八年级数学下册第四章测试卷（江西南昌版，学生版）
(满分：120分 考试用时：120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．(a＋3)(a－3)＝a2－9
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．a2－4a－5＝a(a－4)－5
D．m2－2m－3＝m
2．多项式36a2bc－48ab2c＋24abc的公因式是（ ）
A．6abc B．12abc C．12a2b2c2 D．36a2b2c2
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2－4a＋2＝2(a－1)2
B．a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C．4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b)
D.a3b－ab3＝ab(a－b)2
4．把(－2)2 024＋(－2)2 025分解因式的结果是（ ）
A．22 024 B．－22 024 C．－22 025 D．22 025
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9
6．已知a，b是实数，x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)．则x，y的大小关系是（ ）
A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．多项式a2b2＋6ab＋A是完全平方式，则A＝ .
8．分解因式：(x－1)(x－3)－3＝ ．
9．在一个边长为12.75 cm的正方形内挖去一个边长为7.25 cm的正方形，则剩下部分的面积为 cm2.
10．如果a，b互为相反数，那么a(1－2y)－b(2y－1)的值是 .
11．若|x－2|＋y2－4y＋4＝0，则xy＝ .
12．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为 .
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．把下列各式分解因式：
(1)a2(x－1)＋b2(1－x)．
(2)－3ma3＋6ma2－3ma；
14．利用分解因式计算：
(1)1.38×29－17×1.38＋88×1.38；
(2)5652×30－4352×30.
15．先分解因式再求值：已知a＝0.2，b＝0.4，求(a＋2)2＋4(a＋2)·(b－2)＋4(2－b)2的值．
16．某种圆柱形钢管的长为L＝1 m，外径D＝25 cm，内径d＝15 cm，每立方米钢的重量为7.8 t，求100根这样的钢管的总重量(π取3.14，结果精确到0.01 t)．
17．用分解因式的方法说明：当n为整数时，两个连续整数的平方差(n＋1)2－n2等于这两个连续整数的和．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．已知：整式A＝x(x＋3)＋5，整式B＝ax－1.
(1)若A＋B＝(x＋2)2，求a的值；
(2)若A－B可以分解为(x－2)(x－3)，求A＋B.
19．观察下列各式，你会发现什么规律？
15＝42－1，而3×5＝15；
35＝62－1，而5×7＝35；……；
143＝122－1，而11×13＝143；……
将猜想到的规律用只含有一个字母的式子表示出来，并说明理由．
20．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，请你将原多项式分解因式．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．对于二次三项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2.
＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋3a)(x－a)．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法．
(1)请用上述方法把x2－4x＋3分解因式；
(2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
22．阅读材料：
∵(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6，∴(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，这说明多项式x2＋x－6能被x－2整除，同时也说明多项式x2＋x－6有一个因式为x－2；另外，当x＝2时，多项式x2＋x－6的值为0.
根据上述信息，解答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式x－2，则说明该多项式能
被 整除，当x＝2时，该多项式的值为 ；
(2)探索规律：一般地，如果一个关于x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，试确定M与代数式x－k之间的关系；
(3)应用：已知x－2能整除x2＋kx－14，利用上面的信息求出k的值．
六、(本大题共12分)
23．【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
【方法探究】对于多项式x2＋(p＋q)x＋pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图①所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数＋(p＋q)．所以x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
例如，分解因式：x2＋5x＋6.它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图②所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5.
所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．
【类比探究】当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：2x2－x－6.
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6(或－6与1，－2与3，－3与2)的积，但只有当－2与3时按如图③所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1.所以2x2－x－6＝(2x＋3)(x－2)．
【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2＋bx＋c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图④所示方式排列，当且仅当a1c2＋a2c1＝b(一次项系数)时，ax2＋bx＋c可分解因式．即ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：
(1)x2－5x＋6；(2)10x2＋x－21；(3)(x2－4x)2＋7(x2－4x)＋12.八年级数学下册第四章测试卷（教师版，答案版）
(满分：120分 考试用时：120分钟)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是B
A．(a＋3)(a－3)＝a2－9
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．a2－4a－5＝a(a－4)－5
D．m2－2m－3＝m
2．多项式36a2bc－48ab2c＋24abc的公因式是B
A．6abc B．12abc
C．12a2b2c2 D．36a2b2c2
3．下列因式分解正确的是A
A．2a2－4a＋2＝2(a－1)2
B．a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C．4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b)
D.a3b－ab3＝ab(a－b)2
4．把(－2)2 024＋(－2)2 025分解因式的结果是B
A．22 024 B．－22 024 C．－22 025 D．22 025
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是D
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
6．已知a，b是实数，x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)．则x，y的大小关系是B
A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．多项式a2b2＋6ab＋A是完全平方式，则A＝9.
8．分解因式：(x－1)(x－3)－3＝x(x－4)．
9．在一个边长为12.75 cm的正方形内挖去一个边长为7.25 cm的正方形，则剩下部分的面积为110 cm2.
10．如果a，b互为相反数，那么a(1－2y)－b(2y－1)的值是0.
11．若|x－2|＋y2－4y＋4＝0，则xy＝4.
12．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为12.
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．把下列各式分解因式：
(1)a2(x－1)＋b2(1－x)．
解：原式＝a2(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(a2－b2)
＝(x－1)(a＋b)(a－b)．
(2)－3ma3＋6ma2－3ma；
解：原式＝－3ma(a2－2a＋1)
＝－3ma(a－1)2.
14．利用分解因式计算：
(1)1.38×29－17×1.38＋88×1.38；
解：原式＝1.38×(29－17＋88)
＝1.38×100 ＝138.
(2)5652×30－4352×30.
解：原式＝30×(5652－4352)
＝ 30×(565＋435)×(565－435)
＝ 30×1 000×130
＝ 3 900 000.
15．先分解因式再求值：已知a＝0.2，b＝0.4，求(a＋2)2＋4(a＋2)·(b－2)＋4(2－b)2的值．
解：原式＝(a＋2)2－4(a＋2)(2－b)＋4(2－b)2
＝[a＋2－2(2－b)]2.
将a＝0.2，b＝0.4代入得
原式＝[0.2＋2－2(2－0.4)]2＝1.
16．某种圆柱形钢管的长为L＝1 m，外径D＝25 cm，内径d＝15 cm，每立方米钢的重量为7.8 t，求100根这样的钢管的总重量(π取3.14，结果精确到0.01 t)．
解：×1×7.8×100
＝×3.14×(0.252－0.152)×1×100×7.8
＝×3.14×[(0.25＋0.15)(0.25－0.15)]×1×100×7.8
≈24.49(t)．
故100根这样的钢管的总重量约为24.49 t.
17．用分解因式的方法说明：当n为整数时，两个连续整数的平方差(n＋1)2－n2等于这两个连续整数的和．
解：∵原式＝(n＋1＋n)(n＋1－n)＝n＋1＋n.
∴两个连续整数n＋1，n的平方差(n＋1)2－n2等于这两个连续整数的和．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．已知：整式A＝x(x＋3)＋5，整式B＝ax－1.
(1)若A＋B＝(x＋2)2，求a的值；
(2)若A－B可以分解为(x－2)(x－3)，求A＋B.
解：(1)∵A＝x(x＋3)＋5＝x2＋3x＋5，
∴A＋B＝x2＋3x＋5＋ax－1＝x2＋(3＋a)x＋4.
∵A＋B＝(x＋2)2＝x2＋4x＋4＝x2＋(3＋a)x＋4.
∴3＋a＝4.∴a＝1.
(2)∵A＝x2＋3x＋5.
∴A－B＝x2＋3x＋5－(ax－1)＝x2＋(3－a)x＋6.
∴x2＋(3－a)x＋6＝(x－2)(x－3)．
∴x2＋(3－a)x＋6＝x2－5x＋6.
∴3－a＝－5.∴a＝8.∴A＋B＝x2＋11x＋4.
19．观察下列各式，你会发现什么规律？
15＝42－1，而3×5＝15；
35＝62－1，而5×7＝35；……；
143＝122－1，而11×13＝143；……
将猜想到的规律用只含有一个字母的式子表示出来，并说明理由．
解：(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1)，
因为15＝(2×2)2－1，3×5＝(2×2－1)(2×2＋1)＝15，
则有(2×2)2－1＝(2×2－1)(2×2＋1)；
35＝(2×3)2－1，而(2×3－1)(2×3＋1)＝35，
则有(2×3)2－1＝(2×3－1)(2×3＋1)；……；
143＝(2×6)2－1，而(2×6－1)(2×6＋1)＝143，
则有(2×6)2－1＝(2×6－1)(2×6＋1)；…….
设n是正整数，则(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1)．
20．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，请你将原多项式分解因式．
解：设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0)．
∵2(x－1)(x－9)
＝2(x2－10x＋9)
＝2x2－20x＋18，
∴a＝2，c＝18.
又∵2(x－2)(x－4)
＝2(x2－6x＋8)
＝2x2－12x＋16，
∴b＝－12.
∴原多项式为2x2－12x＋18，将它分解因式，得
2x2－12x＋18
＝2(x2－6x＋9)
＝2(x－3)2.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．对于二次三项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2.
＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋3a)(x－a)．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法．
(1)请用上述方法把x2－4x＋3分解因式；
(2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3
＝(x－2)2－1
＝(x－2＋1)(x－2－1)
＝(x－1)(x－3)．
(2)原式＝x2＋2x＋1＋1
＝(x＋1)2＋1，
∵(x＋1)2≥0，
∴原式有最小值时，x＝－1.
22．阅读材料：
∵(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6，∴(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，这说明多项式x2＋x－6能被x－2整除，同时也说明多项式x2＋x－6有一个因式为x－2；另外，当x＝2时，多项式x2＋x－6的值为0.
根据上述信息，解答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式x－2，则说明该多项式能被(x－2)整除，当x＝2时，该多项式的值为0；
(2)探索规律：一般地，如果一个关于x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，试确定M与代数式x－k之间的关系；
(3)应用：已知x－2能整除x2＋kx－14，利用上面的信息求出k的值．
解：(2)根据(1)得出的关系，有M能被(x－k)整除；
(3)∵x－2能整除x2＋kx－14，
∴当x－2＝0时，x2＋kx－14＝0，
当x＝2时，x2＋kx－14＝4＋2k－14＝0，
解得k＝5.
六、(本大题共12分)
23．【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
【方法探究】对于多项式x2＋(p＋q)x＋pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图①所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数＋(p＋q)．所以x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
例如，分解因式：x2＋5x＋6.它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图②所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5.
所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．
【类比探究】当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：2x2－x－6.
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6(或－6与1，－2与3，－3与2)的积，但只有当－2与3时按如图③所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1.所以2x2－x－6＝(2x＋3)(x－2)．
【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2＋bx＋c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图④所示方式排列，当且仅当a1c2＋a2c1＝b(一次项系数)时，ax2＋bx＋c可分解因式．即ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：
(1)x2－5x＋6；(2)10x2＋x－21；(3)(x2－4x)2＋7(x2－4x)＋12.
解：(1)原式＝(x－2)(x－3)．
(2)原式＝(2x＋3)(5x－7)．
(3)原式＝(x2－4x＋4)(x2－4x＋3)＝(x－2)2(x－1)(x－3)．
