【多媒体导学案】人教版九年级数学上册第25章第6课时《用频率估计概率（2）》（教师版）

一、学习目标 1．会用频率的稳定性估计概率的计算；2．通过对问题的分析，理解用频率估计概率的方法，并鼓励用概率解决问题．
二、知识回顾 1．用频率估计概率在相同的条件下，大量地重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所　　逐渐稳定的常数　　，可以估计这个事件发生的概率．2．用频率估计概率的适用条件必须在相同的条件下进行大量重复试验，一般用大量重复试验的频率去估计该事件的概率．
三、新知讲解 1．频率与概率的区别和联系①随着实验次数的增加，一般地，频率会呈现 ( http: / / www.21cnjy.com )出一定的稳定性：在某个特定数值p的左右摆动的幅度越来越小．我们就是用p这个常数来表示事件发生的概率．②频率是在实验的基础上得出的，而概率是通过计算得出的理论数值，它们之间非常接近，但并不意味着完全相等．③当一次试验中，可能出现的结果有无限多个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率．2．用频率估计概率时，应注意三个方面①试验的随机性②保证足够的试验次数③得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．用频率的稳定值求数量【例1】（2015 铁岭）在一个不透明的布 ( http: / / www.21cnjy.com )袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有______个．总结：这类题一般先用频率估计概率，再利用所得概率结合概率公式P（A）=求数量.用频率估计概率的前提条件是大量的试验，在此基础上所得的稳定值为概率.练1（2015春 江都市期末）“2015扬 ( http: / / www.21cnjy.com )州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A、“半程马拉松”、B、“10公里”、C、“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为．（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：调查总人数501002005001000参加“迷你马拉松”人数214579200401参加“迷你马拉松”频率0.3600.4500.3950.4000.401①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为________．（精确到0.1）②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？2．用频率估计概率的综合应用【例2】某小鱼塘放养鱼苗5 ( http: / / www.21cnjy.com )00尾，成活率为80%，成熟后，平均质量1.5斤以上的鱼为优质鱼，若在一天中随机捞出一条鱼，称出其质量，再放回去，不断重复上面的实验，共捞了50次，有32条鱼的平均质量在1.5斤以上，若优质鱼的利润为2元/斤，则这个小鱼塘在优质鱼上可获利多少元？总结：此类问题可以利用频率估计概率的知识解决．用到的有关频率的公式：频率=频数÷数据总数，频数=数据总数×频率，数据总数=频数÷频率，频率=所求情况数与总情况数之比．练2某商场购进一批某名牌衬衫，要求一等 ( http: / / www.21cnjy.com )品的件数为12850件左右，请问该商场应购进多少这样的衬衫？下面是该部门经理随机抽查一些衬衫后，统计得到的一等品的变化表：抽查数n100200150020002500一等品数m9414301902一等品频率m/n0.970.95（1）把表补充完整（结果保留两位小数）；（2）任意抽取1件衬衫，抽得1等品的概率约为多少？（3）你能求得商场应购进多少这样的衬衫吗？
五、课后小测 一、选择题1．（2015 太原一模）在一个不 ( http: / / www.21cnjy.com )透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ） 摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m70128171302481599903摸到白球的频率0.750.640.570.6040.6010.5990.602A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200D．这个盒子中的白球定有28个2．（2014 锦江区校级模拟）某 ( http: / / www.21cnjy.com )口袋里现有8个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验50次，其中有20个红球，估计绿球个数为（ ） A．6 B．12 C．13 D．253．（2015 杭州模拟）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值．②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值．③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间 ( http: / / www.21cnjy.com )放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，合理的有（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题4．九年级（1）班有50名 ( http: / / www.21cnjy.com )同学，学校发了8张参观券，老师决定任意分给8名同学，他将50名同学按1～50进行编号，用计算机随机产生 ～ 之间的整数，随机产生的个整数所对应的编号的同学就领取参观券．5．（2015 曲靖）一 ( http: / / www.21cnjy.com )个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有_______颗．6．（2009 武汉模拟）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下： ( http: / / www.21cnjy.com )依此估计此封闭图形ABC的面积是_______m2．三、解答题7．（2015 宜州市二模）王老师将1 ( http: / / www.21cnjy.com )个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球的频率0.230.210.300.260.253（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_______；（2）估算袋中白球的个数；（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．8．（2015 姜堰市一模）甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了60次，出现向上点数的次数如表：向上点数123456出现次数810791610（1）计算出现向上点数为6的频率．（2）丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．”请判断丙的说法是否正确并说明理由．（3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率．9．（2014春 耒阳市校级期末）解应用题：（1）若一个多边形的每个内角都相等，而且每个内角与其相邻的外角之比为8：1，求此多边形的边数．（2）甲、乙两人赛跑，若让乙先跑2秒钟，则甲需6秒才能追上乙；若让乙先跑16米，则甲需8秒才能追上乙，求甲、乙两人的速度．（3）某学生做了一个小实验：把分别标有 ( http: / / www.21cnjy.com )数字1～32的32个乒乓球放入一个暗箱中，从中任意摸出一个，记录号码，再放入；然后再从中任意摸出一个，记录号码，再放入，…，如此重复；便得出了下表的结果：（表1）重复实验的次数2060100140摸出的号码恰好是4的倍数的次数5142536由上表可知摸出的号码是4的倍数出现的频率是：完成如下表2；（2分）重复实验的次数2060100140摸出的号码恰好是4的倍数的频率从上表2中的数据，你可以推测：摸出的号码是4的倍数的频率会稳定在什么值？这说明了什么？10．在一次大规模英文文献的统计中 ( http: / / www.21cnjy.com )，发现英文字母A出现的机会在0.091左右．如果这次调查是可信的，那么再去统计一篇约为300字的英文文献，可以说字母A出现的频率会非常接近9.1%吗？为什么？11．（2015 广州）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进 ( http: / / www.21cnjy.com )行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？12．（2015春 泰兴市期末）在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．（1）试求出a的值；（2）从中任意摸出一个球，下列事件：① ( http: / / www.21cnjy.com )该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．
典例探究答案：
【例1】分析：根据多次试验发现 ( http: / / www.21cnjy.com )摸到红球的频率是20%，则可以得出摸到红球的概率为20%，再利用红色小球有4个，黄、白色小球的数目相同进而表示出黑球概率，得出答案即可．
解答：解：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，
∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，
∴，解得：x=8，
∴黑色小球的数目是8个．
故答案为：8．
点评：本题考查了利用频率估计概率，根据题目中给出频率可知道概率，从而可求出黑色小球的数目是解题关键．
练1．分析：（1）利用概率公式直接得出答案；
（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数．
解答：解：（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为：；
故答案为：；
（2）①由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.4；
故答案为：0.4；
②参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.4=12000（人）．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．
【例2】分析：由题意可得：池塘中有1.5斤以上鱼的概率为．因为池塘内鱼苗500尾成活率为80%，所以可以估计该池塘内1.5斤以上鱼的数量，进而得出答案．
解答：解：∵共捞了50次，有32条鱼的平均重量在1.5斤以上，
∴池塘中有1.5斤以上鱼的概率为：，
故×500×80%×2×1.5=768（元），
答：优质鱼上至少可获利768元．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，解决此类问题的关键是正确的把实际问题转化为数学问题，利用概率的知识解决问题．
练2．分析：（1）根据频率=频数÷数据总数及频数=数据总数×频率即可求解；
（2）大量重复实验时，事件发生的频率可看作是这个事件的概率，根据表格，可得任意抽取1件衬衫，抽得1等品的概率约为0.95；
（3）根据数据总数=频数÷频率列式，计算即可．
解答：解：（1）填表如下：
抽查数n 100 200 1500 2000 2500
一等品数m 94 194 1430 1902 2375
一等品频率m/n 0.94 0.97 0.95 0.95 0.95
（2）根据表格，可得任意抽取1件衬衫，抽得1等品的概率约为0.95；
（3）12850÷0.95≈13527（件）．
即商场应购进约13527件这样的衬衫．
点评：本题考查了利用频率估计概率，大量 ( http: / / www.21cnjy.com )反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=频数÷数据总数，频数=数据总数×频率，数据总数=频数÷频率，频率=所求情况数与总情况数之比．
课后小测答案：
一、选择题
1．分析：观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．
解答：解：观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，
故选B．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
2．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
解答：解：设袋中有绿球x个，由题意得：
，
解得x=12．
故选：B．
点评：本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是得到红球和球的总数的比值
3．分析：分析每个试验的概率后，与原来的掷硬币的概率比较即可．
解答：解：①由于一枚质地均匀的硬币，只有正反两面，故正面朝上的概率是；
②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半．指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为．
③由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为．
三个试验均科学，
故选：D．
点评：此题主要考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法．
二、填空题
4．分析：共有50名同学，每一张参观券分给的同学都有50种可能，所以分8次实验，每次实验都要产生1﹣50之间的数．
解答：解：用计算机随机产生1～50之间的整数，随机产生的8个整数所对应的编号的同学就领取参观券．
点评：用计算器做模拟实验时要首先根据题意确定好所需要的数的范围，再根据条件对数据进行分类．
5．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解答：解：由题意可得，，
解得n=14．
故估计盒子中黑珠子大约有14个．
故答案为：14．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
6．分析：根据表格中提供的数据计算出落在圆内的概率与落在阴影内的概率的比值，即可解答．
解答：解：∵落在圆内的频率为≈0.29；
落在阴影内的频率为≈0.59；
∴落在阴影部分（下称为“阴”）是落在圆内的（称为“圆”）几率大概为：2：1，
∵S圆=πm2，
∴S阴=2πm2，
∴S总=π+2π=3πm2．
点评：此题信息量较大，在解答时要注意分析， ( http: / / www.21cnjy.com )本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，需同学们细心解答．关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法．
三、解答题
7．分析：（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
解答：解：（1）251÷1000=0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
（2）设袋中白球为x个，
=0.25，x=3．
答：估计袋中有3个白球．
（3）用B代表一个黑球，W1、W2、W3 代表白球，将摸球情况列表如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，
所以摸到两个球都是白球的概率为．
点评：此题考查列表法和树状图法求概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8．分析：（1）直接利用概率公式求得概率即可；
（2）利用概率的意义分别分析后即可判断谁的说法正确；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答：解：（1）出现向上点数为6的频率=；
（2）丙的说法不正确，
理由：（1）因为实验次数较多时，向上点数为6的频率接近于概率，但不说明概率就等一定等于频率；
（2）从概率角度来说，向上点数为6的概率是的意义是指平均每6次出现1次；
（3）用表格列出所有等可能性结果：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
共有36种等可能性结果，其中点数之和为3的倍数可能性结果有12个
∴P（点数之和为3的倍数）=．
点评：本题考查了概率公式和概率的意义、利用频率估计概率的知识，由于骰子是均匀的，与试验次数无关．
9．分析：（1）设多边形的每 ( http: / / www.21cnjy.com )个内角的度数为8x，则每个外角的度数为x，根据平角的定义得到8x+x=180°，解得x=20°，然后根据多边形的外角和求解；
（2）甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，根据甲、乙跑的总路程相等可列方程组 ，然后解方程即可；
（3）根据频率的定义分别计算出重复实验 ( http: / / www.21cnjy.com )的次数分别为20、60、100、140时摸出的号码恰好是4的倍数的频率，再利用计算结果易得摸出的号码是4的倍数的频率会稳定在0.25左右，然后根据频率估计概率得到摸出的号码是4的倍数的概率为0.25．
解答：解：（1）设多边形的每个内角的度数为8x，则每个外角的度数为x，
根据题意得8x+x=180°，解得x=20°，
因为=18，
所以此多边形为18边形；
（2）设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，
根据题意得，解得，
答：甲的速度为8m/s，乙的速度为6m/s；
（3）=0.25；≈0.23；=0.25；≈0.26，
所以摸出的号码是4的倍数的频率会稳定在0.25左右，于是可估计摸出的号码是4的倍数的概率为0.25．
故答案为0.25，0.23，0.25，0.26．
点评：本题考查了利用频率估计概率：用频 ( http: / / www.21cnjy.com )率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确；当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．也考查了二元一次方程组的应用．
10．分析：根据概率的频率定义，在同样条 ( http: / / www.21cnjy.com )件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，300字的英文文献的实验次数不够大，不一定非常接近9.1%．
解答：解：不可以这样说．
因为统计一篇约300字的英文文献的实验次数不够大，当实验次数不够大时，频率不一定非常接近大规模统计中所发现的机会．
点评：本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
11．分析：（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
解答：解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P（抽到的都是合格品）=；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴=0.95，
解得：x=16．
点评：本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
12．分析：（1）根据频率估计概率，可得到摸到红球的概率为20%，然后利用概率公式计算a的值；
（2）根据概率公式分别计算出摸出一个球是红球或白球或蓝球的概率，然后根据概率的大小判断这三个事件发生的可能性的大小．
解答：解：（1）a=4÷20%=20；
（2）在一个暗箱里放有20个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，蓝求有6个，
所以从中任意摸出一个球，该球是红球的概率=20%；该球是白球的概率==50%；该球是蓝球的概率==30%，
所以可能性从小到大排序为：①③②．
点评：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实 ( http: / / www.21cnjy.com )验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．