(共34张PPT)
8.3 圆的方程
课标要求 考情分析
1.掌握圆的标准方程与一般方 程. 2.会根据已知条件求圆的方 程. 3.能够根据圆的方程解决相关 问题. 考点考法：高考对该部分内容的考查一般
不单独命题，常与其他知识相结合出现在
选择题或填空题中，但也有可能出现在解
答题中，试题难度一般不大.
核心素养：逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
圆的定义和圆的方程
定义 平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆 标准方 程 圆心
半径为
一般方 程 充要条件：
圆心 __________
半径
定点
定长
[提醒] 当 时，此方程表示的图形是圆；当 时，此方程表示一个点 ；当 时，它不表示任何图形.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
√
（2）方程 表示圆.( )
×
（3）过不共线的三点一定有唯一的一个圆.( )
√
2.(2022·高考北京卷)若直线 是圆 的一条
对称轴，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 .
√
3.（人A选择性必修第一册 练习 （2）变条件）圆心为 且过原
点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为圆心为 且圆过原点，所以该圆的半径 ，则该圆的方程是 .
√
4.若方程 表示圆，则 的取值范围
是________.
解析：方程 可化为 ,它表示圆，需满足 ，故 .
1.以 , 为直径端点的圆的方程为
.
2.二元二次方程 表示圆的充要条件
3.点与圆的位置关系
平面上的一点 与圆 之间存在着下列关
系：
（1） 在圆外，即 在圆外；
（2） 在圆上，即 在圆上；
（3） 在圆内，即 在圆内.
【用一用】
1.若点 在圆 的外部，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 解得 ,故选C.
√
2.圆过点 ， ，则周长最小的圆的方程为_______________
_____.
解析：显然当 为直径时，圆周长最小，此时圆的方程为
,即 .
核心考点 师生共研
02
考点一 圆的方程（自主练透）
1.半径为2的圆 的圆心在第四象限，且与直线 和 均相
切，则该圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
√
解析：选C.设圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离 ,
所以 ,
所以该圆的标准方程为 .
故选C.
2.(2023·重庆模拟)（多选）设圆的方程是 ，
其中 , ,下列说法中正确的是( )
A.该圆的圆心为 B.该圆过原点
C.该圆与 轴相交于两个不同点 D.该圆的半径为
√
√
解析：选BC.由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为 ，半径为 ,故选项A，D不正确；因为 ，所以该圆过原点，故选项B正确；在圆的方程 中，令 ，有 或 ，因为 ,所以该圆与 轴相交于两个不同点，故选项C正确，故选BC.
3.(2023·广东广州模拟)过 ， 两点，且半径为4的圆的标准
方程为_____________________________________.
或
解析：由题意 ,所以 中垂线的斜率为 ， 中点坐标为
，所以线段 的垂直平分线的方程为 ,整理
得 ,可设圆心坐标为 ，圆的标准方程为
，则 ，
解得 或 ，故所求圆的标准方程为 或
.
4.(2022·高考全国卷甲)设点 在直线 上，点 和
均在 上，则 的方程为______________________.
解析：因为点 在直线 上，
所以设点 为 ，
又因为点 和 均在 上，
所以点 到两点的距离相等且为半径 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 的方程为 .
求圆的方程的两种方法
（1）直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程.
（2）待定系数法
①若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件
列出关于 ， ， 的方程组，从而求出 ， ， 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条
件列出关于 ， ， 的方程组，进而求出 ， ， 的值.
[注意]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
考点二 与圆有关的轨迹问题（师生共研）
例1 已知 的斜边为 ，且 ， .求：
（1）直角顶点 的轨迹方程；
【解】方法一：设 ，因为 ， ， 三点不共线，所以 .
因为 ，且 ， 斜率均存在，
所以 ,
所以 ,
化简得 .
因此，直角顶点 的轨迹方程为 .
方法二：设 的中点为 ，则 ,
所以 .易知动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（由于 ， ， 三点不共线，所以应除去与 轴的交点）.
所以直角顶点 的轨迹方程为 .
（2）直角边 的中点 的轨迹方程.
【解】 设 , ,因为 ， 是线段 的中点，所以
, ,
所以 , .
由（1）知，点 的轨迹方程为 ,
将 , 代入得 ,
即 .
因此动点 的轨迹方程为 .
已知 的斜边为 ，且 ， .求：
与圆有关的轨迹问题的四种求法
【对点训练】
已知圆 ，过点 作圆 的任意弦，则这些弦
的中点 的轨迹方程为_ _____________________.
解析：设 ，圆心 .
因为 点是过点 的弦的中点，
所以 .
又因为 ， ，
所以 .
所以点 的轨迹方程为 .
考点三 与圆有关的最值问题（多维探究）
[高考考情] 高考对与圆有关的最值问题考查时常同其他知识相结合出现在选择题或填空题中，试题难度较小.
角度1 借助几何性质求最值
例2 已知点 在圆 上.
（1）求 的最大值和最小值；
【解】 可视为点 与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是与
该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时
的斜率.
设过原点的直线的方程为 ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离
等于半径，即 ，解得 或 ,所以 的最
大值为 ，最小值为 .
（2）求 的最大值和最小值；
【解】 设 ，则 , 可视为直线 在 轴上的
截距，所以 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距
的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即 ，解得 或 .
所以 的最大值为 ，最小值为 .
已知点 在圆 上.
（3）求 的最大值和最小值.
【解】 ，求它的最值可视为求点 到定点 的距离的最值，可转化为求圆心 到定点 的距离与半径的和或差，又圆心到定点 的距离为 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 .
已知点 在圆 上.
把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
（1）形如 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如 的最值问题，可转化为两点间距离的
平方的最值问题.
角度2 建立函数关系求最值
例3 (2023·重庆模拟)设点 是圆： 上的动点，定
点 ， ，则 的最大值为____.
12
解析：由题意，知 ， ，所以
,由于点 是圆上的点，故其坐标满足方程
，故 ,所以
.由圆的方程
，易知 ,所以，当 时， 的值最大，
最大值为 .
建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式求最值是比较常用的.
【对点训练】
1.已知圆 ,则当圆 的面积最
小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
√
解析：选D.由 得
，
所以圆心为 ，半径为 ，
当且仅当 时，半径最小，则面积也最小，所以圆心为 ，
半径为 ,
所以圆心到坐标原点的距离为 ,即原点在圆
外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为
.故选D.
2.设点 是圆 上的动点，定点 ， ，则
的最大值为____.
10
解析：由题意，知 , ,
所以 ,由于点 是圆上的点，故其坐标满足方程
,
故 ,
所以 .由圆的方程 ,易
知 ,所以当 时， 的值最大，最大值为
.2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程
一、单项选择题
1．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． B．－ C．1 D．－1
2．设甲：实数a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或
C． D．或
4．如果实数x，y满足(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是( )
A． B．
C． D．
5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
6．已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为( )
A．(x－4)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－4)2＝11
C．(x－2)2＋(y－4)2＝16
D．(x－4)2＋(y－2)2＝11
7．一束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是( )
A．4 B．5
C．5－1 D．2－1
8．在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则||的最大值为( )
A．16 B．12
C．8 D．6
二、多项选择题
9．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A．F＝4
B．圆关于直线y＝－2x对称
C．圆与y轴相切
D．的最大值为9
10．已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为( )
A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4
B．点P到原点O的距离的最大值为5
C．△PAB面积的最大值为4
D．的最大值为18
三、填空题
11．已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)
12．已知等腰三角形ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为________.
四、解答题
13．在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，D(0，a)四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点P(x，y)在圆E上，求x2＋2x＋y2的取值范围．
14．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
参考答案
1．A [若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝.]
2．B [若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，
则(－1)2＋32－4a＝10－4a>0，解得a<.
∵a<3a<，a< a<3，
∴甲是乙的必要不充分条件．故选B.]
3．B [因为直线l：y＝x的倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝x上．
设圆心C(a，a)，则圆C的方程为
(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将点P(2，)的坐标代入，得(2－a)2＋(a)2＝a2，整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝.
所以圆C的直径为2或.故选B.]
4．D [显然x≠0，令＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝得(1＋k2)x2－2x＋＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×≥0，解得－≤k≤.
所以k的最大值为.故选D. ]
5．A [设圆心C(x，y)，则＝1，
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图，
所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.]
6．C [A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，|AB|＝6，圆的半径为5，可得|PC|＝＝4，所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.]
7．C [根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3，2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由|A′C|＝＝5，则A′到圆C上的点的最短距离为5－1.故这束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是5－1.故选C.]
8．B [因为||＝2||，||max＝|OC|＋1＝＋1＝6，所以||max＝12.故选B.]
9．ABD [由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
化成圆的一般式为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；
因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；
圆心到y轴的距离d＝2＜4，则圆与y轴相交，C错误；
的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2，1)的距离，
从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2，1)距离与半径之和，
故的最大值为
＋4＝9，D正确．故选ABD.]
10．ABD [设动点P(x，y)，
则由＝2，得＝2，
即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，
化简得：x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；
因为点P轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，
则点P到原点O的距离最大值为＋2＝5，B正确；
又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，
所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误；
又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，
因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，
所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)，
则≤－5×(－5)－7＝18，D正确．
故选ABD.]
11．0或1(只写一个即可) [由题设知⊥，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为，
所以M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝＝0，即直线过圆心，
所以M到直线y＝x＋2的距离范围[0，]，
所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．]
12．x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)) [设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1)．
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))．]
13．解：(1)设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将点A，B，C的坐标分别代入圆的方程，
得
解得D＝－2，E＝－6，F＝5，
得圆的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0.
将点D的坐标代入上述所得圆的方程，
得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或5.
(2)点P(x，y)在圆E：(x－1)2＋(y－3)2＝5上，x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义为圆E上的点到M(－1，0)距离的平方减1.
如图，|EM|＝＝，
∴x2＋2x＋y2的最小值为()2－1＝17－2；
x2＋2x＋y2的最大值为()2－1＝17＋2.
∴x2＋2x＋y2的取值范围是[17－2，17＋2].
14．解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，
半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令
可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和
