【多媒体导学案】人教版九年级数学上册第25章第4课时《用列举法求概率之树状图法》（教师版）

一、学习目标 1．进一步理解有限等可能性事件概率的意义；2．会用树状图求出一次试验中涉及3个或更多因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率．
二、知识回顾 1．列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法．2．练习同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率：(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子点数之和是9；(3)至少有一个骰子的点数为2；分析：这里涉及到两个因素，所以先用列表法把所有可能的结果列举出来，然后再分析每个事件所包含的可能结果种数即可求出相应事件的概率． ( http: / / www.21cnjy.com )解：（1）两个骰子的点数相同(记为事件A ( http: / / www.21cnjy.com )) ∴P(A)=6/36=1/6（2）两个骰子点数之和是9(记为事件B) ∴ P(B)=4/36=1/9（3）至少有一个骰子的点数为2 (记为事件C) ∴ P(C)=11/36
三、新知讲解 1．树状图法求概率当一个试验涉及3个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法来求概率．2．树状图法求概率的基本步骤①把所有可能发生的实验结果用树状图表示出来；②把所求的事件发生的可能结果都找出来；③代入概率的计算公式：．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．用树状图法求三步试验的概率【例1】（2015 绵阳模拟）甲、乙、丙三 ( http: / / www.21cnjy.com )个人打乒乓球，为了确定哪两个人先打，商定三人伸出手来，若其中两人的手心或手背同时向上，则这两人先打，如果三个人手心或手背都向上则重来，则甲乙两先打的概率为（ ）A． B． C． D．总结：画树状图求概率的基本步骤：（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；（3）明确随机事件A，数出所求事件发生的可能结果m，以及所有可能发生的试验结果n；（4）计算随机事件的概率．练1（2015 塘沽区三模）经过某十字路口 ( http: / / www.21cnjy.com )的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种的可能性相同，则两辆汽车经过十字路口全部继续直行的概率为______．2．用树状图法求有放回、无放回摸球试验的概率【例2】（2015 大兴区 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出一个球后再放回袋中，这样取出球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的概率是（ ）A． B． C． D．总结：以摸球为背景考查概率知识是一种常见题型，解答此类问题时，首先必须弄清楚摸球后有无放回，有放回与无放回对概率的影响不同：（1）第一次无放回，第二次只能从第一次剩下的球里面摸球，不能出现两次摸球是同一个球的情况；（2）有放回摸球，两次摸到的球可能是同一个，与无放回摸球相比，多了两次都是同一个球的情况；（3）分清楚有无放回后，利用画树状图的方法分析所有等可能的结果及所关注的结果，在此基础上计算出概率．练2（2015 宿迁）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同．（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为_______；（2）从袋中随机摸出1个球（不放回）后，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球．求两次摸到的球颜色不相同的概率．3．用树状图法求配套问题的概率【例3】（2011 盐城）小明有3支水 ( http: / / www.21cnjy.com )笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．总结：用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P=．练3（2015春 天津校级月考）有 ( http: / / www.21cnjy.com )两支不同的笔和四个不同的笔帽，其中两个笔帽恰好分别能与这两支笔配套，其余的笔帽不能与这两支笔配套．现在任意取出一个笔帽和一支笔．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；（2）求取出的笔和笔帽恰好配套的概率．
五、课后小测 一、选择题1．（2015 福州校级模拟）有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（） ( http: / / www.21cnjy.com )A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球2．（2014 江阴市校级二模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机的选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头A和E的概率的大小关系是（） ( http: / / www.21cnjy.com )A．A的概率大 B．E的概率大 C．同样大 D．无法比较二、填空题3．（2015 温州）一个不透明的袋中只装有 ( http: / / www.21cnjy.com )1个红球和2个篮球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是______．4．（2015 红桥区一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为______．5．（2013 黄石）甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足|m﹣n|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是________．三、解答题6．（2016 贵阳模拟）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到了小华处的概率是多少（用树状图表示或列表说明）；（2）如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由．7．（2015 酒泉）有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别下上整式x2+1，﹣x2﹣2，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式．（1）请用画树状图成列表的方法，写出代数式所有可能的结果；（2）求代数式恰好是分式的概率．8．（2015 连云港）九（1）班组织 ( http: / / www.21cnjy.com )班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．奖项一等奖二等奖三等奖|x||x|=4|x|=31≤|x|＜3（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？9．（2015 安徽）A、B、C三人玩 ( http: / / www.21cnjy.com )篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．10．（2015 黄石）父亲节快到 ( http: / / www.21cnjy.com )了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大？请说明理由．11．（2015 东莞）老师和小明同学玩 ( http: / / www.21cnjy.com )数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2015 天台县模拟）201 ( http: / / www.21cnjy.com )5年体育中考作出新规定：考试须从“力量素质类”和“运动技能类”中各选考一项，其中“力量素质类”包括掷实心球和立定跳远，“运动技能类”包括篮球运动投篮和排球垫球，我们将掷实心球、立定跳远、篮球运动投篮和排球垫球分别记为A、B、C、D．（1）如果考生随机选考，共有几种不同的选考结果，请一一列举出来；（2）如果考生甲随机选考，求恰好选中掷实心球和篮球运球投篮的概率；（3）若甲、乙两个考生都进行随机选考，请利用树形图法或列表法，求甲、乙两个考生选考结果完全相同的概率．
典例探究答案：
【例1】】分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲乙两先打的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有8种等可能的结果，甲乙两先打的有2种情况，
∴甲乙两先打的概率为：．
故选C．
点评：此题考查了用树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
练1．分析：画出树状图，然后根据概率公式解答即可．
解答：解：根据题意，画出树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
一共有9种情况，两辆汽车经过十字路口全部继续直行的有1种情况，
所以，P（两辆汽车经过十字路口全部继续直行）=．
故答案为：．
点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【例2】分析：列举出所有情况，看球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的情况数占所有情况数的多少即可．
解答：解：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有27种情况，球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的情况数有1种，所以概率为．
故选A．
点评：考查用列树状图的方法解决概率问题 ( http: / / www.21cnjy.com )；得到球的顺序依次是“红﹣黄﹣蓝”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
练2．分析：（1）直接利用概率公式求出摸出红球的概率；
（2）利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．
解答：解：（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为：=；
故答案为：；
（2）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )，
所有的可能有12种，符合题意的有10种，故两次摸到的球颜色不相同的概率为：．
点评：此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．
【例3】分析：先画出树状图展示所有可能的6种结果，找出取出红色水笔和白色橡皮占1种，然后根据概率的概念求解即可．
解答：解：画树状图：
共有6种等可能的结果，其中取出红色水笔和白色橡皮占1种，
∴出红色水笔和白色橡皮配套的概率=．
点评：本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率．
练3．分析：（1）首先分别用A ( http: / / www.21cnjy.com )，B表示两支不同的笔，分别用a，b，c，d表示四个不同的笔帽，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图求得取出的笔和笔帽恰好配套的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）分别用A，B表示两支不同的笔，分别用a，b，c，d表示四个不同的笔帽，
画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
则共有8种等可能的结果；
（2）∵取出的笔和笔帽恰好配套的有2种情况，
∴取出的笔和笔帽恰好配套的概率为：．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
课后小测答案：
一、选择题
1．分析：根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球．
解答：解：观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，
此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球．
故选A．
点评：此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验．
2．分析：分别求出到达树枝A与树枝E的概率，然后再比较大小．
解答：解：蚂蚁到达树枝A的概率是×=，
蚂蚁到达树枝E的概率是，
∵＜，
∴蚂蚁爬到树枝头E的概率大．
故选B．
点评：本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．
二、填空题
3．分析：首先根据题意画出树状图，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有4种情况，
∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．分析：先利用树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出球的颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．
解答：解：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有16种结果，两次都摸到白球的有4种结果，则概率是．
故答案是：．
点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表 ( http: / / www.21cnjy.com )法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求解．
5．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与m、n满足|m﹣n|≤1的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有16种等可能的结果，m、n满足|m﹣n|≤1的有10种情况，
∴甲、乙两人“心有灵犀”的概率是：．
故答案为：．
点评：本题考查的是用列表法或 ( http: / / www.21cnjy.com )画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
6．分析：（1）列举出所有情况，看足球踢到了小华处的情况数占所有情况数的多少即可；
（2）可设球从小明处先开始踢，得到3次 ( http: / / www.21cnjy.com )踢球回到小明处的概率，进而根据树状图可得球从其他2位同学处开始，3次踢球回到小明处的概率，比较可得可能性最小的方案．
解答：解：（1）如图：
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∴P（足球踢到小华处）=
（2）应从小明开始踢如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
若从小明开始踢，P（踢到小明处）=
同理，若从小强开始踢，P（踢到小明处）=
若从小华开始踢，P（踢到小明处）=（理由3分）
点评：考查用列树状图的方法解决概率问题 ( http: / / www.21cnjy.com )；分类得到3次踢球踢到小明处的情况数是解决本题的难点；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
7．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果能组成分式的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）画树状图：
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（2）代数式所有可能的结果共有6种，其中代数式是分式的有4种：
，，，，
所以P（是分式）=．
第一次第二次 x2+1 ﹣x2﹣2 3
x2+1
﹣x2﹣2
3
点评：此题考查的是用列表法或画树状图法求 ( http: / / www.21cnjy.com )概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由树状图可得：当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．
解答：解：（1）画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，
∴甲同学获得一等奖的概率为：；
（2）不一定，当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，
∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：；
（2）画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，
∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．分析：（1）首先分别用A，B，C表示芝 ( http: / / www.21cnjy.com )麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由 ( http: / / www.21cnjy.com )树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．
解答：解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，
画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：；
（2）会增大．
理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：；
∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．分析：（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；
（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）补全小明同学所画的树状图：
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况，
∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．分析：（1）用完全列举法得到选考结果为AC，AD，BC，BD；
（2）根据概率公式求解；
（3）用1、2、3、4分别表示AC、A ( http: / / www.21cnjy.com )D、BC、BD，先利用树状图法展示所有16种等可能的结果数，找出甲、乙两个考生选考结果完全相同的结果数，然后根据概率公式求解．
解答：解：（1）如果考生随机选考，共有4种不同的选考结果，它们是AC，AD，BC，BD；
（2）恰好选中掷实心球和篮球运球投篮的概率，即P（AC）=；
（3）用1、2、3、4分别表示AC、AD、BC、BD，
画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中甲、乙两个考生选考结果完全相同的占4种，
所以甲、乙两个考生选考结果完全相同的概率==．
点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列 ( http: / / www.21cnjy.com )表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B概率．