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浙江省杭州市2025年浙教版9年级上开学考训练题
一．选择题（共27小题）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣4a+4＝（a+2）2
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【分析】将各项因式分解后判断即可．
【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1），
则A不符合题意；
a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
则B不符合题意；
a2+2ab﹣b2无法因式分解，
则C不符合题意；
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝3+1，
∴（x﹣1）2＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．+无法合并，故此选项不合题意；
B．＝5，故此选项不合题意；
C．（3﹣）2＝11﹣6，故此选项符合题意；
D．6÷×＝9，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．小明同学对数据6，6，9，1■，21进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（ ）
A．平均数 B．标准差 C．中位数 D．方差
【分析】根据平均数，标准差，方差与中位数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，与被污染数有关，故不符合题意；
B、标准差是方差的算术平方根，与被污染数有关，故不符合题意；
C、中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，为9，与被污染数无关，故符合题意；
D、方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方和的平均数，与被污染数有关，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平均数，标准差，方差与中位数．熟练掌握平均数，标准差，方差与中位数的定义是解题的关键．
7．如图，把一个长方形的纸片按图所示对折两次，然后剪下三角形展开，得到的四边形一定是（ ）
A．仅有一组对边平行的四边形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
【分析】根据题意知，对折实际上就是轴对称，对折两次后剪下应有4条边，并且这4条边相等，从而可以得到剪下的图形展开后一定是菱形．
【解答】解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，
根据四边相等的四边形是菱形可得，剪下的图形是菱形，
故选：B．
【点评】此题考查了剪纸问题，解决问题的关键是掌握菱形的判定方法：四边相等的四边形是菱形．
8．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：x≥3，
数轴上表示，如图所示：
．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
9．反比例函数y=的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y=中，k＝4＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
A、当t＜﹣4时，t+4＜0，
∵t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，正确，符合题意；
B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限，
∴y1＜0，y2＞0，
∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；
C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；
D、当t＞0时，t+4＞0，
∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限，
∵t＜t+4，
∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
10．反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数y=图象的比例系数8＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数y=图象的比例系数8＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了由反比例函数的图象和性质确定y2，y1，y3的关系．掌握当反比例函数y＝的比例系数k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小是解决问题的关键．
11．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
12．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式x- ＜0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y＝（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①由A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；
②根据直线和双曲线的性质即可判断；
③结合图象，即可求得关于x的不等式x- ＜0的解集；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC，由点C的纵坐标为6，可求得点C的坐标，继而求得答案．
【解答】解：①∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，
∴点A的纵坐标为：y＝×3＝2，
∴点A（3，2），
∴k＝3×2＝6，故①正确；
②∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）是中心对称图形，
∴A点与B点关于原点O中心对称，故②正确；
③∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，
∴B（﹣3，﹣2），
∴关于x的不等式x- ＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3，故③正确；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点C的纵坐标为6，
∴把y＝6代入y＝得：x＝1，
∴点C（1，6），
∴S△AOC＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC＝×（2+6）×（3﹣1）＝8，故④正确；
故选：A．
【点评】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及一次函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想的应用．
13．如图，菱形纸片ABCD，∠A＝60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上的C'处，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC′等于（ ）
A．60° B．65° C．80° D．75°
【分析】由菱形的性质可得AD＝AB，∠ADC＝120°，∠C＝∠A＝60°，由折叠的性质可得∠C'DE＝∠CDE＝45°，∠C＝∠C'＝60°，可求解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵菱形纸片ABCD，∠A＝60°，
∴AD＝AB，∠ADC＝120°，∠C＝∠A＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∵P为AB中点，
∴∠ADP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∵折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上的C'处，
∴∠C'DE＝∠CDE＝45°，∠C＝∠C'＝60°，
∴∠DEC'＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些的性质是本题的关键．
14．已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（ ）
A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2
【分析】运用不等式的性质和整式的混合运算知识进行逐一辨别．
【解答】解：∵0＞a＞b时，a2+m＜b2+m，
∴选项A不符合题意；
∵a，b，m是实数，且a＞b时，a+m2＞b+m2，
∴选项B符合题意；
∵a，b，m是实数，且a＞b时，a2m＞b2m不一定成立，
∴选项C不符合题意；
∵a，b，m是实数，且a＞b时，am2＞bm2不一定成立，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用不等式的性质和整式混合运算知识．
15．如图，已知线段AB长为2，过点B作BC⊥AB，使BC=AB；连接AC，以点C为圆心，BC长为半径作弧，交线段AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径作弧，交线段AB于点E，则AE的长为（ ）
A． B．-1 C． D．3-
【分析】根据垂直定义可得∠ABC＝90°，再根据已知易得BC＝1，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝，再根据题意可得：AD＝AE，CD＝BC＝1，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵BC=AB，AB＝2
∴BC＝1，
∴AC＝＝＝，
由题意得：AD＝AE，CD＝BC＝1，
∴AE＝AD＝AC﹣CD＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，黄金分割，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
16．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）2024
【分析】先根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数求出a，b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，
∴a﹣1＝﹣2，b﹣1＝﹣1，
∴a＝﹣1，b＝0，
∴（a+b）2024
＝（﹣1+0）2024
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
17．小明早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家时，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多15分钟，问小明家离学校多远？设小明家离学校有x千米，那么所列方程是（ ）
A．+= B．=-15 C．=+15 D．-=
【分析】根据“上学所用时间+15分钟＝放学所用时间”可得方程．
【解答】解：设小明家离学校有x千米，
根据题意，可列方程：+＝，即+=，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
18．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC＝MC＝4，根据 ABCD的周长是26，求出CD＝9，即可得到DM的长．
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝CD，
∴∠ABM＝∠BMC，
∴∠BMC＝∠CBM，
∴BC＝MC＝4，
∵ ABCD的周长是26，
∴AB+CD+AD+CD＝26，
∴BC+CD＝13，
∴CD＝9，
则DM＝CD﹣MC＝9﹣4＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD是解题的关键．
19．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G时AB的中点，连接AE，若AB＝2，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，交BC于点M，利用正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到BC＝ME＝2，BG＝CM＝1，再利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，交BC于点M，如图，
∵G是AB的中点，
∴BG＝AB＝1．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC＝2，AD∥BC，
∵EH⊥AD，
∴EH⊥BC．
∴∠CME＝90°，
∴∠MCE+∠CEM＝90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴CE＝CG，∠GCE＝90°，
∴∠MCE+∠GCB＝90°，
∴∠GCB＝∠CEM．
在△GCB和△CEM中，
，
∴△GCB≌△CEM（AAS），
∴BC＝ME＝2，BG＝CM＝1．
∵∠D＝∠DAB＝∠B＝∠HMB＝∠HMC＝∠DCB＝90°，
∴四边形HDCM，四边形ABMH为矩形，
∴DH＝CM＝1，HM＝AB＝2，
∴AH＝AD﹣DH＝2﹣1＝1，EH＝HM+EM＝2+2＝4，
∴AE＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（ ）
A．5 B．2 C． D．4
【分析】由全等三角形的性质得DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，则EH＝AE﹣AH＝1，而∠DHE＝90°，所以DE＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，
∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE＝90°，
∴DE＝＝＝，
故选：C．
【点评】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，求得DH＝4，EH＝1，并且证明∠DHE＝90°是解题的关键．
21．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD=2．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
【分析】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB＝DC，AD∥BC，得到AE＝DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE＝x，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝(2)2﹣（y+x）2，得到xy＝2．
【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），
∴CH＝BE＝x，
∵BC＝y，
∴EC＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x，
∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2，
∴22﹣（y﹣x）2＝(2)2﹣（y+x）2，
∴xy＝2．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝(2)2﹣（y+x）2．
22．如图，在 ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，若AD＝2AB，则下列结论：
①四边形ABFC是平行四边形；
②DE⊥AF；
③S△ECF＝S△ECD；
④若BC＝25，DE＝24，则AF＝16．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据平行四边形的性质得AB∥CF，进而可证△ABE和△FCE全等，从而得AB＝CF，据此可对命题①进行判断；
②证∠BAD＝2∠DAE，∠ADC＝2∠ADE，再根据AB∥CD得2∠DAE+2∠ADE＝180°，进而得∠DAE+∠ADE＝90°，从而得∠AED＝90°，据此可对命题②进行判断；
③根据E是BC边的中点，AD∥BC得S△ABE＝S△ECD，再根据△ABE≌△FCE得S△ABE＝S△ECF，据此可对命题③进行判断；
④根据△AED为直角三角形，AD＝BC＝25，DE＝24，利用勾股定理得AE＝7，进而得AF＝14，据此可对命题④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，如图所示：
∴AB∥CD，
∴AB∥CF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∴四边形ACFB是平行四边形，
故命题①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠CED＝∠ADE，∠BAD+∠ADC＝180°，
∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵AD＝2AB，
∴AB＝BE＝CE＝CD，
∴∠1＝∠AEB，∠CDE＝∠CED，
∴∠1＝∠DAE，∠CDE＝∠ADE，
∴∠BAD＝2∠DAE，∠ADC＝2∠ADE，
∴2∠DAE+2∠ADE＝180°，
即∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝90°，
即DE⊥AF，
故命题②正确；
③∵E是BC边的中点，AD∥BC，
∴S△ABE＝S△ECD，
∵△ABE≌△FCE，
∴S△ABE＝S△ECF，
∴S△ECF＝S△ECD，
故命题③正确；
④∵∠AED＝90°，
∴△AED为直角三角形，
∵BC＝25，DE＝24，
∴AD＝BC＝25，
在Rt△AED中，AD＝25，DE＝24，
由勾股定理得：AE＝＝7，
∵△ABE≌△FCE，
∴EF＝AE＝7，
∴AF＝AE+EF＝14，
故命题④不正确．
综上所述：正确的命题是①②③，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F为AB中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．2
【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+3，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，
设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠AQF＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+3，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+3）2﹣32＝（2）2﹣x2，
整理得：x2+3x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝﹣4（舍去），
∴BE＝1，
∴AE＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
24．已知方程x2+bx+c＝0的两个根是±α，x2+dx+e＝0的两个根是±β．当x＝β时，x2+bx+c的值记作y1；当x＝α时，x2+dx+e的值记作y2．则下列结论一定成立的是（ ）
A．y1+y2＝0 B．y1﹣y2＝0 C．y1 y2＝1 D．y1﹣y2＝1
【分析】根据题意，用含有α，β和c，e的代数式表示y1和y2，再将方程的根代入相应得方程得出α与c，β与e之间的关系即可解决问题．
【解答】解：因为方程x2+bx+c＝0的两个根是±α，
所以，
则b＝0，
所以此方程为x2+c＝0，
将x＝α代入方程得，
α2＝﹣c．
同理可得，
β2＝﹣e．
因为当x＝β时，x2+bx+c的值记作y1，
所以y1＝β2+c，
同理可得，
y2＝α2+e．
所以y1+y2＝β2+c+α2+e＝﹣e+c﹣c+e＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25．如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确②错误 D．①错误②正确
【分析】由正方形ABCD，BF⊥CE，得△ABF≌△BCE（ASA），得S1+S5＝S1+S4，得S4＝S5，由S1+S2+S5＝S3+S4，即可得S1+S2＝S3．
【解答】解：由正方形ABCD，BF⊥CE，
得△ABF≌△BCE（ASA），
得S1+S5＝S1+S4，
得S4＝S5，
由S1+S2+S5＝S3+S4，
得S1+S2＝S3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是面积关系的正确变形．
26．如图，过y=(k≠0，x＞0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=-的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】设A（m，），则B（﹣，），D（m，﹣），根据条件可知S2＝S4＝2，S3＝，代入S2+S3+S4＝，
求出k值即可．
【解答】解：设A（m，），则B（﹣，），D（m，﹣），
∴C（﹣，﹣），
∴S2＝S4＝2，S3＝，
∵S2+S3+S4＝，
∴2++2＝，
解得k＝，
经检验，k＝是方程的解，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象、矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
27．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若点E是AH的中点，连接BH并延长交CD于点I，若DI＝1，则线段BI的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【分析】由点E是AH的中点，得到AE＝EH，根据全等三角形的性质得到BE＝AH＝DG，∠EBH＝∠CDG，DH＝AE＝CG，求得BE＝2EH，根据正方形的性质得到∠BEH＝90°，EH＝HG得到HI＝DI＝1，过I作IM⊥DH于M，根据三角函数的定义得到tan∠MDI＝∠EBH＝＝，设DM＝2x，MI＝x，根据勾股定理得到DI＝＝x＝1，求得x＝，得到DM＝，求得DH＝2DM＝，得到DG＝2DH＝，根据勾股定理得到CD＝＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵点E是AH的中点，
∴AE＝EH，
∵四个直角三角形全等，
∴BE＝AH＝DG，∠EBH＝∠CDG，DH＝AE＝CG，
∴BE＝2EH，
∵四边形EFHG是正方形，
∴∠BEH＝90°，EH＝HG
∴AB＝BH，
∵EF∥HG，
∴∠FBH＝∠GHB，
∵∠BHG＝∠DHI，
∴∠IDH＝∠DHI，
∴HI＝DI＝1，
过I作IM⊥DH于M，
∴tan∠MDI＝∠EBH＝＝，
设DM＝2x，MI＝x，
∴DI＝＝x＝1，
∴x＝，
∴DM＝，
∴DH＝2DM＝，
∴DG＝2DH＝，
∵CG＝＝，
∴CD＝＝4，
∴BH＝CD＝4，
∴BI＝BH+HI＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，勾股定理，三角函数的定义，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共16小题）
28．若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
29．某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评、和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以3：2：5的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评、和讲演成绩分别为90分、80分和94分，则这名同学的最终成绩为 90 分．
【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出这名同学的最终成绩．
【解答】解：这名同学的最终成绩为：＝90（分），
故答案为：90．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
30．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据内角和定理180° （n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180° （n﹣2），难度适中．
31．已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的标准差是 ．
【分析】计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差．
【解答】解：＝（2+3+4+5+6）＝4，
s2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2，
∴这组数据的标准差是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是标准差的计算，掌握方差的计算公式和方差与标准差的关系是解题的关键，注意标准差即方差的算术平方根．
32．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息：
x的取值 ﹣2 0.4 q
分式的值 无意义 0 3
则q的值是 4 ．
【分析】由表格中的数据，结合分式值无意义及分式值为0的条件可求解m，n值，即可求解分式，利用x＝q时，＝3，计算可求解．
【解答】解：由表格可知：当x＝﹣2时x+m＝0，且当x＝0.4时，5x+n＝0，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴分式为，
当x＝q时，＝3，
解得q＝4，
经检验，q＝4是分式的解，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查分式的值，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解分式方程，求解m，n值是解题的关键．
33．因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
34．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，当时，△PAE的面积为 ．
【分析】过点E作EF⊥AP于点F，证明PA＝PE，设PA＝x，由勾股定理列出x的方程求得PA，便可根据三角形的面积公式求得结果．
【解答】解：过点E作EF⊥AP于点F，则EF＝AD＝1，
由折叠知，∠AEC＝∠AEM，
∵∠CEP＝∠MED，
∴∠AEP＝∠AED，
∵AB∥CD，
∴∠PAE＝∠AED＝∠AEP，
∴PA＝PE，
设PA＝PE＝x，
∵AF＝DE＝，
∴PF＝x﹣，
∵PE2﹣PF2＝EF2，
∴，
解得x＝，
∴AP＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，关键是由勾股定理列出方程求得PA的长度．
35．已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①若函数y2的图象上的点的纵坐标为b，则b的取值范围为 b＜2 ．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值为 2﹣a ．
【分析】根据反比例函数的性质以及轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：①∵函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数y1＝图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，
∵函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，
∴y2的最大值小于2，
∴b＜2．
故答案为：b＜2；
②当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则其对应点为（m，a），
那么，点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2﹣a），
∴在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a，
故答案为：2﹣a．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，坐标与图形变化﹣对称，数形结合是解题的关键．
36．如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，以D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N，再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E．则∠ADE＝ 60 °．
【分析】根据平行线的性质可求∠ADB，再根据图形的作法可知∠BDE＝∠ADB，再根据角的和差关系即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝30°，
∴∠ADB＝∠B＝30°，
由作法可知∠BDE＝∠ADB＝30°，
∴∠ADE＝∠BDE+∠ADB＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质，作一个角等于已知角，关键是得到∠ADB的度数．
37．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一个根是 2 ．
【分析】利用根与系数的关系求出另一根即可．
【解答】解：∵关关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是﹣1，设另一根为m，
∴﹣1×m＝﹣2，
解得：m＝2，
则另一根为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
38．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F，连接AE，若AF﹣AE＝2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F点坐标，根据待定系数法，可得k的值．
【解答】解：矩形ABCD中，AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
∴AE＝＝5，
∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
∴BF＝1，
设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），
∵E，F两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴4a＝a﹣3，解得a＝﹣1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质；利用E，F两点在反比例函数图象上得出关于a的方程是解题的关键．
39．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 5 ．
【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝DN，
当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
40．若反比例函数图象过点（﹣1，4），当y＜4且y≠0时，x的取值范围是 x＞0或x＜﹣1 ．
【分析】求出当y＝4时，对应的自变量的值，再根据反比例函数k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大即可确定．
【解答】解：∵反比例函数图象过点（﹣1，4），
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
当y＝4时，x＝﹣1，
又∵k＝﹣4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
故当y＜4．且y≠0时，有x＞0或x＜﹣1．
故答案为：x＞0或x＜﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，正确理解反比例函数的增减性是解决本题的关键，结合函数的简图更易理解．
41．已知△ABC与△ABD不全等，且AC＝AD＝1，∠ABD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则CD＝ 1或 ．
【分析】分两种情形分别求解即可．
【解答】解：如图，
当CD在AB同侧时，∵AC＝AD＝1，∠C＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AC＝1，
当C、D在AB两侧时，∵△ABC与△ABD不全等，
∴△ABD′是由△ABD沿AB翻折得到，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠AD′B＝∠ADB＝120°，
∵∠C+∠AD′B＝180°，
∠ABD′＝45°，∠AD′B＝120°
∴∠BAD′＝15°
∵△ACD为等边三角形
∴∠ACD＝60°，又∠ABC＝45°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠CAD′＝90°，
∴CD′＝＝．
当D″在BD′的延长线上时，AD″＝AC，也满足条件，此时CD″＝BC＝，此时△ABD≌△ABC，不符合题意，
故答案为1或．
【点评】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
42．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 ．
【分析】根据轴对称可得到等线段等角，再结合菱形的性质可得到△A'ED≌△CEB'（AAS），再证△DOE≌△B'OE（SSS），由B'C：B'O＝2：3即可求出答案．
【解答】解：如图连接OE、A'D，
∵AB关于过O的直线对称，
∴A'在BD延长线上，
∵，
∴设AC＝10k，BD＝6k，
在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，CB＝OD＝3k，
∵AB与A'B'关于过O的直线对称，
∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠DAC＝∠DCA，
∴A'D＝B'C＝2k，
∵∠A'ED＝∠B'CE，
∴△A'ED≌△CEB'（AAS），
∴DE＝B'E，
∵OE＝OE，OD＝OB'，
∴△DOE≌△B'OE（SSS），
∴S△DOE＝S△B′OE，
∵＝＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质和菱形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上基础知识和线段之间的转化是解题关键．
43．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，连接AE，AF，EF，AE与CF交于点G．已知∠EAF＝45°，AB＝3．有以下四个结论：①BE﹣DF＝EF；②∠AEF＝∠AEB；③GF＝GE；④若DF＝1，则△AEF的面积为7.5．
以上结论中正确的是 ①②④ ．
【分析】①在BC上截取BH＝DF，连接AH，GH，过点H作HT⊥AE于T，先证明△ABH和△ADF全等得AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝∠AFD，进而得∠EAH＝∠EAF＝45°，由此可证明△EAH和△EAF全等，则EH＝EF，据此可对结论①进行判断；
②根据△EAH≌△EAF得∠AEF＝∠AEB，据此可对结论②进行判断；
③设∠DAF＝α，则∠BAH＝∠DAF＝α，∠AHB＝∠AFD＝90°﹣α，∠EAB＝45°+α，则∠AEB＝90°﹣∠EAB＝45°﹣α，证明△AHG和△AFG全等得∠AHG＝∠AFD＝90°﹣α，GH＝GF，则∠BHG＝∠AHB+∠AHG＝180°﹣2α，进而得∠GHE＝2α，由此得∠AEB≠∠GHE，则GE≠GH，据此可对结论③进行判断；
④设EH＝x，其中x≠0，则BH＝DF＝1，BE＝BH+EH＝x+1，先求出AH＝√10，△ATH为等腰直角三角形，进而得AT＝HT＝，ET＝，则AE＝AT+ET＝，由AE2＝AB2+EB2，得，由此解出EH＝x＝5，则S△EAH＝EH AB＝7.5，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①在BC上截取BH＝DF，连接AH，GH，过点H作HT⊥AE于T，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠B＝ADF＝90°，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝∠AFD，
∵∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝45°，
∴∠EAD+∠BAH＝45°，
∴∠EAH＝∠DAB﹣（∠EAD+∠BAH）＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△EAH和△EAF中，
，
∴△EAH≌△EAF（SAS），
∴EH＝EF，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴BE﹣DF＝EF，
故结论①正确；
②∵△EAH≌△EAF，
∴∠AEF＝∠AEB，
故结论②正确；
③设∠DAF＝α，
∴∠BAH＝∠DAF＝α，
∴∠AHB＝∠AFD＝90°﹣α，
∵∠EAH＝45°，
∴∠EAB＝∠EAH+∠BAH＝45°+α，
∴∠AEB＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
在△AHG和△AFG中，
，
∴△AHG≌△AFG（SAS），
∴∠AHG＝∠AFD＝90°﹣α，GH＝GF，
∴∠BHG＝∠AHB+∠AHG＝90°﹣α+90°﹣α＝180°﹣2α，
∴∠GHE＝180°﹣∠BHG＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α，
∴∠AEB≠∠GHE，
∴GE≠GH，
即GF≠GE，
故结论③不正确；
④设EH＝x，其中x≠0，
∵DF＝1，AB＝3，
∴BH＝DF＝1，BE＝BH+EH＝x+1，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH＝＝，
∵∠EAH＝45°，HT⊥AE，
∴△ATH为等腰直角三角形，
由勾股定理得：AT＝HT＝AH＝，
在Rt△EHT中，由勾股定理得：ET＝＝，
∴AE＝AT+ET＝，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：AE2＝AB2+EB2，
即，
整理得：√，
∴5x2﹣25＝（x+5）2，
整理得：2x2﹣5x﹣25＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去），
∴EH＝x＝5，
∴S△EAH＝EH AB＝×5×3＝7.5，
∵△EAH≌△EAF，
∴S△AEF＝S△EAH＝7.5．
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
三．解答题（共17小题）
44．尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）证明AF∥CE；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【分析】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，根据“平行四边形的对边互相平行”即可得证；
（2）以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
【解答】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
故小丽的作法有问题．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
45．以下小明化简代数式（a+b）2﹣2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2的过程：
解：原式＝a2+b2﹣2（a2﹣b2）+a2﹣b2 ①
＝a2+b2﹣2a2﹣2b2+a2﹣b2 ②
＝﹣2b2 ③
（1）解答过程中哪几步错误？原因是什么？
（2）写出正确解答过程．
【分析】（1）观察小明解答过程，找出出错的步骤即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【解答】解：（1）解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错；第②步错，去括号出错；
（2）原式＝a2+2ab+b2﹣2（a2﹣b2）+a2﹣2ab+b2
＝a2+2ab+b2﹣2a2+2b2+a2﹣2ab+b2
＝4b2．
【点评】此题考查了平方差公式，整式的加减，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
46．（1）化简；
（2）解方程x2+12x+27＝0．
【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+
＝；
（2）∵x2+12x+27＝0，
∴（x+3）（x+9）＝0，
则x+3＝0或x+9＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣9．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
47．已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，然后根据非负数的性质得到Δ≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求得kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）的解为x1＝，x2＝﹣1，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．
【解答】（1）证明：Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）
＝（k+2）2，
∵（k+2）2≥0，
∴Δ≥0，
∴不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）解：kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0），
（kx﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝，x2＝﹣1，
因为该方程的两根均整数，
所以为整数，
所以整数k为±1或±2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
48．已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得y1的函数表达式；
（2）求得m＝1时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得n的取值范围；
（3）求出两函数图象的交点坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴y1的函数表达式为y1＝；
（2）把x＝1代入y＝得，y＝6，
∵k＝6＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵m＜1，
∴n＞6或n＜0；
（3）由y2＝ax﹣3a+2＝a（x﹣3）+2可知，直线经过点（3，2），
∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），
∴当x＞0，两函数图象的交点为（3，2），
∵a＞0，
∴y2随x的增大而增大，
∴当0＜x＜3时，y1＞y2，
当x＝3时，y1＝y2，
当x＞3时，y1＜y2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，待定系数法法求反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
49．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其它四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，m＝ 40 ，n＝ 60 ；
（2）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度；
（3）学校计划购买课外读物4000册，请根据样本数据，估计学校购买其它类读物多少册比较合理？
【分析】（1）由样本中喜爱文学读物的人数除以其所占百分比求出样本容量，将喜欢科普读物所占百分比乘以样本容量即可求出n；将样本容量减去其他三个类别的人数即可求出m；
（2）将喜欢艺术类读物的百分比乘以360°即可求得扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角的度数；
（3）将喜欢其他类读物所占比乘以4000即可估计学校购买其它类读物多少册比较合理．
【解答】解：（1）样本容量为：70÷35%＝200，
∴n＝200×30%＝60，
m＝200﹣70﹣60﹣30＝40，
故答案为：40，60；
（2）×360°＝72°，
故答案为：72；
（3）×4000＝600（册），
答：估计学校购买其它类读物600册比较合理．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
50．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC到G，使得CG＝BC，连接DG．
（1）求证：四边形ACGD是平行四边形；
（2）连接OG，若AB＝2，AD＝4，求OG的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，得到AD＝CG，根据平行四边形的判定定理得到四边形ACGD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，根据矩形的性质得到AO＝CO＝BO＝DO，BC＝AD＝4，BC＝AD，求得，，根据平行四边形的性质得到CG＝AD＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥CG，
∵BC＝CG，
∴AD＝CG，
∴四边形ACGD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，BC＝AD＝4，BC＝AD，
∴BE＝CE，
∴，
∴，
∵四边形ACGD是平行四边形，
∴CG＝AD＝4，
∴EG＝EC+CG＝6，
在Rt△OEG中，OE＝1，EG＝6，
由勾股定理得O．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
51．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE．
（1）若∠FCB＝30°时，求∠CDF的度数；
（2）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长；
（3）如图2，若CD＝CF，求∠ABE的度数．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质求出∠ACD＝15°，∠A＝45°，根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）过点C作CM⊥AB于M，由等腰直角三角形的性质得CM⊥AB，AM＝BM，CM＝AB＝AM＝BM＝6，再由勾股定理得DM＝，即可求解；
（3）过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，证△CDM≌△DEN（AAS），得CM＝DN，DM＝EN，则DM+MN＝CM，由（1）得∠ABC＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，证出DM＝BN＝EN，得△BNE是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵DE⊥CD，且DE＝CD，
∴∠DCF＝45°，
∵∠FCB＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCF﹣∠FCB＝15°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∴∠CDF＝∠A+∠ACD＝45°+15°＝60°；
（2）过点C作CM⊥AB于M，如图1，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AC＝6，
∴AB＝AC＝12，
∵CM⊥AB，
∴CM＝AM＝BM＝AB＝6，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝AM﹣DM＝6﹣；
（3）过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图2，
则∠CMD＝∠DNE＝90°，
∴∠MCD+∠MDC＝90°，
∵DE⊥CD，
∴∠MDC+∠NDE＝90°，
∴∠MCD＝∠NDE，
又∵CD＝DE，
∴△CDM≌△DEN（AAS），
∴CM＝DN，DM＝EN，
∴DM+MN＝CM，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
由（1）知，CM＝AM＝BM＝AB，
∴BM＝MN+BN＝CM＝DM+MN，
∴DM＝BN＝EN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；证明△CDM≌△DEN是解题的关键．
52．某班组织开展课外体育活动，在规定时间内，进行定点投篮，对投篮命中数量进行了统计，并制成下面的统计表和如图不完整的折线统计图（不含投篮命中个数为0的数据）．
投篮命中数量/个 1 2 3 4 5 6
学生人数 1 2 3 7 6 1
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）在本次投篮活动中，投篮命中的学生共有 20 人，并求投篮命中数量的众数和平均数；
（2）补全折线统计图；
（3）嘉淇在统计投篮命中数量的中位数时，把统计表中相邻两个投篮命中的数量m，n错看成了n，m（m＜n）进行计算，结果错误数据的中位数与原数据的中位数相比发生了改变，求m，n的值．
【分析】（1）将各投篮命中数量的学生人数相加，即可求出投篮命中的学生总数；根据众数的意义即可确定投篮命中数量的众数；根据加权平均数的计算方法求出平均数即可；
（2）根据表格信息补全折线统计图即可；
（3）分情况讨论，发生变化的情况下m，n的值即为所求．
【解答】解：（1）投篮命中的学生人数为1+2+3+7+6+1＝20（人），
故答案为：20；
由表格信息可知，投篮命中4个有7人，是人数最多的，故众数为4个；
平均数为（个），
故篮命中数量的平均数为3.9个；
（2）补全折线统计图如图：
（3）原投篮命中数量的中位数是；
当1和2互换时，中位数为4，没有变化；
当2和3互换时，中位数为4，没有变化；
当3和4互换时，中位数为，发生变化，此时m＝3，n＝4；
当4和5互换时，中位数为4，没有变化；
当5和6互换时，中位数为4，没有变化．
∴m＝3，n＝4．
【点评】本题考查折线统计图，平均数，中位数，众数，理解题意，掌握平均数，中位数，众数的确定方法是解题的关键．
53．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】（1）根据点D和E分别是AB和AC的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到DE∥BC，且BC＝2DE，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形BCFE是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论；
（2）根据∠BEF的大小，可判定△EBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作EG⊥BC于点G，运用勾股定理，即可得到EG的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且BC＝2DE．
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC．
∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC，
∴∠EBC＝60°．
∴△EBC是等边三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
过点E作EG⊥BC于点G．
∴BG＝2．
∴EG＝＝2．
∴S菱形BCFE＝BC EG＝4×2＝8．
【点评】本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质．
54．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，4），
由，解得或，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝4；
（3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
55．如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD，∠ACB＝∠DAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF＝EG．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若CD＝4，∠B＝45°，∠CEG＝15°，求AB的长．
【分析】（1）证明AD∥CE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AE＝CD＝4，进而证明Rt△AFE≌Rt△AGE（HL），再证明△BEF是等腰直角三角形，然后证明由含30°的直角三角形的性质得BF＝EF＝2，进而由勾股定理求出AF的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥CE，
∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝4，
∵EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE＝∠AGE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE（HL），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BFE＝180°﹣90°＝90°，∠B＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝EF，∠BEF＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣∠BEF﹣∠CEG＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∴∠AEF＝∠AEG＝∠FEG＝60°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝30°，
∴BF＝EF＝AE＝2，
∴AF＝＝＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
56．综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？
素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知AC＝30cm，BC＝76cm，支点O在AC的中点处，一个100g的砝码．
素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个100g砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当PC＝10cm时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）
任务1：左侧托盘放入1个100g砝码，设右侧托盘放置yg物体，OP长为x cm，求y关于x的函数表达式；
任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个100g砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡；
任务3：横梁AB长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个100g砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，OA的长度至多是多少cm？
【分析】任务1：依据题意得，OA＝OC＝AC＝15cm，故100×15＝yx，进而可以判断得解；
任务2：依据题意，由任务1，y＝，又当PC＝10cm时，天平平衡，故x＝OP＝OC+PC＝15+10＝25，从而可得y的值，再结合10枚1一元的硬币yg，进而可以判断得解；由y＝，故y随x的增大而减小，从而当x最大时，y最小，则当x＝OB＝OC+BC＝15+76＝91时，y最小＝≈16.48，再结合一个硬币中6g可以计算得解；
任务3：由题意，设OA＝a cm时，天平平衡，此时OB＝AB﹣OA＝（30+76﹣a）cm＝（106﹣a）cm，进而可得100a＝6（106﹣a），计算即可得解．
【解答】解：任务1：由题意得，OA＝OC＝AC＝15cm，
∴100×15＝yx．
∴y＝．
任务2：由任务1，y＝，
又当PC＝10cm时，天平平衡，
∴x＝OP＝OC+PC＝15+10＝25．
∴y＝＝60．
∴10枚1一元的硬币60g．
∴一个一元的硬币6g．
∵y＝，
∴y随x的增大而减小．
∴当x最大时，y最小，
即当x＝OB＝OC+BC＝15+76＝91时，y最小＝≈16.48．
又16.48÷6≈2.75，
∴右侧托盘至少要放置3个1元硬币．
任务3：由题意，设OA＝a cm时，天平平衡，此时OB＝AB﹣OA＝（30+76﹣a）cm＝（106﹣a）cm，
∴100a＝6（106﹣a）．
∴a＝6cm．
答：OA的长度为6cm．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能利用题目所给天平平衡的关系列式是关键．
57．在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据回答下列问题：
①直接写出y1关于x的函数表达式；
②当0＜x≤60时，y1随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）；
③y2的图象与y1的图象有什么位置关系？
④求y2关于x的函数表达式；
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
【分析】（1）用平滑的曲线将这些点连接起来即可；
（2）①根据表格中数据的变化规律作答即可；
②③观察图象作答即可；
④根据表格中数据的变化规律作答即可；
（3）将y2关于x的函数表达式代入19≤y2≤45解不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）y2关于x的函数图象如图所示：
（2）①由表格可知，xy1＝300，即y1＝，
∴y1关于x的函数表达式为y1＝（0＜x≤60）．
②观察图象可知，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小．
③由图象可知，将y1的图象向下平移得到y2的图象．
④由表格可知，x（y2+5）＝300，即y2＝﹣5，
∴y2关于x的函数表达式为y2＝﹣5．
（3）当19≤y2≤45时，得19≤﹣5≤45，解得6≤x≤12.5，
∴B与点C的距离x（cm）的取值范围是6≤x≤12.5．
【点评】本题考查批比例函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键．
58．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝AB，AD∥BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，则BM＝CE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出∠DEC＝∠AFB，证出MN为△AEF的中位线，得出MN∥AF，得出∠HNE＝∠AFB＝∠HEN，即可得出HE＝HN；
（3）过点B作BQ⊥BP交DE于Q，由ASA证明△BEQ≌△BAP，得出PA＝QE，QB＝PB，证出△PBQ是等腰直角三角形，由勾股定理得出PQ＝PB，即可得出答案；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO，
∵AB＝BE，
∴AD＝BE，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴AO＝BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示：
则BF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∵EB＝CF，BN＝CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD＝90°，
由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP，
∴∠BEQ＝∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA＝QE，QB＝PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，
∴＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
59．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
【分析】（1）①先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；
②过点E作MN⊥BC，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；
（2）先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．
【解答】（1）①证明：方法一：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
方法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE）SAS），
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
②解：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴=，
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝a．
（2）解：如图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝a，
∴CN＝a，
∴EN＝BN＝a，
∴DE＝a．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的方法是解题的关键．
60．如图（1），已知矩形ABCD，点E，G分别是矩形边AD，BC上的一点，且AE＝CG，△ABE与△DCG分别沿BE，DG翻折得到△FBE与△DHG；EF所在的直线交直线DH于N点，GH所在的直线交直线BF于M点．
（1）求证：四边形MHNF是矩形．
（2）若AD=AB，且∠MBG＝45°．判断四边形MHNF的形状，并说明理由．
（3）如图（2），若点F是DG的中点．试探求HD与EF的数量关系，并加以说明．
【分析】（1）根据折叠可推出∠ABE＝∠FBE，∠A＝∠BFE＝90°，进而知道∠MFN＝∠MHN＝90°，所以再找一个直角就可以，连接BD，可推出BF∥DH，即可证出∠HNM＝90°，再根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得证；
（2）要证四边形MHNF是正方形，只需要证一组临边相等就可以，折叠产生等线段，45°直角三角形也会有边的关系，题干还给了AD=AB，所以可以设参数证等量关系即可；
（3）根据题干条件证∠ABF是60°，再利用特殊角去找HD和EF的关系即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AB∥CD，
∵AE＝CG，
∴△ABE≌△CDG（SAS），
∴∠ABE＝∠CDG，
∵折叠，
∴∠ABE＝∠FBE，∠A＝∠BFE＝90°，
∠CDG＝∠HDG，∠C＝∠DHG＝90°，
∴∠ABF＝2∠ABE，∠CDH＝2∠CDG，
∴∠ABF＝∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠DBF＝∠BDH，
∴BF∥DH，
∴∠HNF＝∠BFE＝90°，
∵∠MFH＝180°﹣∠BFE＝90°，∠MHN＝180°﹣∠GHD＝90°，
∴四边形MHNF是矩形．
（2）解：四边形MHNF是正方形，理由如下：
如图，延长DH至交BC于K，过点K作KP垂直于FB，垂足为P．
设MH＝x，GH＝y，
∵∠MBG＝45°，
∴BM＝MG＝x+y，GC＝y，
∴BG=(x+y)．KC=y+y，
∴BC=(x+y)+y，
∵DC=KC=y+y，
∵AD=AB，
∴y=x，
∵HN=DH-DN=KC-MG=y+y-x-y=y-x=x，
∴NH＝HN，
∵四边形MHNF是矩形，
∴四边形FMCH是正方形．
（3）HD=EF，
如图，取AB的中点T，连结TH与HF，连接AF，
若点F是DG的中点．则点H也是BE的中点，
∴TH∥AD，TF∥AD，
∴T、H、F三点共线，
∴TF⊥BA，
∴AF＝BF，
∵AB＝BF，
∴AF＝BF＝AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
由（1）知∠CDG＝∠ABF＝60°，
∴∠EDH＝30°，
∴DN＝EN，
易得四边形EDFH是平行四边形，
∴HD＝2DN，EF＝2EN，
∴HD＝EF．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质、折叠的性质、正方形的判定、含有特殊角的直角三角形的性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省杭州市2025年浙教版9年级上开学考训练题
一．选择题（共27小题）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣4a+4＝（a+2）2
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
4．方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．小明同学对数据6，6，9，1■，21进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（ ）
A．平均数 B．标准差 C．中位数 D．方差
7．如图，把一个长方形的纸片按图所示对折两次，然后剪下三角形展开，得到的四边形一定是（ ）
A．仅有一组对边平行的四边形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
8．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．反比例函数y=的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2
10．反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
11．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
12．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式x- ＜0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y＝（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图，菱形纸片ABCD，∠A＝60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上的C'处，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC′等于（ ）
A．60° B．65° C．80° D．75°
14．已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（ ）
A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2
15．如图，已知线段AB长为2，过点B作BC⊥AB，使BC=AB；连接AC，以点C为圆心，BC长为半径作弧，交线段AC于点D，再以点A为圆心，AD长为半径作弧，交线段AB于点E，则AE的长为（ ）
A． B．-1 C． D．3-
16．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）2024
17．小明早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家时，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多15分钟，问小明家离学校多远？设小明家离学校有x千米，那么所列方程是（ ）
A．+= B．=-15 C．=+15 D．-=
18．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G时AB的中点，连接AE，若AB＝2，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
20．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（ ）
A．5 B．2 C． D．4
21．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD=2．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
22．如图，在 ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，若AD＝2AB，则下列结论：
①四边形ABFC是平行四边形；
②DE⊥AF；
③S△ECF＝S△ECD；
④若BC＝25，DE＝24，则AF＝16．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F为AB中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．2
24．已知方程x2+bx+c＝0的两个根是±α，x2+dx+e＝0的两个根是±β．当x＝β时，x2+bx+c的值记作y1；当x＝α时，x2+dx+e的值记作y2．则下列结论一定成立的是（ ）
A．y1+y2＝0 B．y1﹣y2＝0 C．y1 y2＝1 D．y1﹣y2＝1
25．如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确②错误 D．①错误②正确
26．如图，过y=(k≠0，x＞0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=-的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．
27．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若点E是AH的中点，连接BH并延长交CD于点I，若DI＝1，则线段BI的长为（ ）
A．4 B．5 C．+1 D．2+1
二．填空题（共16小题）
28．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
29．某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评、和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以3：2：5的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评、和讲演成绩分别为90分、80分和94分，则这名同学的最终成绩为 分．
30．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
31．已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的标准差是 ．
32．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息：
x的取值 ﹣2 0.4 q
分式的值 无意义 0 3
则q的值是 ．
33．因式分解：a3﹣9a＝ ．
34．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，当DE=时，△PAE的面积为 ．
35．已知函数y1＝（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①若函数y2的图象上的点的纵坐标为b，则b的取值范围为 ．
②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值为 ．
36．如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，以D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N，再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E．则∠ADE＝ °．
37．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一个根是 ．
38．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F，连接AE，若AF﹣AE＝2，则k的值为 ．
39．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
40．若反比例函数图象过点（﹣1，4），当y＜4且y≠0时，x的取值范围是 ．
41．已知△ABC与△ABD不全等，且AC＝AD＝1，∠ABD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则CD＝ ．
42．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，=．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 ．
43．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，连接AE，AF，EF，AE与CF交于点G．已知∠EAF＝45°，AB＝3．有以下四个结论：①BE﹣DF＝EF；②∠AEF＝∠AEB；③GF＝GE；④若DF＝1，则△AEF的面积为7.5．
以上结论中正确的是 ．
三．解答题（共17小题）
44．尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）证明AF∥CE；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
45．以下小明化简代数式（a+b）2﹣2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2的过程：
解：原式＝a2+b2﹣2（a2﹣b2）+a2﹣b2 ①
＝a2+b2﹣2a2﹣2b2+a2﹣b2 ②
＝﹣2b2 ③
（1）解答过程中哪几步错误？原因是什么？
（2）写出正确解答过程．
46．（1）化简；
（2）解方程x2+12x+27＝0．
47．已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．
48．已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．
（1）求y1的函数表达式；
（2）当m＜1时，求n的取值范围；
（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．
49．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其它四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中，m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度；
（3）学校计划购买课外读物4000册，请根据样本数据，估计学校购买其它类读物多少册比较合理？
50．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC到G，使得CG＝BC，连接DG．
（1）求证：四边形ACGD是平行四边形；
（2）连接OG，若AB＝2，AD＝4，求OG的长．
51．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE．
（1）若∠FCB＝30°时，求∠CDF的度数；
（2）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长；
（3）如图2，若CD＝CF，求∠ABE的度数．
52．某班组织开展课外体育活动，在规定时间内，进行定点投篮，对投篮命中数量进行了统计，并制成下面的统计表和如图不完整的折线统计图（不含投篮命中个数为0的数据）．
投篮命中数量/个 1 2 3 4 5 6
学生人数 1 2 3 7 6 1
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）在本次投篮活动中，投篮命中的学生共有 人，并求投篮命中数量的众数和平均数；
（2）补全折线统计图；
（3）嘉淇在统计投篮命中数量的中位数时，把统计表中相邻两个投篮命中的数量m，n错看成了n，m（m＜n）进行计算，结果错误数据的中位数与原数据的中位数相比发生了改变，求m，n的值．
53．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
54．如图，直线y＝kx+b与双曲线y=(x<0)相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式kx+b＜的解集．
55．如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD，∠ACB＝∠DAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF＝EG．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若CD＝4，∠B＝45°，∠CEG＝15°，求AB的长．
56．综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？
素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知AC＝30cm，BC＝76cm，支点O在AC的中点处，一个100g的砝码．
素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个100g砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当PC＝10cm时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）
任务1：左侧托盘放入1个100g砝码，设右侧托盘放置yg物体，OP长为x cm，求y关于x的函数表达式；
任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个100g砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡；
任务3：横梁AB长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个100g砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，OA的长度至多是多少cm？
57．在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据回答下列问题：
①直接写出y1关于x的函数表达式；
②当0＜x≤60时，y1随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 （填“增大”或“减小”）；
③y2的图象与y1的图象有什么位置关系？
④求y2关于x的函数表达式；
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
58．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
59．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
60．如图（1），已知矩形ABCD，点E，G分别是矩形边AD，BC上的一点，且AE＝CG，△ABE与△DCG分别沿BE，DG翻折得到△FBE与△DHG；EF所在的直线交直线DH于N点，GH所在的直线交直线BF于M点．
（1）求证：四边形MHNF是矩形．
（2）若AD=AB，且∠MBG＝45°．判断四边形MHNF的形状，并说明理由．
（3）如图（2），若点F是DG的中点．试探求HD与EF的数量关系，并加以说明．
