第八章 解析几何
第二节 两直线的位置关系
1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知A（4，0）到直线4x－3y＋a＝0的距离等于3，则a的值为（ ）
A.－1 B.－13或－19
C.－1或－31 D.－13
3.已知点A（1，2）与B（3，3）关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为（ ）
A.2，－ B.－2，－
C.－2， D.2，
4.已知点A（0，－1），点B在直线x－y＋1＝0上，直线AB垂直于直线x＋2y－3＝0，则点B的坐标是（ ）
A.（－2，－3） B.（2，3）
C.（2，1） D.（－2，1）
5.（多选）已知直线l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C.直线l过定点（0，1） D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
6.（多选）已知直线l过点P（1，2），且点A（2，3），B（4，－5）到直线l的距离相等，则l的方程可能是（ ）
A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0
C.3x＋2y－7＝0 D.2x＋3y－7＝0
7.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝ .
8.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝3对称的直线方程是 .
9.已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）的两条平行直线，当l1与l2之间的距离最大时，直线l1的方程是 .
10.已知光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射.
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线l3的方程.
11.直线l：y＝k（x＋2）上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则k的取值范围是（ ）
A.（－2，2） B.（－，）
C.（－1，1） D.（－，）
12.（多选）若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有（ ）
A.直线l2的斜率为定值 B.当c＝25时，｜PQ｜的最小值为
C.当｜PQ｜的最小值为1时，c＝20 D.c≠10
13.设△ABC的一个顶点是A（3，－1），角B，C的角平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是 .
14.已知直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点为M.
（1）求过点M且与直线l3：x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程；
（2）求过点M，且点P（4，0）到它的距离为3的直线的方程.
15.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且｜OM｜＝4，｜ON｜＝8，工厂A在公路n上，｜OA｜＝2，工厂B到m，n的距离分别为2，4.货车P在公路l上.
（1）要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
（2）P在什么位置时，工厂B搬运工与工厂A搬运工走的路程差距最多？（假设货物一次性搬运完）
参考答案与解析
1.A 若两直线平行，则a（a＋1）＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件.
2.C 由距离公式可得，＝3，即｜a＋16｜＝15，解得a＝－1或a＝－31，故选C.
3.A 易知kAB＝，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－2，即a＝2.易知AB的中点坐标为（2，），代入2x＋y＋b＝0，得b＝－.故选A.
4.B 设B（a，b），则由题意可得a－b＋1＝0 ①，且kAB＝＝2 ②，由①②解得a＝2，b＝3.即点B的坐标是（2，3），故选B.
5.AC 对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知（a2＋a＋1）·（－1）＝1×（－1），解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点（0，1），正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴，y轴上的截距分别是－1，1，不正确.
6.AC 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4，所以直线l的方程是y－2＝－4（x－1），即4x＋y－6＝0；当直线l经过线段AB的中点（3，－1）时，l的斜率为＝－，此时l的方程是y－2＝－（x－1），即3x＋2y－7＝0.
7.2 解析：设A（x，0），B（0，y），∵AB中点P（2，－1），∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴｜AB｜＝＝2.
8.x＋2y－7＝0 解析：设直线x－2y＋1＝0关于直线x＝3对称的直线为l2，则l2的斜率为－，且过直线x－2y＋1＝0与x＝3的交点（3，2），则l2的方程为y－2＝－（x－3），即x＋2y－7＝0.
9.x＋2y－3＝0 解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2之间的距离最大.因为A（1，1），B（0，－1），所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.
10.解：（1）由得所以M（－2，1）.
所以点M关于x轴的对称点P的坐标为（－2，－1）.
（2）法一 设直线MN的倾斜角为α，则直线l3的倾斜角为180°－α，易知kMN＝＝－，所以直线l3的斜率k3＝.
故反射光线所在的直线l3的方程为y＝（x－1），即x－3y－1＝0.
法二 由题意知反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程.
易知直线PN的方程为＝，整理得x－3y－1＝0，
故反射光线所在的直线l3的方程为x－3y－1＝0.
11.D 直线l：y＝k（x＋2）上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以＜1，解得－＜k＜.故选D.
12.ABD 因为l1∥l2，所以＝2，≠2，所以a＝6，c≠10，故A、D正确；因为｜PQ｜的最小值为两平行直线间的距离，所以当c＝25时，d＝＝，故B正确；当｜PQ｜的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误.
13.y＝2x＋5 解析：A关于直线x＝0的对称点是A'（－3，－1），关于直线y＝x的对称点是A″（－1，3），由角平分线的性质可知，点A'，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.
14.解：（1）由得则M（1，2）.
因为直线l3：x＋3y＋1＝0的斜率为－，所求直线与直线l3垂直，
所以所求直线的斜率为3，其方程为y－2＝3（x－1），即3x－y－1＝0.
（2）由（1）知M（1，2），则当直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝1，点P（4，0）到它的距离为3，满足题意；
当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，
所以点P（4，0）到它的距离d＝＝3，解得k＝，
所以所求直线的方程为5x－12y＋19＝0.
综上可得，所求直线的方程为x＝1或5x－12y＋19＝0.
15.解：以m，n所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系（图略），则有A（2，0），B（－2，－4），M（0，4），N（－8，0），故公路l所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
（1）P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求｜PA｜＋｜PB｜的值最小时P的位置.
设点A关于直线l的对称点为A'（a，b），
则解得所以A'（－2，8）.
又P为直线l上的一点，则｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA'｜＋｜PB｜≥｜A'B｜，当且仅当B，P，A'三点共线时等号成立，此时｜PA｜＋｜PB｜取得最小值｜A'B｜，点P就是直线A'B与直线l的交点，
联立解得所以P（－2，3）.
即P在到公路m的距离为2，到公路n的距离为3的公路l上.
（2）由题意可知，原问题等价于求点P的位置，使｜｜PB｜－｜PA｜｜的值最大.
A，B两点在直线的同侧，P是直线l上的点，则｜｜PB｜－｜PA｜｜≤｜AB｜，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时｜｜PB｜－｜PA｜｜取得最大值｜AB｜，点P即为直线l与直线AB的交点.
又直线AB的方程为y＝x－2，
由得所以P（12，10）.
即P在到公路m的距离为12，到公路n的距离为10的公路l上.(共43张PPT)
8.2 两直线的位置关系
课标要求 考情分析
1.能根据斜率判定两条直 线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求 两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点 间的距离公式、点到直线 的距离公式，会求两条平 行直线间的距离. 考点考法：两条不同的直线的位置关系有平
行、相交（垂直是其中一种特殊情况）两种情
况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置
关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直
线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填
空题的形式出现，难度较小.
核心素养：逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.两条直线的平行与垂直
（1）两条直线平行
若 ，则 与 的倾斜角 与 相等，由 ，可得
，即 .因此，若 ,则________.
（2）两条直线垂直
设两条直线 , 的斜率分别为 , ，则直线 , 的方向向量分别是
, ,于是
，即 .因此，
___________.
[提醒] 在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了两条直线或一条
直线斜率不存在的情形.
2.两条直线的交点坐标
已知两条直线 , 相交，则交点 的坐标是方程组 的解.
3.三种距离
点点距 点 ， 之间的距 离
________________________
点线距 点 到直线 的距离 ___________
线线距 两条平行线 与 间的距离 _______
[提醒] 利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化
为 , 的系数对应相等的一般式.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）当直线 和 的斜率都存在时，一定有 .( )
×
（2）若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
√
（3）点 到直线 的距离为 .( )
×
（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
√
2.点 到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 .故选C.
√
3.若直线 与直线 垂直，则实
数 ( )
A. B. C. D. 或
解析：选D.因为直线 与直线 垂直，所以 ，整理得 ,解得 或 .故选D.
√
4.（人A选择性必修第一册 习题 变条件、变设问）若三条直线
, , 相交于一点，则 的值为____.
解析：由 得
所以点 满足方程 ,
即 ,所以 .
1.与直线 垂直或平行的直线方程可设为：
（1）垂直： ；
（2）平行： .
2.两个充要条件
（1）直线 与直线 垂直的充
要条件是 ;
（2）直线 与直线 平行或重合的充要条件是 .
3.与对称问题相关的四个结论
（1）点 关于点 的对称点为 ；
（2）点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的
对称点为 ；
（3）点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称
点为 ；
（4）点 关于直线 的对称点为 ，关于直线
的对称点为 .
【用一用】
1.过点 且与直线 平行的直线方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意，设所求直线方程为 ，因为直
线经过点 ，
所以 ，解得 ，所以所求直线方程为
.故选A.
√
2.若直线 和直线 垂直，则实数
的值为( )
A. B. C. D. 或0
解析：选D.由两直线垂直可得 ，解得 或 .故选D.
√
3.点 关于直线 的对称点的坐标为_________.
解析：点 关于 的对称点的坐标为 ，即 .
核心考点 师生共研
02
考点一 两条直线的位置关系（自主练透）
1.(2023·上海华师大二附中模拟)设 ，则“ ”是“直线
与直线 平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析：选A.当 时，直线 与直线 的斜率相等，故平行，充分性成立；若“直线 与直线 平行”，则满足 ，解得 或 ，经验证， 或 时，两直线不重合，故两直线平行，必要性不成立.故选A.
2.(2023·河北石家庄模拟)（多选）直线 , 的斜率 , 是关于 的方程
的两个根，则下列说法正确的是( )
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
解析：选AD.由题意得，若 ，则 ，解得 ；若 ，则 ，所以 ，解得 ， 故选AD.
√
√
3.已知 的三个顶点 , , ，则 的高
所在的直线方程是______________.
解析：由题意知 ，
则 ，
故CD所在的直线方程为 ，
即 .
4.经过两条直线 和 的交点，并且垂直于直
线 的直线方程为________________.
解析：方法一：由方程组
解得 即交点为 .
因为所求直线与直线 垂直，
所以所求直线的斜率为 .
由点斜式得所求直线方程为
，即 .
方法二：由垂直关系可设所求直线方程为 .
由方程组 可解得交点为 ，
代入 得 ,
故所求直线方程为 .
方法三：由题意可设所求直线的方程为 , 即 .①
又因为所求直线与直线 垂直，
所以 ,解得 ,
代入①式得所求直线方程为 .
（1）两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在：①两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
②两直线垂直 两直线的斜率之积等于 .
（2）解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
考点二 两条直线的相交及距离问题（师生共研）
例1.（1）(2023·河北石家庄模拟)已知直线 ，
相交于点 ，则 到直线 的距离为
( )
A. B. C. D.
解析：由题意，联立 可得
故 .
则 到直线 的距离为 ，故选A.
√
（2）(2023·湖南邵东模拟)两条平行直线 与
之间的距离为__.
解析：由两条直线平行，得 ，所以 ，
所以直线 可化为 ，
则两平行线间的距离为 .
两种距离的求解思路
（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意
此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化
为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公
式（利用公式前需把两平行线方程中 , 的系数化为相同的形式）.
[注意]点 到直线 的距离 ，到直线 的距离
.
【对点训练】
1.(2023·四川南充高级中学模拟)已知点 ， 到直线
的距离相等，则 ( )
A. 或 B. C. D. 或
解析：选D.由题意得 ，
化简得 ，
解得 或 ， 故选D.
√
2.(2023·山东济南调研)已知直线 和 ，
若直线 到直线 的距离与到直线 的距离之比为 ，则直线 的方程
为____________________________________.
或
解析：由题意得 .设直线 ， 且 ，
直线 到直线 和 的距离分别为 , ，
由题意知 , ,
因为 ,
所以 ,
即 ,解得 或 ,
即直线 为 或 .
考点三 对称问题（多维探究）
[高考考情] 对称问题主要包括中心对称和轴对称，它常与两条直线的平行与垂直综合出现在选择题或填空题中，试题难度中等.
角度1 点关于点对称
例2 过点 作直线 ，使它被直线 和
截得的线段被点 平分，则直线 的方程为__________
____.
解析：设 与 相交于 ，则 ，①
由题意得 与 相交的点 与 关于点 对称，则 .代入 的
方程得 ，②
由①②可得 所以 ，所以 的方程为 ，
即 .
角度2 点关于直线对称
例3 已知点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为
( )
A. B. C. D.
解析：设 ，因为点 与点 关于直线 对称，
所以 解得 ，所以 ，故选B.
√
角度3 直线关于点对称
例4 直线 关于点 对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
解析：设直线 关于点 对称的直线上任意一点
，则 关于 对称点为 ，又因为
在直线 上，所以
，即 ，故选B.
√
角度4 直线关于直线对称
例5 两直线方程 ， ，则 关于 对称
的直线方程为( )
A. B.
C. D.
√
解析：设所求直线上任一点 ， 关于直线 的对称点
为 ，
则 解得
因为点 在直线 上，所以将 式代入，得
，化简得 ，即为 关于 对
称的直线方程.故选C.
对称问题的求解策略
（1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
（2）中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程解题.
[注意]“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”.“线关于线对称”转化为“点关于线对称”即可.
【对点训练】
1.与直线 关于 轴对称的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设 为所求直线上任一点，则 关于 轴对称的点
为 ，由题意可得点 在直线 上，所以
，即 ，故选B.
√
2.光线沿着直线 射到直线 上，经反射后沿着直线
射出，则有( )
A. , B. ,
C. , D. ,
解析：选D.由题意，直线 与直线 关于直线 对
称，所以直线 上的点 关于直线 的对称点 在直
线 上，所以 ,所以 ,所以直线
上的点 关于直线 的对称点 在直线
上，所以 ，所以 .
√
3.(2023·辽宁省实验中学模拟)在 中， ， ， 的平
分线所在的直线方程为 ，则 的面积为___.
8
解析：设 关于直线 的对称点为 ，由题意得
解得 所以 ，所以 的直线方程为 .
联立 解得 所以 .
所以 .
点 到直线 的距离 ，所以 的面积为 .
