，如果有错误，请其他同学纠正。
?例1．计算 :(1)?? (-3)-（-5）;??? （2） 0 - 7 ?例2．计算（1） 7.2 - (-4.8) ；???? (2)? (-3 －2 ) - 5
例3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？
活动目的：通过例题教学使学生巩固方法，初步具备解决问题的能力。讲解时注意让学生复述有理数法减法则，加深学生对法则的认识，并注意归纳有理数减法的规律，而不机械地将减法转化成加法，为今后进一步学习减法运算逐步省略化成加法的中间步骤作准备。渗透化归的思想：让学生归纳一些运算的规律、特征，有利于提高学生的运算能力。补充例题的作用在于让学生体会减法在实际生活的应用。让学生感受8848米这个高度，培养学生的数感。
（四）尝试反馈，巩固练习
??教科书第49页练习题1、2
??学生活动：1题找学生口答，2题指名学生板演，其他同学做在练习本上．
活动目的：学生对有理数减法法则已经熟悉，学生在做练习时，要引导学生注意归纳有理数减法规律，而不要只是简单机械地将减法化成加法，为以后逐步省略化成加法的中间步骤做准备．】
我编你答．
应用课件随机出题，学生抢答.
活动目的：教师与学生以平等身份参与教学，放手让学生自己编拟有理数减法的题目，其目的是让学生巩固已学知识．这样做，一方面可以活跃学生的思维，培养学生的表达能力．另一方面通过出题，相互解答，互相纠正，能增强学生学习的主动性和参与意识．同时，教师可以获取学生掌握知识的反馈信息，对于存在的问题及时回授．
课堂小结?
????通过本节课学习你学到了什么？?
小结强调：有理数减法法则是一个转化法则，要求同学们掌握并能应用其计算．对于小学不能解决的2－5这类不够减的问题就不成问题了．也就是说，在有理数范围内，减法总可能实施．
（六）布置作业??
????习题1.6第1、2、3题中的奇数题；第4、5题中的偶数题 ????课后完成：习题1.6第1、2、3题中的偶数题；第4、5题中的奇数题
设计说明
??? 本案例从数学知识的形成过程设计问题，使得学生的认知能力与知识的形成不分离，达到结伴而行的目的。主要方法与效果有以下几点：
（1)以问题情境为导引。为学生提供丰富的感性材料，这有助于学生积极参与，调动学生的积极性，树立学习的自信心。
（2）调动学生动手实验，动脑思考，教学中很多知识的形成要借助于数学实验来发现。
（3)让学生主动参与探索。学生的数学学习往往是现实的、有趣的、富有挑战性的，他们通过对教师设置问题的研究，积极探究发现，动脑猜想、归纳、证明，从而理解有理数的减法法则，使学生的探究能力得到提高。
课件19张PPT。第二章 有理数及其运算
第5节 有理数的减法 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.(3) 一个数与0相加，仍得这个数.
复习计算（1） 1 + 6 =
（2）（–2）+（–8） =
（3） （–9）+ 10 =
（4） 5 + （–9） =
（5） （–2.2）+ 2.2 =
（6） 6 + 0 =
（7） 0 + （–8） =7–101–46–8 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.0全国北方主要城市天气预报2004年某月某日84合作探究问题1：问题1：3-（-3）=你是怎么计算出来的呢？根据小学里讲的：减法是加法的逆运算可得
3-（-3）的结果就是求什么数加上-3等于3？+6+6合作探究试一试：请根据提供的式子完成下列问题(-3)+（+10）= +7（ –2 ）+ （–8）=-10②（–10）–（–8）=①（+7）-（+10）=-3-2③（+7）+（-10）=④（–10）+（+8）=-3-2合作探究比一比，议一议算式①和②是什么运算？等式③和④是又是什么运？结果怎样？
于是：这两个等式有
什么特点？从
等式中同学们
对减法运算有
什么认识？算式左边是减法
运算；算式右边
是加法运算；减法
运算可以转化为
加法运算合作探究我来说：我是这样进行减法计算的有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数注意：减法在运算时有 2 个要素要发生变化。1 减 加
2 减数 相反数 a–b=a+(–b)1. 下列括号内各应填什么数？
（1）（-2）-（-3）=（-2）+（ ）；
（2） 0 - （-4）= 0 +（ ）；
（3）（-6）- 3 =（-6）+（ ）；
（4） 1-（+39）= 1 +（ ）
试一试例1 计算下列各题：
（1）(-3) -（-5） （2） 0-7
（3）7.2-(-4.8) （4）（2）原式=0+(-7)
=-7解:（1）原式= (-3)+5
=2减去7等于加上 7 的相反数。（3）原式 = 7.2+4.8=12（4）原式 =减去（-5）等于加上 -5 的相反数。我最行！口算：（看谁算得快）
（1）3 – 5 ； （2）3 – （ – 5）；
（3） – 3 – 5； （4）（ – 3） – （- 5）；
（5）–6 –（ –6）； （6） – 7 – 0；
（7）0 – （ –7） ； （8 ） – 6 – 6
例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰， 其海拔高度是 8844 米，吐鲁番盆地的海拔高度是 –155 米，两处高度相差多少米？解：8844-（-155）
=8844+155
=8999（米）
答：两处高度相差8999米。例２世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约
是8 848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米．两
处高度相差多少米？
8 848米有多少层楼高？解：8 848－（－155）＝8 848＋155＝9 003（米）思考题一、填空题
1、有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的 。
2、①3.6-4.7= ②(-7)-12=
③(+13)-(-7)= ④5-(-3)=
⑤0-15= ⑥0-(-8)=
⑦(-3.4)-0= ⑧（-1.24）-5.73=
⑨(-4)-（-4.375）= ⑩2-（+5）=
3、（1）（-5）+（ ）= -8；
（-3）+（ ）=2达标测试（2）比2°C低8°C的温度是 ；
比-3°C低6°C的温度 ；
（3）比0小4的数是 ；
比0 小-4的数是 ；
（4）7.4比8.3小 ；
7.4比8.3大 。
4、若m>0,n<0,则m-n 0;
若m<0,n>0, 则m-n 0。二、选择题
1、下面等式正确的是（ ）
A、a-b=(-a)+ b B、a-(-b)=（-a）+(-b)
C、(-a)-(-b)=(-a)+(-b) D、a-(-b)=a+b
2、下列说法中下正确的是（ ）
A.两个数的差一定小于被减数
B、若两个数的差为0，则这两数必相等
C、零减去一个数一定得负数
D、一个负数减去一个负数结果仍是负数
3、设两个有理数的和为a，这两个有理数的差为b，则a、b的大小关系是（ ）
A、a=b B、 a C、a>b D、不能确定课堂小结
今天我们从实例出发，经过比较，归纳得出了有理数减法法则，并通过推理说明了法则的合理性。这样有理数的减法只需将减数变成它的相反数，把减法转化为加法（注意被减数是永远不变的）。从而有理数的加法和减法这两种互逆的运算可用加法统一起来。想一想还有什么运算与这种情形类似？这说明在一定的条件下，矛盾的双方可以向其对立面转化。同学们，再见！数轴上任意两点间的距离公式
阅读下列材料：点A、B在数轴上分别表示数a和b，A、B两点之间的距离为。
当A、B两点有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1， ；当A、B两点都不在原点，如图2，点A、B都在原点的右边，；
如图3，点A、B都在原点的左边， ；如图4， A点和B点在原点的两边， 。
综上所述，数轴上A、B两点之间的距离。
回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
数轴上表示x与-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 。
有理数的减法
l．有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的___________，用字母表示成：_______________________________
2．下列括号内应填什么数?
(1)(-2)-(-5)=(-2)+(______)； (2)0-(-4)=0+(______)；
(3)(-6)-3=(-6)+(______)； (4)1-(+37)=1+(______)．
3．温度3℃比-7℃高_______；温度-8℃比-2℃低_______．海拔-200m比300m高________；从海拔250m下降到100m，下降了________．
4．
全国主要城市天气预报
城市
高温
低温
温差
城市
高温
低温
温差
哈尔滨
13
－2
?
乌鲁木齐
－4
－9
?
西宁
－2
－7
?
银川
0
－5
?
昆明
17
5
?
贵阳
7
－8
?
5．下列说法中错误的是…………………………………………………………………〖 〗
A．减去一个负数等于加上这个数的相反数 B．两个负数相减，差仍是负数
C．负数减去正数，差为负数 D．正数减去负数，差为正数
6．下列说法中正确的是…………………………………………………………………〖 〗
A．减去一个数等于加上这个数 B．两个相反数相减得O
C．两个数相减，差一定小于被减数 D．两个数相减，差不一定小于被减数
7．下列说法正确的是……………………………………………………………………〖 〗
A．绝对值相等的两数差为零 B．零减去一个数得这个数的相反数
C．两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减 D．零减去一个数仍得这个数
8．差是-7.2，被减数是0.8，减数是…………………………………………………〖 〗
A．-8 B．8 C．6.4 D．-6.4
9．若，且，则是………………………………………………〖 〗
A．正数 B．正数或负数 C．负数 D．0
10.若│a│=5，│b│=3且a>b，则a-b=（ ）
A．2或8 B．-2或-8 C．-5或-3 D．±3或±8
11.a，b在数轴上位置如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A．-a+b<0 B．-a-b>0 C．a+b<0 D．a-b<0
12.若两个有理数的差是正数，那么（?? ）
A. 被减数是负数，减数是正数???????? B. 被减数和减数都是正数
C. 被减数大于减数?????????????????????????? D. 被减数和减数不能同为负数
13. 当x<0，y>0时，则x，x＋y，x－y，y中最大的是（?? ）
A. x????????????????????? B. x＋y???????????????? C. x－y???????????????? D. y
14.若a是有理数，则一定是（ ）
A．正数 B.负数 C.零 D.非负数
15.已知，则的值等于（ ）
A.－12 B.－2 C.－2或－12 D.2
16.计算
(1)(-5)-(-3)； (2)0-(-7)； (3)(+25)-(-13)； (4)(-11)-(+5)； (5)12-21；
(6)-1.7-2.5； (7)； (8) （9）[(-5)-(-8)]-(-4)
（10）(2)3-[(-3)-10]．
17.已知a=1，b=-2，c=-3，求（1）-a-b （2）b-│c│．
18.全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分.游戏结束时，各组的分数如下：
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
100
150
－400
350
－100
（1）第一名超出第二名多少分？
（2）第一名超出第五名多少分？
；
19.在下表的空格内填入适当的数，使表中各横行四个数之和与各竖列的四个数之和均相等.
-1
-14
-1
12
-5
6
10
16
ll
-13
20.有依次排列的3个数：3、9、8，对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后，也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8.继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
【解】：第一次操作以后所产生的新数串的所有数之和为25,比原数串的所有数之和20大5,
第二次操作以后所产生的新数串的所有数之和为30, 比第一次操作以后所产生的数串的所有数之和大5,……,可以知道从数串3，9，8开始操作100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是20+5×10=520.
（点拨：先求出前几个数串的和，然后寻找出规律）
21.已知︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3，求a－b的值
