2025高考数学一轮复习-4.7-解三角形的应用-专项训练
基 础 巩固练
1.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
2.设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,须计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点P,利用测角仪从P点测得M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到M,N点的视角为45°,则M,N之间的距离为( )
A.50米 B.50米
C.50米 D.50米
3.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内,历经1 400多年风雨侵蚀,仍巍然屹立,是中国现存最早的砖塔.如图,为测量塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°,∠BDC=45°,CD=32 m,在C点测得塔顶A的仰角为60°,则塔的总高度为( )
A.(96-32) m B.(96-32) m
C.(92-32) m D.(92-32) m
第3题图
第4题图
4.(多选题)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测到A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的有( )
A.∠CAD=60°
B.A,D之间的距离为15海里
C.A,B两处岛屿间的距离为15海里
D.B,D之间的距离为30海里
5.(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 n mile.货轮由A处向正北方向航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°的方向上,则下列说法正确的有( )
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C.灯塔C在D处的西偏南60°
D.D在灯塔B的北偏西30°
6.已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处,乙船位于小岛A处,AB=20千米,甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶,同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为 小时.
7.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是92 m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=50 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,求B,D两点间的距离及A,B两点间的距离.
综 合 提升练
9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上沿正西方向匀速行驶,在公路北侧远处一座高900米的山顶D测得点A在东偏南30°方向上,过一分钟后测得点B在山顶D的东偏南60°方向上,俯角为45°,则该车的行驶速度为( )
A.15米/秒
B.15米/秒
C.20米/秒
D.20米/秒
10.“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法,其具体方法是在同一天(如夏至)的正午,于两地分别竖起同高的标杆,然后测量标杆的影长,并根据“日影差一寸,实地相距千里”的原则推算两地距离.如图,某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A,B两地竖起高度均为a寸的标杆AE与BF,AC与BD分别为标杆AE与BF在地面的影长,再按影长AC与BD的差结合“寸影千里”来推算A,B两地的距离.记∠CEA=α,∠BDF=β,则按照“寸影千里”的原则,A,B两地的距离大约为( )
A.里
B.里
C.里
D.里
11.说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,也是中国革命的摇篮,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得∠CAD=15°,从A处沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30°,则宝塔CD的高为( )
A.44 m B.42 m C.48 m D.46 m
12.(多选题)某同学为测量教学楼的高度,先在地面选择一点C,测量出对教学楼AB的仰角∠ACB=α,再分别执行如下四种测量方案,则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有( )
方案A
方案B,C
方案D
A.从点C向教学楼前进a米到达点D,测量出角∠ADB=β
B.在地面上另选点D,测量出∠ACD=β,∠ADC=γ,CD=a米
C.在地面上另选点D,测量出∠BDC=β,CD=a米
D.从过点C的直线上(不过点B)另选点D,E,测量出CD=2DE=a米,∠ADB=β,∠AEB=γ
13.如图,一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A,得仰角分别为α和90°-α.后退l m至点P2处再观测塔顶B,仰角变为原来的一半,设塔CB和旗杆BA都垂直于地面,且C,P1,P2三点在同一条水平线上,则塔BC的高为 m;旗杆BA的高为 m(用含有l和α的式子表示).
14.某公园要建造如图所示的绿地OABC,OA,OC为互相垂直的墙体,已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米,且∠BAO=∠BCO.设∠BAO=α,0<α<.
(1)当AB=3,α=时,求AC的长;
(2)当AB=6时,求绿地OABC面积S的最大值及此时α的值.
创 新 应用练
15.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )
A.+表高 B.-表高
C.+表距 D.-表距
16.汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置,汽车以最低稳定车速转向行驶时,外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径,下图中的BC即是.已知某车在低速前进时,图中A处的轮胎行进方向与AC垂直,B处的轮胎前进方向与BC垂直,轴距AB为2.55米,方向盘转到极限时,轮子方向偏了30°,则该车的最小转弯半径BC为 米.
17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b.
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC的值.
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.BC 5.ABC
6 7.120
8.解 在△BCD中,∠BCD=∠ACB+∠DCA=135°,则∠CBD=180°-15°-135°=30°,
由正弦定理得,
所以BD==50(m).
在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°,则∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=50 m.在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=2 500+5 000-2×50×50=12 500,
所以AB=50 m.
9.A 10.C 11.A 12.ABD
13.lsin α
14.解 (1)如图,连接AC.在△ABC中,AB=3,BC=9,∠ABC=2π-,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=117,故AC=3
因此AC的长为3米.
(2)由题意知,BC=AB=6,∠ACB=∠CAB,∠ABC=2π-2α--2α,所以∠OAC=∠OCA=在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=72-72cos=72+72sin 2α,所以S△AOC=AC2=18+18sin 2α,S△ABC=6×6×sin=-18cos 2α,所以S=S△ABC+S△AOC=-18cos 2α+18+18sin 2α=18sin+18,0<α<当2α-,即α=时,S取到最大值,最大值为18+18.因此,当α=时,绿地OABC面积S的最大值为(18+18)平方米.
15.A 16.5.1
17.(1)证明在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac.
又b2=ac,所以BD·b=b2,即BD=b.
(2)解 因为AD=2DC,所以AD=b,DC=b.
在△ABD中,由余弦定理,得
cos∠ADB=;
在△BCD中,由余弦定理,得
cos∠BDC=
因为∠ADB+∠BDC=π,
所以=0,
即b2=2a2+c2.
又b2=ac,所以ac=2a2+c2,即6a2-11ac+3c2=0,即(3a-c)(2a-3c)=0,所以3a=c或2a=3c.
当3a=c时,由b2=2a2+c2,得a2=b2,c2=9a2=3b2,即a=b,c=b,
此时a+b当2a=3c时,由b2=2a2+c2,得a2=b2,c2=b2.
在△ABC中,由余弦定理,
得cos∠ABC=
=
综上,cos∠ABC=(共57张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第7节 解三角形的应用
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图1).
下方
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
√
解析 (2)α＝β；
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
×
×
√
D
解析 由条件及图可知，A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
A
解析 在△ABC中，由正弦定理得
3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，
在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.
故电视塔的高度为40 m.
4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
D
解析 由题意可知∠ACB＝60°，
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
A.39米 B.43米 C.49米 D.53米
例1 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)( )
D
解析 在△ACB中，AB＝60，BC＝60，∠ABC＝60°，
所以AC＝60，在△CDA中，
A.346 B.373 C.446 D.473
角度2 测量高度问题
B
在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，
又在B点处测得A点的仰角为45°，
所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，
例3 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
角度3 测量角度问题
∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，
训练1 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
解 如图所示，
在△ABD中，由余弦定理可知，
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
在△BCD中，由余弦定理可得，
(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.
解 设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.
由余弦定理可知，
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
即cos∠BDC＝cos∠ABD.
整理得x2＋2x－2＝0，
解 在△APC中，设AC＝x，
所以AC＝PC＝AP，
此时△APC为等边三角形，
解得BC＝5，则BP＝3，作AD⊥BC交BC于D，如图所示.
因为△ABC为锐角三角形，
解 由题意得f(0)＝k＝0.
所以函数f(x)是奇函数，∴k＝0.
整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2，经检验，满足题意，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，
A
解析 设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，
2.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )
A
解析 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，
所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，
3.如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则可以计算A，B两点间的距离是( )
A
所以在△ACD中，由余弦定理得
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
B
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
D
解析 由题意知，∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°.
AC
解析 由已知得
sin A(sin A＋sin C)＝cos A(cos A＋cos C)，
∴cos2A－sin2A＝sin Asin C－cos Acos C，
∴cos 2A＝－cos(A＋C)＝cos B.
∵△ABC是锐角三角形，
因为M为BC的中点，所以BC＝8.
解析 连接OC，因为CD∥OA，
所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝180°－120°＝60°.
50π
因为∠DCO＝∠COA，且0°＜∠COA＜120°，
所以∠DCO＝∠COA＝45°，
解 若选择①，设∠BAC＝∠CAD＝θ，
由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·
设△ABC的外接圆半径为R，
12.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝( )
A
由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，
13.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为____________________m2.
解析 在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，
∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB，
所以由余弦定理得
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC
(2)求四边形OACB面积的最大值.
