【多媒体导学案】人教版九年级数学上册第25章第3课时《用列举法求概率之列表法》（教师版）
文档属性
| 名称 | 【多媒体导学案】人教版九年级数学上册第25章第3课时《用列举法求概率之列表法》（教师版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 141.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-01-02 11:12:22 | ||
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文档简介
一、学习目标 正确理解和区分一次试验中包含两步的试验；当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果；学习用列表法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。
二、知识回顾 1．概率的定义是什么？一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A发生的概率，记作P（A）=p．2．概率的计算公式是什么？一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，0≤P(A) ≤1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．
三、新知讲解 1．列举法求概率在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限 ( http: / / www.21cnjy.com )个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法．常用的列举法有直接列举法、列表法和树状图法．2．列表法求概率当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．列表法求概率的步骤：（1）将两个因素分别在第一行、第一列列举出来；（2）根据实际情况将所有可能的结果列在表中，允许部分表格为空；（3）通过表格计数，确定公式中m和n的值；（4）利用公式计算事件的概率．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．直接列举法求概率【例1】（2015 南平模拟）小颖准备通过 ( http: / / www.21cnjy.com )热线点歌，她记得号码的前5位，且号码的后三位由0，1，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨通电话的概率是（ ）A． B． C． D．总结：1．直接列举法就是把事件发生的所有等可能结果一一列举出来后分析求解的方法.2．直接列举法求概率的关键在于正确列举出事件发生的各种可能性．练1．（2015 义乌市校级模拟）从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（ ）A． B． C． D．2．列表法求概率——同时抛掷两枚骰子【例2】（2014秋 黎川县期中）掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数和大于9；（2）两枚骰子的点数差等于1．总结：1．运用列表法求概率前提是：（1）实验的所有结果是有限个；（2）各种结果的可能性相等.2．“同时掷两枚骰子”与“把一枚骰子先后掷两次”所得的结果是一样的，可能出现的结果都是36种，且它们出现的可能性相等．练2．（2013 香坊区三模）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ）A． B． C． D．3．列表法求概率——转盘问题【例3】（2014 石家庄模拟）小颖为学校 ( http: / / www.21cnjy.com )联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么红色和蓝色在一起配成了紫色，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法） ( http: / / www.21cnjy.com )总结：1．当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用列表法比较方便.2．在转盘中，概率=相应面 ( http: / / www.21cnjy.com )积与总面积的比值. 面积大，指针落在这个区域的可能性就大；面积小，指针落在这个区域的可能性就小，相等面积的可能性相等．练3．（2015 清远模拟）甲乙两人在 ( http: / / www.21cnjy.com )玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．（1）请用列表法列出所有可能的结果；（2）若指针所指的两个数字都是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣4x+3=0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣4x+3=0的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 滕州市二模）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）A． B． C．1 D．2．（2014秋 山亭区期中）放假 ( http: / / www.21cnjy.com )了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）A． B． C． D．3．（2013 黔东南州模拟）同时抛掷两枚硬币，硬币落地后，出现“一正面和一个反面”的概率为（ ）A． B． C． D．14. （2013 宁波自主招生）一枚质地均匀 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P0，P1，P2，P3，则P0，P1，P2，P3中最大的是（ ）A．P0 B．P1 C．P2 D．P3二、填空题5．（2015 舞阳县一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两个数，能与2组成“V数”的概率是 ．6．（2015 温州模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）一个材质均匀的正方体的每个面上标有数字1，2，3中的其中一个，其展开图如图所示，随机抛掷此正方体一次，则朝上与朝下的两面上数字相同的概率是 ． ( http: / / www.21cnjy.com )7（2015 涉县模拟）如图，开头K1，K2和K3处于断开状态，随机闭合开头K1、K2和K3中的两个，两盏灯同时发光的概率为 ． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2015 开江县二模）在如图的甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两个转盘中，指针指向每一个数字的机会是均等的，转动甲转盘，转盘停止转动后，指针所指的数字记为x，转动乙转盘，转盘停止转动后，指针所指的数字记为y，同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指的两个数字用来表示一个点的坐标，记为（x，y），那么该点在坐标轴上的概率是 ． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题9．（2014 江西模拟）五一小长假期 ( http: / / www.21cnjy.com )间，红色井冈山吸引了许多游客，方芳也随爸爸从南昌到井冈山旅游，由于仅有一天的时间，以下四个心仪的景点方芳不能都去．A﹣黄洋界，B﹣革命烈士陵园，C﹣笔架山，D﹣毛泽东旧居．（1）若爸爸让方芳从以上四个景点中任意选择一处游玩，求选中D处的概率；（2）若爸爸让方芳从以上四个景点中任意选择两处游玩，请利用列表格列举出所有可能选择的情况，并求方芳能选中D处的概率．10．（2014 玉溪模拟）如图所示，有一电路AB是由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d四个开关中的任意两个开关．（1）请用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况；（2）求出使电路形成通路（即灯泡亮）的概率． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2015 苏州一模）某演艺大厅有2个入口和3个出口，其示意图如下，参观者从任意一个入口进入，参观结束后从任意一个出口离开（1）用树状图表示，小明从进入到离开，对于入口和出口的选掉有多少种不同的结果？（2）小明从入口A进入并从出口1离开的概率是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】分析：首先利用直接列举法可得等可能的结果有012，021，102，120，201，210；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵等可能的结果有012，021，102，120，201，210；
∴她第一次就拨通电话的概率是．
故选C．
点评：此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
练1．分析：先用列举法将所有等可能的结果列举出来，再利用概率公式求解即可．
解：根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，
从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条作边，
能组成三角形的是：2，3，4；2，4，5；3，4，5；共三组，
∴能组成三角形的概率为3÷4=，
故选A．
点评：考查了概率的求法，能够利用直接列举法将所有等可能的情况列举出来是解答本题的关键．
【例2】分析：（1）列举出所有情况，看两枚骰子的点数和大于9的情况占总情况的多少即可求出其概率；
（2）列举出所有情况，看两枚骰子的点数差等于1的情况即可求出其概率．
解答：解：同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
（1）两枚骰子的点数和大于9的情况占总情况有6种，所以其概率=；
（2）由（1）可知：两枚骰子的点数差等于1的情况有10种，所以其概率=．
点评：本题考查了利用列表法求概率的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：先利用列表法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件可能发生的可能的结果m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率．
练2．分析：用列表法列举出同时掷两枚骰子可能出现的所有情况，以及两个骰子点数相同的情况，然后用概率公式求解即可.
解：列表如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有6×6=36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，
所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率==．
故选D．
点评：本题考查了列表法求概率.同时投掷两枚骰子，可以出现36种等可能结果，这个结论要记住.
【例3】分析：列表得出所有等可能的情况数，找出游戏者获胜的情况数，即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：
黄 蓝 绿
红 （黄，红） （蓝，红） （绿，蓝）
白 （黄，白） （蓝，白） （绿，白）
所有等可能的情况有6种，游戏者获胜的有1种情况，
则P（获胜）=．
点评：此题考查了列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
练3．分析：（1）首先根据题意列表，求得所有等可能的结果；
（2）首先求得方程x2﹣4x+3=0的解，由概率公式即可求得甲获胜与乙获胜的概率，继而求得他们两人谁获胜的概率大．
解答：解：（1）列表得：
1 2 3 4
2 （1,2） （2,2） （3,2） （4,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3） （4,3）
4 （1,4） （2,4） （3,4） （4,4）
则共有12种等可能的结果；
（2）∵x2﹣4x+3=0，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴甲获胜的情况有（1,3）和（3,3）两种情况，乙获胜的有（2,2）（4,2）（2,4）（4,4）共4种情况，
∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=，
∴乙获胜的概率大．
点评：此题考查的是用列表法求概率．注意列 ( http: / / www.21cnjy.com )表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“﹣”，也可以是“+”，
但y2前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，
能构成完全平方公式的有2种，
所以概率是．
故选A．
2．解：用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，
列表得：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
∵共有9种等可能的结果，两家抽到同一景点的有3种情况，
∴两家抽到同一景点的概率是：．
故选A．
3．解：列表如下：
正 反
正 （正，正） （反，正）
反 （正，反） （反，反）
共有4种等可能的情况出现，
其中出现一正面和一个反面的情况占2种，
所以出现“一正面和一个反面”的概率==．
故选C．
4. 解：同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
两个数字之和除以4：和为4、8、12时余数是0，共有9种情况，
和是5、9时余数是1，共有8种情况，
和是2、6、10时余数是2，共有9种情况，
和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，
所以，余数为0的有9个，P0==；
余数为1的有8个，P1==；
余数为2的有9个，P2==；
余数为3的有10个，P3==；
可见，＞＞；
∴P1＜P0=P2＜P3．
故选D．
二、填空题
5．解：从1，3，4，5中选取两个数，所有等可能的情况数有12种，分别为：
1，3；1，4；1，5；3，4；3，5；4，5；3，1；4，1；5，1；4，3；5，3；5，4；
其中“V数”的情况数有6种，分别为3，4；3，5；4，5；4，3；5，3；5，4，
则P能与2组成“V数”=．
故答案为：
6．解：根据展开图可以得出：故1、1相对，2、3相对，1、3相对，那么两个1朝上时，朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字，共有6种情况，则朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的概率是．
故答案为：．
7．解：列表得：
K1 K2 K3
K1 （K2，K1） （K3，K1）
K2 （K1，K2） （K3，K2）
K3 （K1，K3） （K2，K3）
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：．
故答案为：．
8．解：列表得：
0 1 2
1 （1，0） （1，1） （1，2）
2 （2，0） （2，1） （2，2）
3 （3，0） （3，1） （3，2）
∵共有9种等可能的结果，在坐标轴上的有3种，
∴P（点在坐标轴上）=，
故答案为：．
三、解答题
9．解：（1）∵共有四个心仪的景点，
∴选中D处的概率为：；
（2）列表得：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
∵共有12种等可能的结果，方芳能选中D处的有6种情况，
∴方芳能选中D处的概率为：．
10．解：列表得：
a b c d
a ab ac ad
b ba bc bd
c ca cb cd
d da db dc
则共有12种等可能的结果；
（2）∵使电路形成通路（即灯泡亮）的有8种情况，
∴使电路形成通路（即灯泡亮）的概率是 ．
11．解：（1）列表得：
1 2 3
A （1，A） （2，A） （3，A）
B （1，B） （2，B） （3，B）
共有6种等可能的结果；
（2）P（入口A，出口1）=．
（2015 南京二模）在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的1个白球、2个黑球、3个红球．搅匀后，从中随机摸出2个球．
（1）请列出所有可能的结果：
（2）求每一种不同结果的概率．
二、知识回顾 1．概率的定义是什么？一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A发生的概率，记作P（A）=p．2．概率的计算公式是什么？一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，0≤P(A) ≤1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．
三、新知讲解 1．列举法求概率在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限 ( http: / / www.21cnjy.com )个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法．常用的列举法有直接列举法、列表法和树状图法．2．列表法求概率当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．列表法求概率的步骤：（1）将两个因素分别在第一行、第一列列举出来；（2）根据实际情况将所有可能的结果列在表中，允许部分表格为空；（3）通过表格计数，确定公式中m和n的值；（4）利用公式计算事件的概率．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．直接列举法求概率【例1】（2015 南平模拟）小颖准备通过 ( http: / / www.21cnjy.com )热线点歌，她记得号码的前5位，且号码的后三位由0，1，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨通电话的概率是（ ）A． B． C． D．总结：1．直接列举法就是把事件发生的所有等可能结果一一列举出来后分析求解的方法.2．直接列举法求概率的关键在于正确列举出事件发生的各种可能性．练1．（2015 义乌市校级模拟）从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（ ）A． B． C． D．2．列表法求概率——同时抛掷两枚骰子【例2】（2014秋 黎川县期中）掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数和大于9；（2）两枚骰子的点数差等于1．总结：1．运用列表法求概率前提是：（1）实验的所有结果是有限个；（2）各种结果的可能性相等.2．“同时掷两枚骰子”与“把一枚骰子先后掷两次”所得的结果是一样的，可能出现的结果都是36种，且它们出现的可能性相等．练2．（2013 香坊区三模）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ）A． B． C． D．3．列表法求概率——转盘问题【例3】（2014 石家庄模拟）小颖为学校 ( http: / / www.21cnjy.com )联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么红色和蓝色在一起配成了紫色，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法） ( http: / / www.21cnjy.com )总结：1．当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用列表法比较方便.2．在转盘中，概率=相应面 ( http: / / www.21cnjy.com )积与总面积的比值. 面积大，指针落在这个区域的可能性就大；面积小，指针落在这个区域的可能性就小，相等面积的可能性相等．练3．（2015 清远模拟）甲乙两人在 ( http: / / www.21cnjy.com )玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．（1）请用列表法列出所有可能的结果；（2）若指针所指的两个数字都是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣4x+3=0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣4x+3=0的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 滕州市二模）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）A． B． C．1 D．2．（2014秋 山亭区期中）放假 ( http: / / www.21cnjy.com )了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）A． B． C． D．3．（2013 黔东南州模拟）同时抛掷两枚硬币，硬币落地后，出现“一正面和一个反面”的概率为（ ）A． B． C． D．14. （2013 宁波自主招生）一枚质地均匀 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P0，P1，P2，P3，则P0，P1，P2，P3中最大的是（ ）A．P0 B．P1 C．P2 D．P3二、填空题5．（2015 舞阳县一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两个数，能与2组成“V数”的概率是 ．6．（2015 温州模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）一个材质均匀的正方体的每个面上标有数字1，2，3中的其中一个，其展开图如图所示，随机抛掷此正方体一次，则朝上与朝下的两面上数字相同的概率是 ． ( http: / / www.21cnjy.com )7（2015 涉县模拟）如图，开头K1，K2和K3处于断开状态，随机闭合开头K1、K2和K3中的两个，两盏灯同时发光的概率为 ． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2015 开江县二模）在如图的甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两个转盘中，指针指向每一个数字的机会是均等的，转动甲转盘，转盘停止转动后，指针所指的数字记为x，转动乙转盘，转盘停止转动后，指针所指的数字记为y，同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指的两个数字用来表示一个点的坐标，记为（x，y），那么该点在坐标轴上的概率是 ． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题9．（2014 江西模拟）五一小长假期 ( http: / / www.21cnjy.com )间，红色井冈山吸引了许多游客，方芳也随爸爸从南昌到井冈山旅游，由于仅有一天的时间，以下四个心仪的景点方芳不能都去．A﹣黄洋界，B﹣革命烈士陵园，C﹣笔架山，D﹣毛泽东旧居．（1）若爸爸让方芳从以上四个景点中任意选择一处游玩，求选中D处的概率；（2）若爸爸让方芳从以上四个景点中任意选择两处游玩，请利用列表格列举出所有可能选择的情况，并求方芳能选中D处的概率．10．（2014 玉溪模拟）如图所示，有一电路AB是由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d四个开关中的任意两个开关．（1）请用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况；（2）求出使电路形成通路（即灯泡亮）的概率． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2015 苏州一模）某演艺大厅有2个入口和3个出口，其示意图如下，参观者从任意一个入口进入，参观结束后从任意一个出口离开（1）用树状图表示，小明从进入到离开，对于入口和出口的选掉有多少种不同的结果？（2）小明从入口A进入并从出口1离开的概率是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】分析：首先利用直接列举法可得等可能的结果有012，021，102，120，201，210；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵等可能的结果有012，021，102，120，201，210；
∴她第一次就拨通电话的概率是．
故选C．
点评：此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
练1．分析：先用列举法将所有等可能的结果列举出来，再利用概率公式求解即可．
解：根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，
从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条作边，
能组成三角形的是：2，3，4；2，4，5；3，4，5；共三组，
∴能组成三角形的概率为3÷4=，
故选A．
点评：考查了概率的求法，能够利用直接列举法将所有等可能的情况列举出来是解答本题的关键．
【例2】分析：（1）列举出所有情况，看两枚骰子的点数和大于9的情况占总情况的多少即可求出其概率；
（2）列举出所有情况，看两枚骰子的点数差等于1的情况即可求出其概率．
解答：解：同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
（1）两枚骰子的点数和大于9的情况占总情况有6种，所以其概率=；
（2）由（1）可知：两枚骰子的点数差等于1的情况有10种，所以其概率=．
点评：本题考查了利用列表法求概率的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：先利用列表法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件可能发生的可能的结果m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率．
练2．分析：用列表法列举出同时掷两枚骰子可能出现的所有情况，以及两个骰子点数相同的情况，然后用概率公式求解即可.
解：列表如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有6×6=36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，
所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率==．
故选D．
点评：本题考查了列表法求概率.同时投掷两枚骰子，可以出现36种等可能结果，这个结论要记住.
【例3】分析：列表得出所有等可能的情况数，找出游戏者获胜的情况数，即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：
黄 蓝 绿
红 （黄，红） （蓝，红） （绿，蓝）
白 （黄，白） （蓝，白） （绿，白）
所有等可能的情况有6种，游戏者获胜的有1种情况，
则P（获胜）=．
点评：此题考查了列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
练3．分析：（1）首先根据题意列表，求得所有等可能的结果；
（2）首先求得方程x2﹣4x+3=0的解，由概率公式即可求得甲获胜与乙获胜的概率，继而求得他们两人谁获胜的概率大．
解答：解：（1）列表得：
1 2 3 4
2 （1,2） （2,2） （3,2） （4,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3） （4,3）
4 （1,4） （2,4） （3,4） （4,4）
则共有12种等可能的结果；
（2）∵x2﹣4x+3=0，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴甲获胜的情况有（1,3）和（3,3）两种情况，乙获胜的有（2,2）（4,2）（2,4）（4,4）共4种情况，
∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=，
∴乙获胜的概率大．
点评：此题考查的是用列表法求概率．注意列 ( http: / / www.21cnjy.com )表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“﹣”，也可以是“+”，
但y2前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，
能构成完全平方公式的有2种，
所以概率是．
故选A．
2．解：用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，
列表得：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
∵共有9种等可能的结果，两家抽到同一景点的有3种情况，
∴两家抽到同一景点的概率是：．
故选A．
3．解：列表如下：
正 反
正 （正，正） （反，正）
反 （正，反） （反，反）
共有4种等可能的情况出现，
其中出现一正面和一个反面的情况占2种，
所以出现“一正面和一个反面”的概率==．
故选C．
4. 解：同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
两个数字之和除以4：和为4、8、12时余数是0，共有9种情况，
和是5、9时余数是1，共有8种情况，
和是2、6、10时余数是2，共有9种情况，
和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，
所以，余数为0的有9个，P0==；
余数为1的有8个，P1==；
余数为2的有9个，P2==；
余数为3的有10个，P3==；
可见，＞＞；
∴P1＜P0=P2＜P3．
故选D．
二、填空题
5．解：从1，3，4，5中选取两个数，所有等可能的情况数有12种，分别为：
1，3；1，4；1，5；3，4；3，5；4，5；3，1；4，1；5，1；4，3；5，3；5，4；
其中“V数”的情况数有6种，分别为3，4；3，5；4，5；4，3；5，3；5，4，
则P能与2组成“V数”=．
故答案为：
6．解：根据展开图可以得出：故1、1相对，2、3相对，1、3相对，那么两个1朝上时，朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字，共有6种情况，则朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的概率是．
故答案为：．
7．解：列表得：
K1 K2 K3
K1 （K2，K1） （K3，K1）
K2 （K1，K2） （K3，K2）
K3 （K1，K3） （K2，K3）
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：．
故答案为：．
8．解：列表得：
0 1 2
1 （1，0） （1，1） （1，2）
2 （2，0） （2，1） （2，2）
3 （3，0） （3，1） （3，2）
∵共有9种等可能的结果，在坐标轴上的有3种，
∴P（点在坐标轴上）=，
故答案为：．
三、解答题
9．解：（1）∵共有四个心仪的景点，
∴选中D处的概率为：；
（2）列表得：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
∵共有12种等可能的结果，方芳能选中D处的有6种情况，
∴方芳能选中D处的概率为：．
10．解：列表得：
a b c d
a ab ac ad
b ba bc bd
c ca cb cd
d da db dc
则共有12种等可能的结果；
（2）∵使电路形成通路（即灯泡亮）的有8种情况，
∴使电路形成通路（即灯泡亮）的概率是 ．
11．解：（1）列表得：
1 2 3
A （1，A） （2，A） （3，A）
B （1，B） （2，B） （3，B）
共有6种等可能的结果；
（2）P（入口A，出口1）=．
（2015 南京二模）在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的1个白球、2个黑球、3个红球．搅匀后，从中随机摸出2个球．
（1）请列出所有可能的结果：
（2）求每一种不同结果的概率．
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